Topología de Sallen-Key

La topología Sallen-Key es una topología de filtro electrónico utilizada para implementar filtros activos de segundo orden que es particularmente valorada por su simplicidad. ^[1] Es una forma degenerada de una topología de filtro de fuente de voltaje controlada por voltaje ( VCVS ) . Fue introducida por RP Sallen y EL Key del Laboratorio Lincoln del MIT en 1955. ^[2]

Un filtro VCVS utiliza un amplificador de voltaje con una impedancia de entrada prácticamente infinita y una impedancia de salida cero para implementar una respuesta de paso bajo , paso alto , paso de banda , eliminación de banda o paso total de 2 polos . El filtro VCVS permite un factor Q alto y una ganancia de banda de paso sin el uso de inductores . Un filtro VCVS también tiene la ventaja de la independencia: los filtros VCVS se pueden conectar en cascada sin que las etapas afecten la sintonización de las demás. Un filtro Sallen–Key es una variación de un filtro VCVS que utiliza un amplificador de ganancia unitaria (es decir, un amplificador de búfer ).

En 1955, Sallen y Key utilizaron amplificadores de tubo de vacío con seguidor de cátodo ; el seguidor de cátodo es una aproximación razonable a un amplificador con ganancia de voltaje unitaria. Las implementaciones de filtros analógicos modernos pueden utilizar amplificadores operacionales (también llamados amplificadores operacionales ). Debido a su alta impedancia de entrada y ganancia fácilmente seleccionable, un amplificador operacional en una configuración no inversora convencional se utiliza a menudo en implementaciones VCVS. ^{[ cita requerida ]} Las implementaciones de filtros Sallen-Key a menudo utilizan un amplificador operacional configurado como seguidor de voltaje ; sin embargo, los seguidores de emisor o fuente son otras opciones comunes para el amplificador de búfer.

Los filtros VCVS son relativamente resistentes a la tolerancia de los componentes , pero obtener un factor Q alto puede requerir una dispersión extrema del valor de los componentes o una ganancia alta del amplificador. ^[1] Se pueden obtener filtros de orden superior conectando en cascada dos o más etapas.

La topología genérica de filtro Sallen-Key de ganancia unitaria implementada con un amplificador operacional de ganancia unitaria se muestra en la Figura 1. El siguiente análisis se basa en el supuesto de que el amplificador operacional es ideal.

Debido a que el amplificador operacional está en una configuración de retroalimentación negativa , sus entradas y deben coincidir (es decir, ). Sin embargo, la entrada inversora está conectada directamente a la salida , por lo que$estilo de visualización v_{+}}$$estilo de visualización v_{-}}$${\displaystyle v_{+}=v_{-}}$$estilo de visualización v_{-}}$${\displaystyle v_{\text{fuera}}}$

${\displaystyle v_{+}=v_{-}=v_{\text{fuera}}.}$

(1)

Por la ley de corriente de Kirchhoff (LKC) aplicada en el nodo,$Estilo de visualización v_{x}$

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{-}}{Z_{2}}}.}$

(2)

Combinando las ecuaciones (1) y (2),

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

Aplicando la ecuación (1) y KCL en la entrada no inversora del amplificador operacional se obtiene${\displaystyle v_{+}}$

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},}$

Lo que significa que

${\displaystyle v_{x}=v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right).}$

(3)

Combinando las ecuaciones (2) y (3) se obtiene

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)}{Z_{1}}}={\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

(4)

Reordenando la ecuación (4) se obtiene la función de transferencia

${\displaystyle {\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3}Z_{4}}},}$

(5)

que típicamente describe un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de segundo orden .

Si el componente estuviera conectado a tierra en lugar de a , el filtro sería un divisor de tensión compuesto por los componentes y conectados en cascada con otro divisor de tensión compuesto por los componentes y . El amplificador de búfer conecta la "parte inferior" del componente a la salida del filtro, lo que mejorará el caso simple de dos divisores. Esta interpretación es la razón por la que los filtros Sallen-Key a menudo se dibujan con la entrada no inversora del amplificador operacional debajo de la entrada inversora, enfatizando así la similitud entre la salida y tierra.${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{4}}$${\displaystyle Z_{3}}$

Al elegir diferentes componentes pasivos (por ejemplo, resistencias y condensadores ) para , , y , el filtro se puede fabricar con características de paso bajo, paso de banda y paso alto. En los ejemplos siguientes, recuerde que una resistencia con resistencia tiene una impedancia de${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{4}}$${\displaystyle Z_{3}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z_{R}}$

${\displaystyle Z_{R}=R,}$

y un capacitor con capacitancia tiene impedancia de${\displaystyle C}$${\displaystyle Z_{C}}$

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}},}$

donde (aquí denota la unidad imaginaria ) es la frecuencia angular compleja y es la frecuencia de una entrada de onda sinusoidal pura . Es decir, la impedancia de un capacitor depende de la frecuencia y la impedancia de un resistor no.${\displaystyle s=j\omega =2\pi jf}$${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$

En la Figura 2 se muestra un ejemplo de una configuración de paso bajo con ganancia unitaria. Aquí se utiliza un amplificador operacional como búfer, aunque también es eficaz un seguidor de emisor . Este circuito es equivalente al caso genérico anterior con

${\displaystyle Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.}$

La función de transferencia para este filtro de paso bajo con ganancia unitaria de segundo orden es

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},}$

donde la frecuencia natural no amortiguada , la atenuación , el factor Q y la relación de amortiguamiento se dan por${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

y

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

Entonces,

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

El factor determina la altura y el ancho del pico de la respuesta de frecuencia del filtro. A medida que aumenta este parámetro, el filtro tenderá a "sonar" en una única frecuencia de resonancia cercana (consulte " Filtro LC " para obtener una explicación relacionada).${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$

Esta función de transferencia no tiene ceros (finitos) y dos polos ubicados en el plano complejo s :

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

Hay dos ceros en el infinito (la función de transferencia tiende a cero para cada uno de los términos del denominador).${\displaystyle s}$

Un diseñador debe elegir el y apropiado para su aplicación. El valor es crítico para determinar la forma final. Por ejemplo, un filtro Butterworth de segundo orden , que tiene una respuesta de frecuencia de banda de paso máximamente plana, tiene un de . En comparación, un valor de corresponde a la cascada en serie de dos filtros de paso bajo simples idénticos.${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle Q=1/2}$

Como hay 2 parámetros y 4 incógnitas, el procedimiento de diseño normalmente fija la relación entre ambas resistencias, así como la relación entre los capacitores. Una posibilidad es fijar la relación entre y como en función de y la relación entre y como en función de . Por lo tanto,${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 1/m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}}$

Como resultado, las expresiones y se reducen a${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}}$

y

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.}$

Partiendo de una elección más o menos arbitraria para, por ejemplo , y , se pueden calcular los valores apropiados para y a favor de los valores deseados y . En la práctica, ciertas elecciones de valores de componentes funcionarán mejor que otras debido a las no idealidades de los amplificadores operacionales reales. ^[3] Como ejemplo, los valores altos de resistencia aumentarán la producción de ruido del circuito, al tiempo que contribuirán al voltaje de compensación de CC en la salida de los amplificadores operacionales equipados con transistores de entrada bipolares.${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

Por ejemplo, el circuito de la Figura 3 tiene y . La función de transferencia está dada por${\displaystyle f_{0}=15.9~{\text{kHz}}}$${\displaystyle Q=0.5}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}},}$

y, después de la sustitución, esta expresión es igual a

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s^{2}}},}$

que muestra cómo cada combinación viene con alguna combinación para proporcionar lo mismo para el filtro de paso bajo. Se utiliza un enfoque de diseño similar para los otros filtros a continuación.${\displaystyle (R,C)}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

La impedancia de entrada del filtro paso bajo Sallen-Key de ganancia unitaria de segundo orden también es de interés para los diseñadores. Se da en la ecuación (3) en Cartwright y Kaminsky ^[4] como

${\displaystyle Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},}$

donde y .${\displaystyle s'={\frac {s}{\omega _{0}}}}$${\displaystyle k={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {m}{m+1/m}}}$

Además, para , existe un valor mínimo de la magnitud de la impedancia, dado por la ecuación (16) de Cartwright y Kaminsky, ^[4] que establece que${\displaystyle Q>{\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.}$

Afortunadamente, esta ecuación está bien aproximada por ^[4].

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2}+k^{2}+0.34}}}}$

Para valores fuera de este rango, la constante 0,34 debe modificarse para lograr un error mínimo .${\displaystyle 0.25\leq k\leq 0.75}$${\displaystyle k}$

Además, la frecuencia a la que ocurre la magnitud de impedancia mínima está dada por la ecuación (15) de Cartwright y Kaminsky, ^[4] es decir,

${\displaystyle \omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

Esta ecuación también se puede aproximar bien utilizando la ecuación (20) de Cartwright y Kaminsky, ^[4] que establece que

${\displaystyle \omega _{\text{min}}\approx \omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

En la Figura 4 se muestra un filtro de paso alto de ganancia unitaria de segundo orden con y .${\displaystyle f_{0}=72~{\text{Hz}}}$${\displaystyle Q=0.5}$

Un filtro de paso alto con ganancia unitaria de segundo orden tiene la función de transferencia

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},}$

donde la frecuencia natural no amortiguada y el factor se analizan anteriormente en la explicación del filtro de paso bajo. El circuito anterior implementa esta función de transferencia mediante las ecuaciones${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

(como antes) y

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

Entonces

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

Siga un enfoque similar al utilizado para diseñar el filtro de paso bajo anterior.

En la Figura 5 se muestra un ejemplo de un filtro de paso de banda con ganancia no unitaria implementado con un filtro VCVS. Aunque utiliza una topología diferente y un amplificador operacional configurado para proporcionar una ganancia no unitaria, se puede analizar utilizando métodos similares a los de la topología genérica de Sallen–Key. Su función de transferencia está dada por

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

La frecuencia central (es decir, la frecuencia donde la respuesta de magnitud tiene su pico ) viene dada por${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

El factor Q viene dado por${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}}$

El divisor de voltaje en el bucle de retroalimentación negativa controla la "ganancia interna" del amplificador operacional:${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.}$

Si la ganancia interna es demasiado alta, el filtro oscilará.${\displaystyle G}$

• Diseño de filtros
• Topología de filtro electrónico
• Oscilador armónico
• Resonancia

• Informe de aplicación de Texas Instruments: análisis de la arquitectura Sallen–Key
• Herramienta de diseño de filtros de Analog Devices: una herramienta en línea sencilla para diseñar filtros activos utilizando amplificadores operacionales con retroalimentación de voltaje.
• Preguntas frecuentes sobre el diseño de filtros activos de TI
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• Modificación de alta frecuencia del filtro Sallen-Key: mejora del piso de atenuación de la banda de rechazo
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• ECE 327: Procedimientos para el laboratorio de filtrado de salida. La sección 3 ("Suavizado del filtro de paso bajo") analiza el filtrado activo con el filtro de paso bajo Sallen–Key Butterworth.
• Introducción a los filtros: filtros multipolares con Sallen-Key. Matt Duff de Analog Devices explica cómo funciona el circuito Sallen Key