Radical de un ideal

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , el radical de un ideal de un anillo conmutativo es otro ideal definido por la propiedad de que un elemento está en el radical si y solo si alguna potencia de está en . Tomar el radical de un ideal se llama radicalización . Un ideal radical (o ideal semiprimo ) es un ideal que es igual a su radical. El radical de un ideal primario es un ideal primo .${\displaystyle I}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle I}$

Este concepto se generaliza a los anillos no conmutativos en el artículo sobre el anillo semiprimo .

El radical de un ideal en un anillo conmutativo , denotado por o , se define como${\displaystyle I}$ ${\estilo de visualización R}$${\displaystyle \operatorname {rad} (I)}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{para algunos}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},}$

(nótese que ). Intuitivamente, se obtiene tomando todas las raíces de los elementos de dentro del anillo . De manera equivalente, es la preimagen del ideal de los elementos nilpotentes (el nilradical ) del anillo cociente (a través de la función natural ). Esta última prueba que es un ideal. ^{[Nota 1]}${\displaystyle I\subseteq {\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle I}$ ${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle R/I}$${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

Si el radical de se genera finitamente , entonces alguna potencia de está contenida en . ^[1] En particular, si y son ideales de un anillo noetheriano , entonces y tienen el mismo radical si y solo si contiene alguna potencia de y contiene alguna potencia de .${\displaystyle I}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización J}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización J}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización J}$${\estilo de visualización J}$${\displaystyle I}$

Si un ideal coincide con su propio radical, entonces se llama ideal radical o ideal semiprimo .${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

• Consideremos el anillo de números enteros .${\displaystyle \mathbb {Z}}$
  1. El radical del ideal de múltiplos enteros de es (los pares ).${\displaystyle 4\mathbb {Z}}$${\estilo de visualización 4}$${\displaystyle 2\mathbb {Z}}$
  2. El radical de es .${\displaystyle 5\mathbb {Z}}$${\displaystyle 5\mathbb {Z}}$
  3. El radical de es .${\displaystyle 12\mathbb {Z} }$${\displaystyle 6\mathbb {Z}}$
  4. En general, el radical de es , donde es el producto de todos los factores primos distintos de , el factor libre cuadrado más grande de (ver Radical de un entero ). De hecho, esto se generaliza a un ideal arbitrario (ver la sección Propiedades).${\displaystyle m\mathbb {Z}}$${\displaystyle r\mathbb {Z}}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$
• Consideremos el ideal . Es trivial demostrar (usando la propiedad básica)${\displaystyle I=\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x,y]}$${\displaystyle {\sqrt {I}}=(y)}$${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$),pero damos algunos métodos alternativos: ^{[ aclaración necesaria ]} El radical corresponde al nilradical del anillo cociente , que es la intersección de todos los ideales primos del anillo cociente. Esto está contenido en el radical de Jacobson , que es la intersección de todos los ideales maximales , que son los núcleos de homomorfismos de cuerpos . Cualquier homomorfismo de anillo debe tener en el núcleo para tener un homomorfismo bien definido (si dijéramos, por ejemplo, que el núcleo debería ser la composición de sería , que es lo mismo que intentar forzar ). Como es algebraicamente cerrado , todo homomorfismo debe factorizarse a través de , por lo que solo tenemos que calcular la intersección de para calcular el radical de Entonces encontramos que${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}}$${\displaystyle R=\mathbb {C}[x,y]/\!\left(y^{4}\right)}$${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización (x,y-1)}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \left(x,y^{4},y-1\right)}$${\estilo de visualización 1=0}$${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle R\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}}$${\estilo de visualización (0).}$${\displaystyle {\sqrt {0}}=(y)\subseteq R.}$

Esta sección continuará con la convención de que I es un ideal de un anillo conmutativo :${\estilo de visualización R}$

• Siempre es cierto que , es decir, la radicalización es una operación idempotente . Además, es el ideal radical más pequeño que contiene .${\textstyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$es la intersección de todos los ideales primos de que contienen y por lo tanto el radical de un ideal primo es igual a sí mismo. Demostración: Por un lado, todo ideal primo es radical, y por lo tanto esta intersección contiene a . Supóngase que es un elemento de que no está en , y sea el conjunto . Por la definición de , debe ser disjunto de . también es multiplicativamente cerrado . Por lo tanto, por una variante del teorema de Krull , existe un ideal primo que contiene y sigue siendo disjunto de (véase Ideal primo ). Como contiene a , pero no a , esto demuestra que no está en la intersección de ideales primos que contienen a . Esto termina la demostración. La afirmación puede reforzarse un poco: el radical de es la intersección de todos los ideales primos de que son mínimos entre los que contienen a .${\estilo de visualización R}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{ primo}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},}$$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \left\{r^{n}\mid n=0,1,2,\ldots \right\}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle I}$
• Especializando el último punto, el nilradical (el conjunto de todos los elementos nilpotentes) es igual a la intersección de todos los ideales primos de ^{[Nota 2]} Se considera que esta propiedad es equivalente a la anterior a través de la función natural , que produce una biyección : definida por ^{[2] [Nota 3]}${\estilo de visualización R}$ $${\displaystyle {\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ primo}}}{\mathfrak {p}}.}$$${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$ ${\estilo de visualización u}$$${\displaystyle \left\lbrace {\text{ideales}}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftarpones}}\quad \left\lbrace {\text{ideales}}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$$${\displaystyle u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .}$
• Un ideal en un anillo es radical si y sólo si el anillo cociente se reduce .${\displaystyle I}$${\estilo de visualización R}$ ${\displaystyle R/I}$
• El radical de un ideal homogéneo es homogéneo.
• El radical de una intersección de ideales es igual a la intersección de sus radicales: .${\displaystyle {\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}}$
• El radical de un ideal primario es primo. Si el radical de un ideal es máximo, entonces es primario. ^[3]${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$
• Si es un ideal, . Dado que los ideales primos son ideales radicales, para cualquier ideal primo .${\displaystyle I}$${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• Sean ideales de un anillo . Si son co-máximos , entonces son co-máximos. ^{[Nota 4]}${\estilo de visualización I,J}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\sqrt {I}},{\sqrt {J}}}$${\estilo de visualización I,J}$
• Sea un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano . Entonces ^[4] donde es el soporte de y es el conjunto de primos asociados de .${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización R}$$${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$$${\displaystyle \operatorname {supp} M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {ass} M}$${\displaystyle M}$

La motivación principal para estudiar los radicales es el teorema de Hilbert sobre el álgebra conmutativa . Una versión de este célebre teorema establece que para cualquier ideal en el anillo de polinomios sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , se tiene${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$

${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}}$

dónde

${\displaystyle \operatorname {V} (J)=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\right\}}$

y

${\displaystyle \operatorname {I} (V)=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.}$

Geométricamente, esto dice que si una variedad es recortada por las ecuaciones polinómicas , entonces los únicos otros polinomios que se desvanecen son aquellos en el radical del ideal . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{r})}$

Otra forma de decirlo: la composición es un operador de cierre sobre el conjunto de ideales de un anillo.${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}}$

• Jacobson radical
• Nilradical de un anillo
• Radical real

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian G. (1994). Introducción al álgebra conmutativa . Reading, MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-40751-5.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 150. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94268-8.Señor 1322960  .
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001