Red de subgrupos

En matemáticas , el retículo de subgrupos de un grupo es el retículo cuyos elementos son los subgrupos de , siendo el ordenamiento parcial la inclusión de conjuntos . En este retículo, la unión de dos subgrupos es el subgrupo generado por su unión , y el encuentro de dos subgrupos es su intersección .${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$

El grupo diedro Dih ₄ tiene diez subgrupos, contándose a sí mismo y al subgrupo trivial . Cinco de los ocho elementos del grupo generan subgrupos de orden dos, y los otros dos elementos no identidad generan el mismo subgrupo cíclico de orden cuatro. Además, hay dos subgrupos de la forma Z ₂ × Z ₂ , generados por pares de elementos de orden dos . La red formada por estos diez subgrupos se muestra en la ilustración.

Este ejemplo también muestra que la red de todos los subgrupos de un grupo no es una red modular en general. De hecho, esta red en particular contiene el "pentágono" prohibido N ₅ como subred .

Para cualquier subgrupo A , B y C de un grupo con A ≤ C ( A un subgrupo de C ) entonces AB ∩ C = A ( B ∩ C ); la multiplicación aquí es el producto de subgrupos . Esta propiedad se ha llamado propiedad modular de grupos (Aschbacher 2000) o ley modular ( de Dedekind ) (Robinson 1996, Cohn 2000). Dado que para dos subgrupos normales el producto es en realidad el subgrupo más pequeño que contiene a los dos, los subgrupos normales forman una red modular .

El teorema de red establece una conexión de Galois entre la red de subgrupos de un grupo y la de sus cocientes .

El lema de Zassenhaus da un isomorfismo entre ciertas combinaciones de cocientes y productos en la red de subgrupos.

Como los grupos son estructuras algebraicas, se deduce por un teorema general (Burris y Sankappanavar 2011, p. 33) que sus redes de subgrupos son redes algebraicas. Esto significa que son completas y se generan de forma compacta. Sin embargo, en general, no hay restricción sobre las posibles subredes de la red de subgrupos, en el sentido de que cada red es isomorfa a una subred de la red de subgrupos de algún grupo. Además, cada red finita es isomorfa a una subred de la red de subgrupos de algún grupo finito (Schmidt 1994, p. 9). Cada red distributiva finita también es isomorfa a la red de subgrupos normal de algún grupo (Silcock 1977).

Los subgrupos con ciertas propiedades forman redes, pero otras propiedades no.

• Los subgrupos normales siempre forman una red modular . De hecho, la propiedad esencial que garantiza que la red sea modular es que los subgrupos conmutan entre sí, es decir, que son subgrupos cuasiconvencionales .
• Los subgrupos normales nilpotentes forman una red, que es (parte del) contenido del teorema de Fitting .
• Una clase de grupos se denomina clase Fitting si está cerrada bajo isomorfismo, subgrupos subnormales y productos de subgrupos subnormales. Para cualquier clase Fitting F , tanto los subgrupos F subnormales como los subgrupos F normales forman redes. Esto generaliza lo anterior con F la clase de grupos nilpotentes, y otro ejemplo es con F la clase de grupos resolubles .
• Los subgrupos centrales forman una red.

Sin embargo, ni los subgrupos finitos ni los subgrupos de torsión forman una red: por ejemplo, el producto libre es generado por dos elementos de torsión , pero es infinito y contiene elementos de orden infinito.${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} *\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

El hecho de que los subgrupos normales formen una red modular es un caso particular de un resultado más general, a saber, que en cualquier variedad de Maltsev (de la cual los grupos son un ejemplo), la red de congruencias es modular (Kearnes y Kiss 2013).

La información de la teoría reticular sobre la red de subgrupos a veces se puede utilizar para inferir información sobre el grupo original, una idea que se remonta al trabajo de Øystein Ore  (1937, 1938). Por ejemplo, como Ore demostró , un grupo es localmente cíclico si y solo si su red de subgrupos es distributiva . Si además la red satisface la condición de cadena ascendente , entonces el grupo es cíclico.

Los grupos cuya red de subgrupos es una red complementada se denominan grupos complementados (Zacher 1953), y los grupos cuya red de subgrupos son redes modulares se denominan grupos de Iwasawa o grupos modulares (Iwasawa 1941). También existen caracterizaciones de este tipo en la teoría de redes para grupos resolubles y grupos perfectos (Suzuki 1951).

• Aschbacher, M. (2000). Teoría de grupos finitos . Cambridge University Press. pág. 6. ISBN 978-0-521-78675-1.
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• Suzuki, Michio (1956). Estructura de un grupo y la estructura de su red de subgrupos . Berlín: Springer Verlag.
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• Zacher, Giovanni (1953). "Caratterizzazione dei gruppi risolubili d'ordine finito complementariati". Rediconti del Seminario Matemático della Università di Padova . 22 : 113-122. ISSN  0041-8994. SEÑOR  0057878.
• Burris, S.; Sankappanavar, HP (2011). Un curso de álgebra universal . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 78. Springer Verlag. ISBN 978-1-4613-8132-7.

• Entrada de PlanetMath sobre la red de subgrupos
• Ejemplo: Red de subgrupos del grupo simétrico S4