Rotación (matemáticas)

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La rotación en matemáticas es un concepto que se origina en la geometría . Cualquier rotación es un movimiento de un espacio determinado que conserva al menos un punto . Puede describir, por ejemplo, el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo. La rotación puede tener un signo (como en el signo de un ángulo ): una rotación en el sentido de las agujas del reloj es una magnitud negativa, por lo que un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj tiene una magnitud positiva. Una rotación es diferente de otros tipos de movimientos: las traslaciones , que no tienen puntos fijos, y las reflexiones (hiperplanares) , cada una de ellas con un plano entero ( n  − 1) -dimensional de puntos fijos en un espacio n -dimensional .

Matemáticamente, una rotación es un mapa . Todas las rotaciones sobre un punto fijo forman un grupo bajo composición llamado grupo de rotación (de un espacio particular). Pero en mecánica y, más generalmente, en física , este concepto se entiende frecuentemente como una transformación de coordenadas (es importante, una transformación de una base ortonormal ), porque para cualquier movimiento de un cuerpo existe una transformación inversa que, si se aplica al marco de referencia, da como resultado que el cuerpo esté en las mismas coordenadas. Por ejemplo, en dos dimensiones, rotar un cuerpo en el sentido de las agujas del reloj sobre un punto manteniendo los ejes fijos es equivalente a rotar los ejes en el sentido contrario a las agujas del reloj sobre el mismo punto mientras el cuerpo se mantiene fijo. Estos dos tipos de rotación se denominan transformaciones activas y pasivas . ^{[1] [2]}

El grupo de rotación es un grupo de Lie de rotaciones alrededor de un punto fijo . Este punto o centro fijo (común) se denomina centro de rotación y suele identificarse con el origen . El grupo de rotación es un estabilizador puntual en un grupo más amplio de movimientos (que preservan la orientación) .

Para una rotación particular:

• El eje de rotación es una línea de sus puntos fijos. Estos existen sólo en n > 2 .
• El plano de rotación es un plano que es invariante bajo la rotación. A diferencia del eje, sus puntos no son fijos. El eje (cuando está presente) y el plano de rotación son ortogonales .

Una representación de rotaciones es un formalismo particular, ya sea algebraico o geométrico, que se utiliza para parametrizar un mapa de rotación. Este significado es de alguna manera inverso al significado en la teoría de grupos .

Las rotaciones de espacios (afines) de puntos y de espacios vectoriales respectivos no siempre se distinguen claramente. A los primeros se los denomina a veces rotaciones afines (aunque el término es engañoso), mientras que los segundos son rotaciones vectoriales . Consulte el artículo siguiente para obtener más detalles.

Un movimiento de un espacio euclidiano es lo mismo que su isometría : deja la distancia entre dos puntos cualesquiera sin cambios después de la transformación. Pero una rotación (adecuada) también tiene que preservar la estructura de orientación . El término " rotación impropia " se refiere a isometrías que invierten (voltean) la orientación. En el lenguaje de la teoría de grupos, la distinción se expresa como isometrías directas vs. indirectas en el grupo euclidiano , donde las primeras comprenden el componente identidad . Cualquier movimiento euclidiano directo puede representarse como una composición de una rotación alrededor del punto fijo y una traslación.

En el espacio unidimensional , solo hay rotaciones triviales . En dos dimensiones , solo se necesita un único ángulo para especificar una rotación sobre el origen : el ángulo de rotación que especifica un elemento del grupo circular (también conocido como U(1) ). La rotación actúa para rotar un objeto en sentido antihorario a través de un ángulo θ sobre el origen ; consulte a continuación para obtener más detalles. La composición de las rotaciones suma sus ángulos módulo 1 giro , lo que implica que todas las rotaciones bidimensionales sobre el mismo punto conmutan . Las rotaciones sobre diferentes puntos, en general, no conmutan. Cualquier movimiento directo bidimensional es una traslación o una rotación; consulte la isometría del plano euclidiano para obtener más detalles.

Las rotaciones en el espacio tridimensional difieren de las de dos dimensiones en varios aspectos importantes. Las rotaciones en tres dimensiones generalmente no son conmutativas , por lo que el orden en el que se aplican las rotaciones es importante incluso en torno al mismo punto. Además, a diferencia del caso bidimensional, un movimiento directo tridimensional, en general en posición , no es una rotación sino una operación de tornillo . Las rotaciones en torno al origen tienen tres grados de libertad (consulte los formalismos de rotación en tres dimensiones para obtener más detalles), lo mismo que el número de dimensiones. Una rotación tridimensional se puede especificar de varias formas. Los métodos más habituales son:

• Ángulos de Euler (en la imagen de la izquierda). Cualquier rotación sobre el origen se puede representar como la composición de tres rotaciones definidas como el movimiento obtenido al cambiar uno de los ángulos de Euler mientras se dejan los otros dos constantes. Constituyen un sistema de ejes de rotación mixtos porque los ángulos se miden con respecto a una mezcla de diferentes marcos de referencia , en lugar de un solo marco que es puramente externo o puramente intrínseco. Específicamente, el primer ángulo mueve la línea de nodos alrededor del eje externo z , el segundo gira alrededor de la línea de nodos y el tercero es una rotación intrínseca (un giro) alrededor de un eje fijo en el cuerpo que se mueve. Los ángulos de Euler generalmente se denotan como α , β , γ o φ , θ , ψ . Esta presentación es conveniente solo para rotaciones sobre un punto fijo.

• La representación eje-ángulo (en la imagen de la derecha) especifica un ángulo con el eje sobre el que se produce la rotación. Se puede visualizar fácilmente. Existen dos variantes para representarlo:
  • como un par formado por el ángulo y un vector unitario para el eje, o
  • como un vector euclidiano que se obtiene al multiplicar el ángulo por este vector unitario, llamado vector de rotación (aunque, en sentido estricto, es un pseudovector ).
• Matrices, versores (cuaterniones) y otras cosas algebraicas : consulte la sección Formalismo del álgebra lineal y multilineal para obtener más detalles.

Una rotación general en cuatro dimensiones tiene solo un punto fijo, el centro de rotación, y ningún eje de rotación; consulte rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones para obtener más detalles. En cambio, la rotación tiene dos planos de rotación mutuamente ortogonales, cada uno de los cuales es fijo en el sentido de que los puntos en cada plano permanecen dentro de los planos. La rotación tiene dos ángulos de rotación, uno para cada plano de rotación , a través de los cuales rotan los puntos en los planos. Si estos son ω ₁ y ω ₂ , entonces todos los puntos que no están en los planos rotan a través de un ángulo entre ω ₁ y ω _2. Las rotaciones en cuatro dimensiones sobre un punto fijo tienen seis grados de libertad. Un movimiento directo de cuatro dimensiones en posición general es una rotación sobre cierto punto (como en todas las dimensiones euclidianas pares ), pero también existen operaciones de tornillo.

Cuando se consideran los movimientos del espacio euclidiano que preservan el origen , la distinción entre puntos y vectores , importante en matemáticas puras, puede borrarse porque existe una correspondencia canónica biunívoca entre puntos y vectores de posición . Lo mismo es cierto para geometrías distintas de la euclidiana , pero cuyo espacio es un espacio afín con una estructura suplementaria ; véase un ejemplo a continuación. Alternativamente, la descripción vectorial de las rotaciones puede entenderse como una parametrización de las rotaciones geométricas hasta su composición con traslaciones. En otras palabras, una rotación vectorial presenta muchas rotaciones equivalentes sobre todos los puntos del espacio.

Un movimiento que conserva el origen es lo mismo que un operador lineal sobre vectores que conserva la misma estructura geométrica pero expresada en términos de vectores. Para los vectores euclidianos , esta expresión es su magnitud ( norma euclidiana ). En componentes , dicho operador se expresa con una matriz ortogonal n  ×  n que se multiplica por vectores columna .

Como ya se ha dicho, una rotación (propia) se diferencia de un movimiento arbitrario de punto fijo en que conserva la orientación del espacio vectorial. Por tanto, el determinante de una matriz ortogonal a la rotación debe ser 1. La única otra posibilidad para el determinante de una matriz ortogonal es −1 , y este resultado significa que la transformación es una reflexión hiperplanar , una reflexión puntual (para n impar ) u otro tipo de rotación impropia . Las matrices de todas las rotaciones propias forman el grupo ortogonal especial .

En dos dimensiones, para realizar una rotación mediante una matriz, el punto ( x ,  y ) a rotar en sentido antihorario se escribe como un vector columna, luego se multiplica por una matriz de rotación calculada a partir del ángulo θ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$.

Las coordenadas del punto después de la rotación son x′ ,  y′ , y las fórmulas para x′ e y′ son

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$

Los vectores y tienen la misma magnitud y están separados por un ángulo θ como se esperaba.${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$

Los puntos en el plano R ² también se pueden presentar como números complejos : el punto ( x ,  y ) en el plano está representado por el número complejo

${\displaystyle z=x+iy}$

Esto se puede rotar a través de un ángulo θ multiplicándolo por e ^iθ y luego expandiendo el producto usando la fórmula de Euler de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta}z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}}$

y al igualar partes reales e imaginarias se obtiene el mismo resultado que una matriz bidimensional:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$

Como los números complejos forman un anillo conmutativo , las rotaciones vectoriales en dos dimensiones son conmutativas, a diferencia de lo que ocurre en dimensiones superiores. Tienen solo un grado de libertad , ya que dichas rotaciones están completamente determinadas por el ángulo de rotación. ^[3]

Al igual que en dos dimensiones, se puede utilizar una matriz para rotar un punto ( x ,  y ,  z ) a un punto ( x′ ,  y′ ,  z′ ) . La matriz utilizada es una matriz de 3 × 3 ,

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$

Esto se multiplica por un vector que representa el punto para obtener el resultado.

${\displaystyle \mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}}$

El conjunto de todas las matrices apropiadas junto con la operación de multiplicación de matrices es el grupo de rotación SO(3) . La matriz A es miembro del grupo ortogonal especial tridimensional SO(3) , es decir, es una matriz ortogonal con determinante 1. Que sea una matriz ortogonal significa que sus filas son un conjunto de vectores unitarios ortogonales (por lo que son una base ortonormal ), al igual que sus columnas, lo que hace que sea sencillo detectar y verificar si una matriz es una matriz de rotación válida.

Los ángulos de Euler y las representaciones eje-ángulo mencionadas anteriormente se pueden convertir fácilmente en una matriz de rotación.

Otra posibilidad para representar una rotación de vectores euclidianos tridimensionales son los cuaterniones que se describen a continuación.

Los cuaterniones unitarios , o versores , son en cierto modo la representación menos intuitiva de las rotaciones tridimensionales. No son la instancia tridimensional de un enfoque general. Son más compactos que las matrices y más fáciles de trabajar que todos los demás métodos, por lo que suelen preferirse en aplicaciones del mundo real. ^{[ cita requerida ]}

Un versor (también llamado cuaternión de rotación ) consta de cuatro números reales, restringidos de modo que la norma del cuaternión sea 1. Esta restricción limita los grados de libertad del cuaternión a tres, como se requiere. A diferencia de las matrices y los números complejos, se necesitan dos multiplicaciones:

${\displaystyle \mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},}$

donde q es el versor, q ⁻¹ es su inverso y x es el vector tratado como un cuaternión con parte escalar cero . El cuaternión se puede relacionar con la forma del vector de rotación del ángulo del eje de rotación mediante el mapa exponencial sobre los cuaterniones,

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},}$

donde v es el vector de rotación tratado como un cuaternión.

Una simple multiplicación por un versor, ya sea izquierdo o derecho , es en sí misma una rotación, pero en cuatro dimensiones. Cualquier rotación de cuatro dimensiones sobre el origen se puede representar con dos multiplicaciones de cuaterniones: una hacia la izquierda y otra hacia la derecha, mediante dos cuaterniones unitarios diferentes .

En términos más generales, las rotaciones de coordenadas en cualquier dimensión se representan mediante matrices ortogonales. El conjunto de todas las matrices ortogonales en n dimensiones que describen rotaciones propias (determinante = +1), junto con la operación de multiplicación de matrices, forma el grupo ortogonal especial SO( n ) .

Las matrices se utilizan a menudo para realizar transformaciones, especialmente cuando se transforma una gran cantidad de puntos, ya que son una representación directa del operador lineal . Las rotaciones representadas de otras formas a menudo se convierten en matrices antes de usarse. Se pueden extender para representar rotaciones y transformaciones al mismo tiempo utilizando coordenadas homogéneas . Las transformaciones proyectivas se representan mediante matrices de 4 × 4. No son matrices de rotación, pero una transformación que representa una rotación euclidiana tiene una matriz de rotación de 3 × 3 en la esquina superior izquierda.

La principal desventaja de las matrices es que son más caras de calcular y de realizar cálculos con ellas. Además, en los cálculos en los que la inestabilidad numérica es un problema, las matrices pueden ser más propensas a ella, por lo que los cálculos para restablecer la ortonormalidad , que son costosos de realizar para las matrices, deben realizarse con mayor frecuencia.

Como se demostró anteriormente, existen tres formalismos de rotación del álgebra multilineal : uno con U(1), o números complejos, para dos dimensiones, y otros dos con versores, o cuaterniones, para tres y cuatro dimensiones.

En general (incluso para vectores dotados de una forma cuadrática de Minkowski no euclidiana ), la rotación de un espacio vectorial se puede expresar como un bivector . Este formalismo se utiliza en álgebra geométrica y, de forma más general, en la representación de los grupos de Lie en el álgebra de Clifford .

En el caso de una forma cuadrática euclidiana definida positiva, el grupo de doble recubrimiento del grupo de isometría se conoce como grupo de espín , . Se puede describir convenientemente en términos de un álgebra de Clifford. Los cuaterniones unitarios dan el grupo .${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$

En geometría esférica , un movimiento directo ^{[ aclaración necesaria ]} de la n -esfera (un ejemplo de la geometría elíptica ) es lo mismo que una rotación del espacio euclidiano ( n  + 1) -dimensional alrededor del origen ( SO( n  + 1) ). Para n impar , la mayoría de estos movimientos no tienen puntos fijos en la n -esfera y, estrictamente hablando, no son rotaciones de la esfera ; a veces, a estos movimientos se los denomina traslaciones de Clifford . ^{[ cita requerida ]} Las rotaciones alrededor de un punto fijo en las geometrías elíptica e hiperbólica no son diferentes de las euclidianas. ^{[ aclaración necesaria ]}

La geometría afín y la geometría proyectiva no tienen una noción distinta de rotación.

Una generalización de una rotación se aplica en la relatividad especial , donde se puede considerar que opera en un espacio de cuatro dimensiones, el espacio-tiempo , abarcado por tres dimensiones espaciales y una de tiempo. En la relatividad especial, este espacio se llama espacio de Minkowski , y las rotaciones de cuatro dimensiones, llamadas transformaciones de Lorentz , tienen una interpretación física. Estas transformaciones conservan una forma cuadrática llamada intervalo de espacio-tiempo .

Si una rotación del espacio de Minkowski se produce en un plano similar al espacio, entonces esta rotación es la misma que una rotación espacial en el espacio euclidiano. Por el contrario, una rotación en un plano abarcado por una dimensión similar al espacio y una dimensión similar al tiempo es una rotación hiperbólica , y si este plano contiene el eje temporal del marco de referencia, se denomina "impulso de Lorentz". Estas transformaciones demuestran la naturaleza pseudoeuclidiana del espacio de Minkowski. Las rotaciones hiperbólicas a veces se describen como aplicaciones de compresión y aparecen con frecuencia en los diagramas de Minkowski que visualizan la geometría pseudoeuclidiana de (1 + 1) dimensiones en dibujos planos. El estudio de la relatividad se ocupa del grupo de Lorentz generado por las rotaciones espaciales y las rotaciones hiperbólicas. ^[4]

Mientras que las rotaciones SO(3) , en física y astronomía, corresponden a rotaciones de la esfera celeste como una 2-esfera en el 3-espacio euclidiano, las transformaciones de Lorentz de SO(3;1) ⁺ inducen transformaciones conformes de la esfera celeste. Se trata de una clase más amplia de transformaciones de esfera conocidas como transformaciones de Möbius .

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Las rotaciones definen clases importantes de simetría : la simetría rotacional es una invariancia con respecto a una rotación particular . La simetría circular es una invariancia con respecto a toda rotación alrededor del eje fijo.

Como se dijo anteriormente, las rotaciones euclidianas se aplican a la dinámica de cuerpos rígidos . Además, la mayor parte del formalismo matemático en física (como el cálculo vectorial ) es invariante a la rotación; consulte rotación para conocer más aspectos físicos. Se cree que las rotaciones euclidianas y, de manera más general, la simetría de Lorentz descrita anteriormente son leyes de simetría de la naturaleza . Por el contrario, la simetría reflexiva no es una ley de simetría precisa de la naturaleza.

Las matrices de valores complejos análogas a las matrices ortogonales reales son las matrices unitarias , que representan rotaciones en el espacio complejo. El conjunto de todas las matrices unitarias en una dimensión dada n forma un grupo unitario de grado n ; y su subgrupo que representa rotaciones propias (aquellas que preservan la orientación del espacio) es el grupo unitario especial de grado n . Estas rotaciones complejas son importantes en el contexto de los espinores . Los elementos de se utilizan para parametrizar rotaciones euclidianas tridimensionales (ver arriba), así como las transformaciones respectivas del espín (ver teoría de representación de SU(2) ).${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

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• Hestenes, David (1999). Nuevos fundamentos para la mecánica clásica . Dordrecht : Kluwer Academic Publishers . ISBN 0-7923-5514-8.

• Lounesto, Pertti (2001). Álgebras de Clifford y espinores . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-00551-7.

• Brannon, Rebecca M. (2002). "Una revisión de teoremas útiles que involucran matrices ortogonales propias con referencia al espacio físico tridimensional" (PDF) . Albuquerque : Sandia National Laboratories .