Repunit

En matemáticas recreativas , una repunit es un número como 11, 111 o 1111 que contiene solo el dígito 1 , un tipo más específico de repdigit . El término significa "unidad repetida" y fue acuñado en 1966 por Albert H. Beiler en su libro Recreaciones en la teoría de números . ^{[nota 1]}

Un primo repunit es un repunit que también es un número primo . Los primos que son repunits en base 2 son primos de Mersenne . A partir de octubre de 2024, el mayor número primo conocido 2 ^136,279,841 − 1 , el mayor primo probable R _8177207 y el mayor primo con primalidad de curva elíptica probada R ₈₆₄₅₃ son todos repunits en varias bases.

Las unidades base b se definen como (esta b puede ser positiva o negativa)

${\displaystyle R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \sobre {b-1}}\qquad {\mbox{para }}|b|\geq 2,n\geq 1.}$

Por lo tanto, el número R _n ^{( b )} consta de n copias del dígito 1 en representación en base b . Las dos primeras copias en base b para n  = 1 y n  = 2 son

${\displaystyle R_{1}^{(b)}={b-1 \sobre {b-1}}=1\qquad {\text{y}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \sobre {b-1}}=b+1\qquad {\text{para}}\ |b|\geq 2.}$

En particular, las repunits decimales (base 10 ) a las que a menudo se hace referencia simplemente como repunits se definen como

${\displaystyle R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}$

Por lo tanto, el número R _n = R _n ⁽¹⁰⁾ consta de n copias del dígito 1 en representación en base 10. La secuencia de repeticiones en base 10 comienza con

1 , 11 , 111 , 1111, 11111, 111111, ... (secuencia A002275 en la OEIS ).

De manera similar, las repunits base-2 se definen como

${\displaystyle R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}$

Así, el número R _n ⁽²⁾ consta de n copias del dígito 1 en representación en base 2. De hecho, las copias en base 2 son los conocidos números de Mersenne M _n  = 2 ⁿ  − 1, que comienzan con

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (secuencia A000225 en la OEIS ).

• Cualquier repetición en cualquier base que tenga un número compuesto de dígitos es necesariamente compuesta. Por ejemplo,

  R ₃₅ ^{( b )} = 1111111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

ya que 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Esta factorización repunitaria no depende de la base b en la que se expresa la repunitaria.

Sólo los números primos (en cualquier base) que tengan un número primo de dígitos pueden ser primos. Esta es una condición necesaria pero no suficiente . Por ejemplo,

R ₁₁ ⁽²⁾ = 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89.

• Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divida a R _p ^{( b )} debe ser 1 más un múltiplo de 2 p, o un factor de b − 1. Por ejemplo, un factor primo de R ₂₉ es 62003 = 1 + 2·29·1069. La razón es que el primo p es el exponente más pequeño mayor que 1 tal que q divide a b ^p − 1, porque p es primo. Por lo tanto, a menos que q divida a b − 1, p divide la función de Carmichael de q , que es par e igual a q − 1.
• Cualquier múltiplo positivo de la repunidad R _n ^{( b )} contiene al menos n dígitos distintos de cero en base b .
• Cualquier número x es una repetición de dos dígitos en base x − 1.
• Los únicos números conocidos que son repeticiones con al menos 3 dígitos en más de una base simultáneamente son 31 (111 en base 5, 11111 en base 2) y 8191 (111 en base 90, 1111111111111 en base 2). La conjetura de Goormaghtigh dice que solo existen estos dos casos.
• Utilizando el principio del palomar se puede demostrar fácilmente que para números naturales relativamente primos n y b , existe una repunidad en base b que es múltiplo de n . Para ver esto, considérense las repunidades R ₁ ^{( b )} ,..., R _n ^{( b )} . Como hay n repunidades pero solo n −1 residuos distintos de cero módulo n , existen dos repunidades R _i ^{( b )} y R _j ^{( b )} con 1 ≤ i < j ≤ n tales que R _i ^{( b )} y R _j ^{( b )} tienen el mismo residuo módulo ⁿ . De ello se deduce que R _j ^{( b )} − R _i ^{( b )} tiene residuo 0 módulo n , es decir, es divisible por n . Como R _j ^{( b )} − R _i ^{( b )} consta de j − i unos seguidos de i ceros, R _j ^{( b )} − R _i ^{( b )} = R _{j − i} ^{( b )} × b ⁱ . Ahora n divide el lado izquierdo de esta ecuación, por lo que también divide el lado derecho, pero como n y b son primos entre sí, n debe dividir a R _{j − i} ^{( b )} .
• La conjetura de Feit-Thompson es que R _q ^{( p )} nunca divide a R _p ^{( q )} para dos primos distintos p y q .
• Utilizando el algoritmo euclidiano para la definición de repunits: R ₁ ^{( b )} = 1; R _n ^{( b )} = R _{n −1} ^{( b )} × b + 1, cualquier repunit consecutivo R _{n −1} ^{( b )} y R _n ^{( b )} son relativamente primos en cualquier base b para cualquier n .
• Si m y n tienen un divisor común d , R _m ^{( b )} y R _n ^{( b )} tienen el divisor común R _d ^{( b )} en cualquier base- b para cualquier m y n . Es decir, las repunits de una base fija forman una sucesión de divisibilidad fuerte . En consecuencia, si m y n son primos entre sí, R _m ^{( b )} y R _n ^{( b )} son primos entre sí. El algoritmo euclidiano se basa en mcd ( m , n ) = mcd ( m − n , n ) para m > n . De manera similar, usando R _m ^{( b )} − R _n ^{( b )} × b ^{m − n} = R _{m − n} ^{( b )} , se puede demostrar fácilmente que gcd ( R _m ^{( b )} , R _n ^{( b )} ) = gcd ( R _{m − n} ^{( b )} , R _n ^{( b )} ) para m > n . Por lo tanto, si gcd ( m , n ) = d , entonces gcd ( R _m ^{( b )} , R _n ^{( b )} ) = R _d ^{( b )} .

(Los factores primos coloreados en rojo significan "nuevos factores", es decir, el factor primo divide a R _n pero no divide a R _k para todo k < n ) (secuencia A102380 en la OEIS ) ^[2]

El factor primo más pequeño de R _n para n > 1 es

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 1111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, ... (secuencia A067063 en la OEIS )

La definición de repunits fue motivada por matemáticos recreativos que buscaban factores primos de dichos números.

Es fácil demostrar que si n es divisible por a , entonces R _n ^{( b )} es divisible por R _a ^{( b )} :

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),}$

donde es el polinomio ciclotómico y d varía entre los divisores de n . Para p primo,${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$${\displaystyle d^{\mathrm {th} }}$

${\displaystyle \Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},}$

que tiene la forma esperada de una repunit cuando x se sustituye por b .

Por ejemplo, 9 es divisible por 3, y por lo tanto R ₉ es divisible por R ₃ —de hecho, 111111111 = 111 · 1001001. Los polinomios ciclotómicos correspondientes y son y , respectivamente. Por lo tanto, para que R _n sea primo, n debe ser necesariamente primo, pero no es suficiente que n sea primo. Por ejemplo, R ₃  = 111 = 3 · 37 no es primo. Excepto para este caso de R ₃ , p solo puede dividir a R _n para n primo si p = 2 kn + 1 para algún k .${\displaystyle \Phi _{3}(x)}$${\displaystyle \Phi _{9}(x)}$${\displaystyle x^{2}+x+1}$${\displaystyle x^{6}+x^{3}+1}$

R _n es primo para n  = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453 ... (secuencia A004023 en OEIS ). El 3 de abril de 2007, Harvey Dubner (quien también encontró R ₄₉₀₈₁ ) anunció que R ₁₀₉₂₉₇ es un primo probable. ^[3] El 15 de julio de 2007, Maksym Voznyy anunció que R ₂₇₀₃₄₃ era probablemente primo. ^[4] Serge Batalov y Ryan Propper encontraron que R _5794777 y R _8177207 eran primos probables el 20 de abril y el 8 de mayo de 2021, respectivamente. ^[5] En el momento de su descubrimiento, cada uno era el primo probable más grande conocido. El 22 de marzo de 2022, finalmente se demostró que el primo probable R ₄₉₀₈₁ era un primo. ^[6] El 15 de mayo de 2023 se demostró finalmente que el primo probable R ₈₆₄₅₃ era un primo. ^[7]

Se ha conjeturado que hay infinitos primos repunitarios ^[8] y parecen ocurrir aproximadamente con la misma frecuencia que predeciría el teorema de los números primos : el exponente del N -ésimo primo repunitario generalmente está alrededor de un múltiplo fijo del exponente del ( N −1)ésimo.

Los primos repunitarios son un subconjunto trivial de los primos permutables , es decir, primos que siguen siendo primos después de cualquier permutación de sus dígitos.

Las propiedades particulares son

• El resto de R _n módulo 3 es igual al resto de n módulo 3. Usando 10 ^a ≡ 1 (mod 3) para cualquier a ≥ 0,
  n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod R ₃ ),
  n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₁ ≡ 1 (mod R ₃ ),
  n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₂ ≡ 11 (mod R ₃ ).
  Por lo tanto, 3 | n ⇔ 3 | Rn ⇔ R3 | Rn ._​​​
• El resto de R _n módulo 9 es igual al resto de n módulo 9. Usando 10 ^a ≡ 1 (mod 9) para cualquier a ≥ 0,
  n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ R _r (mod R ₉ ),
  para 0 ≤ r < 9.
  Por lo tanto, 9 | n ⇔ 9 | R _n ⇔ R ₉ | R _n .

Si b es una potencia perfecta (puede escribirse como m ⁿ , con m , n enteros, n > 1) es distinta de 1, entonces hay como máximo una repunit en base b . Si n es una potencia prima (puede escribirse como p ^r , con p primo, r entero, p , r > 0), entonces todas las repunit en base b no son primas, excepto R _p y R ₂ . R _p puede ser primo o compuesto, los primeros ejemplos, b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, etc., los últimos ejemplos, b = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, etc., y R ₂ puede ser primo (cuando p difiere de 2) solo si b es negativo, una potencia de −2, por ejemplo, b = −8, −32, −128, −8192, etc., de hecho, el R ₂ también puede ser compuesto, por ejemplo, b = −512, −2048, −32768, etc. Si n no es una potencia prima, entonces no existe ningún primo repunitario de base b , por ejemplo, b = 64, 729 (con n = 6), b = 1024 (con n = 10), y b = −1 o 0 (con n cualquier número natural). Otra situación especial es b = −4 k ⁴ , con k entero positivo, que tiene la factorización aurifeuilleana , por ejemplo, b = −4 (con k = 1, entonces R ₂ y R ₃ son primos), y b = −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (con k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), entonces no existe ningún primo repunitario en base b . También se conjetura que cuando b no es ni una potencia perfecta ni −4 k ⁴ con k entero positivo, entonces hay infinitos primos repunitarios en base b .

Una conjetura relacionada con los primos repunit generalizados: ^{[9] [10]} (la conjetura predice dónde está el próximo primo de Mersenne generalizado , si la conjetura es verdadera, entonces hay infinitos primos repunit para todas las bases )${\displaystyle b}$

Para cualquier entero que satisfaga las condiciones:${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle |b|>1}$.
2. ${\displaystyle b}$no es una potencia perfecta . (ya que cuando es una potencia perfecta, se puede demostrar que hay como máximo un valor tal que es primo, y este valor es él mismo o una raíz de )${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$
3. ${\displaystyle b}$no está en la forma . (si es así, entonces el número tiene factorización aurifeuilleana )${\displaystyle -4k^{4}}$

ha generalizado números primos repunit de la forma

${\displaystyle R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}}$

Para los números primos , los números primos se distribuirán cerca de la línea de mejor ajuste.${\displaystyle p}$

${\displaystyle Y=G\cdot \log _{|b|}\left(\log _{|b|}\left(R_{(b)}(n)\right)\right)+C,}$

donde límite ,${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...}$

y hay alrededor de

${\displaystyle \left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b|)}}}$

Los primos de repunit base- b son menores que N.

• ${\displaystyle e}$es la base del logaritmo natural .
• ${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni .
• ${\displaystyle \log _{|b|}}$es el logaritmo en base ${\displaystyle |b|}$
• ${\displaystyle R_{(b)}(n)}$es el ésimo primo generalizado en base b (con primo p )${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle C}$es una constante de ajuste de datos que varía con .${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \delta =1}$si , si .${\displaystyle b>0}$${\displaystyle \delta =1.6}$${\displaystyle b<0}$
• ${\displaystyle m}$es el número natural más grande tal que es una potencia ésima.${\displaystyle -b}$${\displaystyle 2^{m-1}}$

También contamos con las siguientes 3 propiedades:

1. El número de números primos de la forma (con primo ) menor o igual a es aproximadamente .${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}}$
2. El número esperado de números primos de la forma con primos entre y es aproximadamente .${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |b|\cdot n}$${\displaystyle e^{\gamma }}$
3. La probabilidad de que un número de la forma sea primo (para primo ) es aproximadamente .${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}}$

Aunque entonces no se conocían con ese nombre, las repunits en base 10 fueron estudiadas por muchos matemáticos durante el siglo XIX en un esfuerzo por determinar y predecir los patrones cíclicos de los decimales repetidos . ^[11]

Se descubrió muy pronto que para cualquier primo p mayor que 5, el período de la expansión decimal de 1/ p es igual a la longitud del número repunit más pequeño que es divisible por p . En 1860 se habían publicado tablas del período del recíproco de primos hasta 60.000 y permitieron la factorización por parte de matemáticos como Reuschle de todos los repunits hasta R ₁₆ y muchos más grandes. En 1880, incluso R ₁₇ a R ₃₆ habían sido factorizados ^[11] y es curioso que, aunque Édouard Lucas demostró que ningún primo por debajo de tres millones tenía período diecinueve , no hubo ningún intento de probar la primalidad de ningún repunit hasta principios del siglo XX. El matemático estadounidense Oscar Hoppe demostró que R ₁₉ era primo en 1916 ^[12] y Lehmer y Kraitchik encontraron independientemente que R ₂₃ era primo en 1929.

No se produjeron más avances en el estudio de los repunits hasta la década de 1960, cuando las computadoras permitieron encontrar muchos factores nuevos de repunits y corregir las lagunas en las tablas anteriores de períodos primos. Se descubrió que R ₃₁₇ era un primo probable alrededor de 1966 y se demostró que era primo once años después, cuando se demostró que R ₁₀₃₁ era el único repunit primo posible con menos de diez mil dígitos. Se demostró que era primo en 1986, pero las búsquedas de más repunits primos en la década siguiente fracasaron sistemáticamente. Sin embargo, hubo un importante desarrollo secundario en el campo de los repunits generalizados, que produjo una gran cantidad de nuevos primos y primos probables.

Desde 1999 se han descubierto otras cuatro repunits probablemente primos, pero es poco probable que alguna de ellas pueda demostrarse como tal en el futuro previsible debido a su enorme tamaño.

El proyecto Cunningham intenta documentar las factorizaciones enteras de (entre otros números) los repunits en base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 y 12.

DR Kaprekar ha definido los números Demlo como la concatenación de una parte izquierda, media y derecha, donde la parte izquierda y la derecha deben tener la misma longitud (hasta un posible cero inicial a la izquierda) y deben sumar un número repdigit, y la parte media puede contener cualquier número adicional de este dígito repetido. ^[13] Reciben su nombre de la estación de tren Demlo (ahora llamada Dombivili ) a 30 millas de Bombay en el entonces ferrocarril GIP , donde Kaprekar comenzó a investigarlos. Llama números Demlo maravillosos a aquellos de la forma 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. El hecho de que estos sean los cuadrados de los repunits ha llevado a algunos autores a llamar números Demlo a la secuencia infinita de estos, ^[14] 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (secuencia A002477 en la OEIS ), aunque se puede comprobar que estos no son números Demlo para p = 10, 19, 28, ...

• Un solo polinomio : otra generalización
• Conjetura de Goormaghtigh
• Decimal periódico
• Repdigit
• Primo de Wagstaff : se puede pensar en ellos como primos repunit con base negativa ${\displaystyle b=-2}$

• Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreaciones en la teoría de los números: La reina de las matemáticas entretiene, Dover Recreational Math (2.ª edición revisada), Nueva York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
• Dickson, Leonard Eugene ; Cresse, GH (1999), Historia de la teoría de los números, volumen I: divisibilidad y primalidad (2.ª edición reimpresa), Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-1934-0
• Francis, Richard L. (1988), "Pajares matemáticos: otra mirada a los números repunitarios", The College Mathematics Journal , 19 (3): 240–246, doi :10.1080/07468342.1988.11973120
• Gunjikar, KR; Kaprekar, DR (1939), "Teoría de los números de Demlo" (PDF) , Revista de la Universidad de Bombay , VIII (3): 3–9
• Kaprekar, DR (1938a), "Sobre los maravillosos números de Demlo", The Mathematics Student , 6 : 68
• Kaprekar, DR (1938b), "Números de Demlo", J. Phys. Sci. Univ. Bombay , VII (3)
• Kaprekar, DR (1948), Números de Demlo , Devlali, India: Khareswada
• Ribenboim, Paulo (2 de febrero de 1996), El nuevo libro de registros de números primos, computadoras y medicina (3.ª ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Yates, Samuel (1982), Reuniones y repeticiones, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

• Weisstein, Eric W. "Repunit". MundoMatemático .
• Las tablas principales del proyecto Cunningham.
• Repunit en The Prime Pages por Chris Caldwell.
• Repunits y sus factores primos en World!Of Numbers.
• Reuniones generalizadas de números primos de al menos 1000 dígitos decimales por Andy Steward
• Proyecto Repunit Primes Página de repunit primes de Giovanni Di Maria.
• Primo impar más pequeño p tal que (b^p-1)/(b-1) y (b^p+1)/(b+1) es primo para bases 2<=b<=1024
• Factorización de números repunitarios
• Primos de repunit generalizados en base -50 a 50