Repdigit

En matemáticas recreativas , un repdigit o, a veces, un monodigit ^[1] es un número natural compuesto por instancias repetidas del mismo dígito en un sistema numérico posicional (a menudo implícitamente decimal ). La palabra es un acrónimo de "repetido" y "dígito". Algunos ejemplos son 11 , 666 , 4444 y 999999. Todos los repdigits son números palindrómicos y son múltiplos de repunits . Otros repdigits conocidos incluyen los primos repunit y, en particular, los primos de Mersenne (que son repdigits cuando se representan en binario).

Los repdigits son la representación en base del número donde es el dígito repetido y es el número de repeticiones. Por ejemplo, el repdigit 77777 en base 10 es .${\estilo de visualización B}$${\displaystyle x{\frac {B^{y}-1}{B-1}}}$${\estilo de visualización 0<x<B}$${\displaystyle 1<y}$${\displaystyle 7\times {\frac {10^{5}-1}{10-1}}}$

Una variación de los repdigits llamados números brasileños son números que se pueden escribir como un repdigit en alguna base, no permitiendo el repdigit 11, y no permitiendo los números de un solo dígito (o todos los números serán brasileños). Por ejemplo, 27 es un número brasileño porque 27 es el repdigit 33 en base 8, mientras que 9 no es un número brasileño porque su única representación repdigit es 11 ₈ , no permitida en la definición de números brasileños. Las representaciones de la forma 11 se consideran triviales y están deshabilitadas en la definición de números brasileños, porque todos los números naturales n mayores que dos tienen la representación 11 _{n − 1} . ^[2] Los primeros veinte números brasileños son

7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, ... (secuencia A125134 en la OEIS ).

En algunos sitios web (incluidos los foros de imágenes como 4chan ), se considera un evento auspicioso cuando el número de identificación asignado secuencialmente a una publicación es un repdigit, como 22,222,222, que es un tipo de "GET" (otros incluyen números redondos como 34,000,000 o dígitos secuenciales como 12,345,678). ^{[3] [4]}

El concepto de repdigit ha sido estudiado bajo ese nombre desde al menos 1974, ^[5] y anteriormente Beiler (1966) los llamó "números monodigit". ^[1] Los números brasileños fueron introducidos más tarde, en 1994, en la IX Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas que tuvo lugar en Fortaleza , Brasil. El primer problema de esta competencia, propuesto por México, fue el siguiente: ^[6]

Un número n > 0 se llama "brasileño" si existe un entero b tal que 1 < b < n – 1 para el cual la representación de n en base b se escribe con todos los dígitos iguales. Demuestre que 1994 es brasileño y que 1993 no es brasileño.

Para que un repdigit sea primo , debe ser un repunit (es decir, el dígito que se repite es 1) y tener un número primo de dígitos en su base (excepto números triviales de un solo dígito), ya que, por ejemplo, el repdigit 77777 es divisible por 7, en cualquier base > 7. En particular, como los repunit brasileños no permiten que el número de dígitos sea exactamente dos, los primos brasileños deben tener un número primo impar de dígitos. ^[7] Tener un número primo impar de dígitos no es suficiente para garantizar que un repunit sea primo; por ejemplo, 21 = 111 ₄ = 3 × 7 y 111 = 111 ₁₀ = 3 × 37 no son primos. En cualquier base dada b , cada primo repunit en esa base con la excepción de 11 _b (si es primo) es un primo brasileño. Los primos brasileños más pequeños son

7 = 111 ₂ , 13 = 111 ₃ , 31 = 11111 ₂ = 111 ₅ , 43 = 111 ₆ , 73 = 111 ₈ , 127 = 1111111 ₂ , 157 = 111 ₁₂ , ... (secuencia A085104 en la OEIS )

Mientras que la suma de los recíprocos de los números primos es una serie divergente, la suma de los recíprocos de los números primos brasileños es una serie convergente cuyo valor, llamado "constante de primos brasileños", es ligeramente mayor que 0,33 (secuencia A306759 en la OEIS ). ^[8] Esta convergencia implica que los primos brasileños forman una fracción minúscula de todos los números primos. Por ejemplo, entre los 3,7×10 ¹⁰ números primos menores que 10 ¹² , solo 8,8×10 ⁴ son brasileños.

Los números primos de repunit decimales tienen la forma de los valores de n que figuran en OEIS : A004023 . Se ha conjeturado que existen infinitos números primos de repunit decimales. ^[9] Los números primos de repunit binarios son los números de Mersenne y los números primos de repunit binarios son los números primos de Mersenne .${\displaystyle R_{n}={\tfrac {10^{n}-1}{9}}\ {\mbox{con }}n\geq 3}$

Se desconoce si hay infinitos primos brasileños. Si la conjetura de Bateman-Horn es cierta, entonces para cada número primo de dígitos existirían infinitos primos repunit con ese número de dígitos (y en consecuencia infinitos primos brasileños). Alternativamente, si hay infinitos primos repunit decimales, o infinitos primos de Mersenne, entonces hay infinitos primos brasileños. ^[10] Debido a que una fracción extremadamente pequeña de primos son brasileños, hay infinitos primos no brasileños, formando la secuencia

2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53, ... (secuencia A220627 en la OEIS )

Si un número de Fermat es primo, no es brasileño, pero si es compuesto, es brasileño. ^[11] Contradiciendo una conjetura previa, ^[12] Resta, Marcus, Grantham y Graves encontraron ejemplos de primos de Sophie Germain que son brasileños, el primero es 28792661 = 11111 ₇₃ . ^[13]${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

Los únicos números enteros positivos que pueden ser no brasileños son 1, 6, los primos y los cuadrados de los primos, pues todo otro número es el producto de dos factores x e y con 1 < x < y − 1, y puede escribirse como xx en base y − 1. ^[14] Si un cuadrado de un primo p ² es brasileño, entonces el primo p debe satisfacer la ecuación diofántica.

El matemático noruego Trygve Nagell ha demostrado ^[15] que esta ecuación tiene una única solución cuando p es primo correspondiente a ( p , b , q ) = (11, 3, 5) . Por lo tanto, el único primo al cuadrado que es brasileño es 11 ² = 121 = 11111 ₃ . También hay un cuadrado repunit más no trivial, la solución ( p , b , q ) = (20, 7, 4) correspondiente a 20 ² = 400 = 1111 ₇ , pero no es excepcional con respecto a la clasificación de los números brasileños porque 20 no es primo.

Las potencias perfectas que son repeticiones con tres dígitos o más en alguna base b se describen mediante la ecuación diofántica de Nagell y Ljunggren ^[16]

Yann Bugeaud y Maurice Mignotte conjeturan que sólo tres potencias perfectas son repeticiones brasileñas: 121, 343 y 400 (secuencia A208242 en la OEIS ), los dos cuadrados enumerados anteriormente y el cubo 343 = 7 ³ = 111 ₁₈ . ^[17]

• El número de maneras en que un número n es brasileño está en OEIS : A220136 . Por lo tanto, existen números que no son brasileños y otros que sí lo son; entre estos últimos enteros, algunos son brasileños una vez, otros son brasileños dos veces, o tres veces, o más. Un número que es k veces brasileño se llama número k-brasileño .
• Los números no brasileños o 0- brasileños están constituidos por el 1 y el 6, junto con algunos primos y algunos cuadrados de primos. La secuencia de los números no brasileños comienza con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25, ... (secuencia A220570 en la OEIS ).
• La secuencia de números 1 -brasileños está compuesta por otros primos, el único cuadrado de primo que es brasileño, 121, y números compuestos ≥ 8 que son el producto de solo dos factores distintos tales que n = a × b = aa _{b –1} con 1 < a < b – 1 . (secuencia A288783 en la OEIS ).
• Los 2 -números brasileños (secuencia A290015 en la OEIS ) están formados por números compuestos y sólo dos primos: 31 y 8191. De hecho, según la conjetura de Goormaghtigh , estos dos primos son las únicas soluciones conocidas de la ecuación diofántica :
  ${\displaystyle p={\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}$con x , y  > 1 y n , m  > 2:
  • ( p ,  x ,  y ,  m ,  n ) = (31, 5, 2, 3, 5) correspondiente a 31 = 11111 ₂ = 111 ₅ , y,
  • ( p ,  x ,  y ,  m ,  n ) = (8191, 90, 2, 3, 13) correspondiente a 8191 = 1111111111111 ₂ = 111 ₉₀ , con 11111111111 es la unidad con trece dígitos 1.
• Para cada secuencia de k-números brasileños , existe un término más pequeño. La secuencia con estos k -números brasileños más pequeños comienza con 1, 7, 15, 24, 40, 60, 144, 120, 180, 336, 420, 360, ... y están en OEIS : A284758 . Por ejemplo, 40 es el número 4-brasileño más pequeño con 40 = 1111 ₃ = 55 ₇ = 44 ₉ = 22 ₁₉ .
• En el Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers , ^[18] Daniel Lignon propone que un número entero es altamente brasileño si es un número entero positivo con más representaciones brasileñas que cualquier número entero positivo más pequeño. Esta definición proviene de la definición de números altamente compuestos creada por Srinivasa Ramanujan en 1915. Los primeros números altamente brasileños son 1, 7, 15, 24, 40, 60, 120, 180, 336, 360, 720, ... y están exactamente en OEIS : A329383 . Desde 360 ​​hasta 321253732800 (tal vez más), hay 80 números altamente compuestos sucesivos que también son números altamente brasileños, véase OEIS : A279930 .

Algunas publicaciones de medios populares han publicado artículos que sugieren que los números de repunit tienen un significado numerológico , describiéndolos como "números de ángel". ^{[19] [20] [21]}

• Seis nueves en pi

• Weisstein, Eric W. "Repdigit". MathWorld .
• Problemas IX Olimpíada Iberoamericana de Matemática

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