Poliedro semirregular
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En geometría , el término poliedro semirregular (o politopo semirregular ) es utilizado de forma variada por distintos autores.
Definiciones
En su definición original, es un poliedro con caras poligonales regulares y un grupo de simetría que es transitivo en sus vértices ; hoy en día, esto se conoce más comúnmente como un poliedro uniforme (esto se desprende de la definición de Thorold Gosset de 1900 del politopo semirregular más general ). [1] [2] Estos poliedros incluyen:
- Los trece sólidos de Arquímedes .
- La girobicúpula cuadrada alargada (también llamada pseudo-rombicuboctaedro), un sólido de Johnson , tiene figuras de vértice idénticas (3.4.4.4) pero debido a una torsión no es transitiva por vértice . Branko Grünbaum abogó por incluirla como un decimocuarto sólido arquimediano.
- Una serie infinita de prismas convexos .
- Una serie infinita de antiprismas convexos (su naturaleza semirregular fue observada por primera vez por Kepler ).
Estos sólidos semirregulares pueden especificarse completamente mediante una configuración de vértice : una lista de las caras por número de lados, en el orden en que aparecen alrededor de un vértice. Por ejemplo: 3.5.3.5 representa el icosidodecaedro , que alterna dos triángulos y dos pentágonos alrededor de cada vértice. En contraste: 3.3.3.5 es un antiprisma pentagonal . Estos poliedros a veces se describen como transitivos de vértice .
Desde Gosset, otros autores han utilizado el término semirregular de diferentes maneras en relación con politopos de dimensiones superiores. EL Elte [3] proporcionó una definición que Coxeter consideró demasiado artificial. El propio Coxeter denominó a las figuras de Gosset como uniformes , y sólo un subconjunto bastante restringido se clasificó como semirregular. [4]
Sin embargo, otros han tomado el camino opuesto y han clasificado más poliedros como semirregulares. Entre ellos se incluyen:
- Tres conjuntos de poliedros estrellados que cumplen la definición de Gosset, análogos a los tres conjuntos convexos enumerados anteriormente.
- Los duales de los sólidos semirregulares anteriores, argumentando que, dado que los poliedros duales comparten las mismas simetrías que los originales, también deberían considerarse semirregulares. Estos duales incluyen los sólidos de Catalan , las bipirámides convexas y las antidipirámides convexas o trapezoedros , y sus análogos no convexos.
Otra fuente de confusión reside en el modo en que se definen los sólidos arquimedianos, con lo que nuevamente aparecen diferentes interpretaciones.
La definición de Gosset de semirregular incluye figuras de mayor simetría: los poliedros regulares y cuasirregulares . Algunos autores posteriores prefieren decir que no son semirregulares, porque son más regulares que eso; se dice entonces que los poliedros uniformes incluyen los regulares, cuasirregulares y semirregulares. Este sistema de denominación funciona bien y concilia muchas (pero de ninguna manera todas) de las confusiones.
En la práctica, hasta las autoridades más eminentes pueden confundirse, definiendo un conjunto dado de poliedros como semirregulares y/o arquimedianos, y luego suponiendo (o incluso enunciando) un conjunto diferente en discusiones posteriores. Suponer que la definición que uno establece se aplica sólo a los poliedros convexos es probablemente el error más común. Coxeter, Cromwell [5] y Cundy & Rollett [6] son todos culpables de tales errores.
Observaciones generales
 Trapezoedro trigonal (V(3.3) 2 ) |  Dodecaedro rómbico V(3,4) 2 |  Triacontaedro rómbico V(3,5) 2 |
Johannes Kepler acuñó la categoría semirregular en su libro Harmonices Mundi (1619), incluyendo los 13 sólidos arquimedianos , dos familias infinitas ( prismas y antiprismas sobre bases regulares), y dos sólidos catalanes transitivos de arista , el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico . También consideró un rombo como un polígono semirregular (al ser equilátero y alternar dos ángulos) así como los polígonos estrellados , ahora llamados figuras isotoxales que usó en teselas planas . El trapezoedro trigonal , un cubo topológico con caras rómbicas congruentes, también calificaría como semirregular, aunque Kepler no lo mencionó específicamente.
En muchas obras se utiliza poliedro semirregular como sinónimo de sólido arquimediano . [7] Por ejemplo, Cundy y Rollett (1961).
Podemos distinguir entre las figuras facialmente regulares y transitivas de vértice basadas en Gosset, y sus duales verticalmente regulares (o versi-regulares) y facialmente transitivas.
Coxeter et al. (1954) utilizan el término poliedros semirregulares para clasificar los poliedros uniformes con símbolo de Wythoff de la forma pq | r , definición que abarca sólo seis de los sólidos arquimedianos, así como los prismas regulares (pero no los antiprismas regulares) y numerosos sólidos no convexos. Más tarde, Coxeter (1973) citaría la definición de Gosset sin comentarios, aceptándola así por implicación.
Eric Weisstein , Robert Williams y otros utilizan el término para referirse a los poliedros uniformes convexos , excluyendo los cinco poliedros regulares , incluidos los sólidos de Arquímedes, los prismas uniformes y los antiprismas uniformes (superpuestos con el cubo como prisma y el octaedro regular como antiprisma). [8] [9]
Peter Cromwell (1997) escribe en una nota a pie de página en la página 149 que, "en la terminología actual, 'poliedros semirregulares' se refiere a los sólidos de Arquímedes y Catalan (Arquímedes duales)". En la página 80 describe a los trece Arquímedes como semirregulares, mientras que en las páginas 367 y siguientes analiza los Catalanes y su relación con los Arquímedes 'semirregulares'. Por implicación, esto trata a los Catalanes como no semirregulares, contradiciendo así efectivamente (o al menos confundiendo) la definición que proporcionó en la nota a pie de página anterior. Ignora los poliedros no convexos.
Véase también
Referencias
- ^ Thorold Gosset Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- ^ Coxeter, HSM Politopos regulares , 3.ª edición, Dover (1973)
- ^ Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen
- ^ Coxeter, HSM , Longuet-Higgins, MS y Miller, JCP Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), págs. 401-450. (Archivo JSTOR, se requiere suscripción).
- ^ Cromwell, P. Poliedros , Cambridge University Press (1977)
- ^ Cundy HM y Rollett, AP Mathematical models , 2.ª edición, Oxford University Press (1961)
- ^ "Arquímedes". (2006). En Encyclopædia Britannica . Recuperado el 19 de diciembre de 2006, de Encyclopædia Britannica Online (requiere suscripción).
- ^ Weisstein, Eric W. "Poliedro semirregular". MathWorld .La definición aquí no excluye el caso de que todas las caras sean congruentes, pero los sólidos platónicos no están incluidos en la enumeración del artículo.
- ^ Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Capítulo 3: Poliedros)
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Poliedro semirregular". MathWorld .
- George Hart: Poliedros semirregulares de Arquímedes
- David Darling: poliedro semirregular
- polyhedra.mathmos.net: Poliedro semirregular
- Enciclopedia de Matemáticas: Poliedros semirregulares, poliedros uniformes, sólidos arquimedianos
