Anualidad

En el ámbito de las inversiones , una anualidad es una serie de pagos realizados a intervalos iguales. ^[1] Algunos ejemplos de anualidades son los depósitos regulares en una cuenta de ahorros , los pagos mensuales de la hipoteca de una vivienda , los pagos mensuales de seguros y los pagos de pensiones . Las anualidades se pueden clasificar por la frecuencia de las fechas de pago. Los pagos (depósitos) pueden realizarse semanalmente, mensualmente, trimestralmente, anualmente o en cualquier otro intervalo de tiempo regular. Las anualidades se pueden calcular mediante funciones matemáticas conocidas como "funciones de anualidad".

Una anualidad que prevé pagos durante el resto de la vida de una persona es una anualidad vitalicia . Una anualidad que continúa indefinidamente es una anualidad perpetua .

Las anualidades pueden clasificarse de varias maneras.

Los pagos de una anualidad inmediata se realizan al final de los períodos de pago, de modo que se acumulan intereses entre la emisión de la anualidad y el primer pago. Los pagos de una anualidad vencida se realizan al comienzo de los períodos de pago, por lo que el pago se realiza inmediatamente después de la emisión.

Las anualidades que prevén pagos que se realizarán durante un período conocido de antemano se denominan anualidades seguras o garantizadas. Las anualidades pagadas solo en determinadas circunstancias se denominan anualidades contingentes . Un ejemplo común es la anualidad vitalicia , que se paga durante el resto de la vida del beneficiario. Las anualidades seguras y vitalicias tienen un pago garantizado durante una cantidad de años y luego pasan a ser contingentes a la vida del beneficiario.

• Anualidades fijas : son anualidades con pagos fijos. Si las ofrece una compañía de seguros, la compañía garantiza un rendimiento fijo sobre la inversión inicial. En los Estados Unidos, las anualidades fijas no están reguladas por la Comisión de Bolsa y Valores . ^{[ cita requerida ]}
• Rentas vitalicias variables : productos registrados y regulados por la SEC en los Estados Unidos de América. Permiten la inversión directa en diversos fondos creados especialmente para rentas vitalicias variables. Normalmente, la compañía de seguros garantiza un determinado beneficio por fallecimiento o beneficios de retiro en vida.
• Anualidades indexadas a acciones : anualidades con pagos vinculados a un índice. Por lo general, el pago mínimo será del 0 % y el máximo estará predeterminado. El rendimiento de un índice determina si se acredita al cliente el mínimo, el máximo o algo intermedio.

Una anualidad que comienza a pagar solo después de un período es una anualidad diferida (generalmente después de la jubilación). Una anualidad que comienza a pagar tan pronto como el cliente ha pagado, sin un período de aplazamiento, es una anualidad inmediata . ^{[ cita requerida ]}

La valoración de una anualidad implica el cálculo del valor actual de los pagos futuros de la anualidad. La valoración de una anualidad implica conceptos como el valor temporal del dinero , la tasa de interés y el valor futuro . ^[2]

Si se conoce de antemano el número de pagos, la anualidad es una anualidad segura o garantizada . La valoración de las anualidades seguras puede calcularse mediante fórmulas en función del momento de los pagos.

Si los pagos se realizan al final de los períodos de tiempo, de modo que los intereses se acumulan antes del pago, la anualidad se denomina anualidad inmediata o anualidad ordinaria . Los pagos hipotecarios son anualidades inmediatas, los intereses se devengan antes de ser pagados.

La anualidad vencida se refiere a una serie de pagos iguales que se realizan en el mismo intervalo al comienzo de cada período. Los períodos pueden ser mensuales, trimestrales, semestrales, anuales o cualquier otro período definido. Algunos ejemplos de pagos de anualidad vencida incluyen alquileres, arrendamientos y pagos de seguros, que se realizan para cubrir servicios prestados en el período posterior al pago.

El valor actual de una anualidad es el valor de un flujo de pagos, descontado por la tasa de interés para tener en cuenta el hecho de que los pagos se realizan en distintos momentos en el futuro. El valor actual se expresa en notación actuarial de la siguiente manera:

${\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}},}$

donde es el número de plazos y es la tasa de interés por período. El valor actual es lineal en el monto de los pagos, por lo tanto, el valor actual de los pagos o del alquiler es:${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización i}$ ${\estilo de visualización R}$

${\displaystyle {\text{PV}}(i,n,R)=R\times a_{{\overline {n}}|i}.}$

En la práctica, los préstamos suelen expresarse por año, mientras que los intereses se capitalizan y los pagos se realizan mensualmente. En este caso, el interés se expresa como una tasa de interés nominal y .${\displaystyle I}$${\textstyle i=I/12}$

El valor futuro de una anualidad es el monto acumulado, incluidos los pagos e intereses, de un flujo de pagos realizados a una cuenta que devenga intereses. En el caso de una anualidad inmediata, es el valor inmediatamente después del pago n-ésimo. El valor futuro viene dado por:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}},}$

donde es el número de plazos y es la tasa de interés por período. El valor futuro es lineal en la cantidad de pagos, por lo tanto, el valor futuro de los pagos o del alquiler es:${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización i}$ ${\estilo de visualización R}$

${\displaystyle {\text{FV}}(i,n,R)=R\times s_{{\overline {n}}|i}}$

Ejemplo: El valor actual de una anualidad de 5 años con una tasa de interés anual nominal del 12% y pagos mensuales de $100 es:

${\displaystyle {\text{PV}}\left({\frac {0.12}{12}},5\times 12,\$100\right)=\$100\times a_{{\overline {60}}|0.01}=\$4,495.50}$

La renta se entiende como la cantidad pagada al final de cada período a cambio de una cantidad PV tomada prestada en el momento cero, el capital del préstamo, o como la cantidad pagada por una cuenta que devenga intereses al final de cada período cuando la cantidad PV se invierte en el momento cero y la cuenta se vuelve cero con el n-ésimo retiro.

Los valores futuros y presentes están relacionados porque:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times a_{{\overline {n}}|i}}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}=i}$

Para calcular el valor actual, el k -ésimo pago debe descontarse al presente dividiéndolo por el interés compuesto por k términos. Por lo tanto, la contribución del k -ésimo pago R sería . Si consideramos que R es 1, entonces:${\displaystyle {\frac {R}{(1+i)^{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\overline {n}}|i}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}={\frac {1}{1+i}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}\\[5pt]&={\frac {1}{1+i}}\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}}\right)\quad \quad {\text{usando la ecuación para la suma de una serie geométrica}}\\[5pt]&={\frac {1-(1+i)^{-n}}{1+i-1}}\\[5pt]&={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\derecha)^{n}}{i}},\end{alineado}}}$

lo que nos da el resultado requerido.

De manera similar, podemos demostrar la fórmula para el valor futuro. El pago realizado al final del último año no acumularía intereses y el pago realizado al final del primer año acumularía intereses por un total de ( n  − 1) años. Por lo tanto,

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=1+(1+i)+(1+i)^{2}+\cdots +(1+i)^{n-1}=(1+i)^{n}a_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}.}$

Una anualidad vencida es una anualidad cuyos pagos se realizan al comienzo de cada período. ^[3] Los depósitos en ahorros, los pagos de alquiler o arrendamiento y las primas de seguros son ejemplos de anualidades vencidas.

Cada pago de anualidad puede acumularse durante un período adicional, por lo que se pueden calcular los valores presentes y futuros de una anualidad adeudada.

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times a_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{d}},}$

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times s_{{\overline {n|}}i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d}},}$

donde es el número de plazos, es la tasa de interés por plazo y es la tasa efectiva de descuento dada por .${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle d={\frac {i}{i+1}}}$

Los valores futuros y presentes de las anualidades vencidas están relacionados porque:

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times {\ddot {a}}_{{\overline {n}} |yo},}$

${\displaystyle {\frac {1}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{{\ddot {s}}_{{\ sobrelínea {n}}|i}}}=d.}$

Ejemplo: El valor final de una anualidad con vencimiento a 7 años con una tasa de interés anual nominal del 9% y pagos mensuales de $100 se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle {\text{FV}}_{\text{debido}}\left({\frac {0.09}{12}},7\times 12,\$100\right)=\$100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}}|0.0075}=\$11,730.01.}$

En Excel, las funciones PV y FV toman un quinto argumento opcional que selecciona entre anualidad inmediata o anualidad vencida.

Una anualidad vencida con n pagos es la suma de un pago de anualidad actual y una anualidad ordinaria con un pago menos, y también igual, con un cambio en el tiempo, a una anualidad ordinaria. Por lo tanto, tenemos:

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)=a_{{\overline {n-1 |}}i}+1}$. El valor en el momento del primero de n pagos de 1.

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=s_{{\overline {n}}|i}(1+i)=s_{{\overline {n+1 |}}i}-1}$. El valor un período después del momento del último de n pagos de 1.

Una perpetuidad es una anualidad cuyos pagos continúan para siempre. Observe que

${\displaystyle \lim _{n\,\rightarrow \,\infty }{\text{PV}}(i,n,R)=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times a_{{\overline {n}}|i}=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}=\,{\frac {R}{i}}.}$

Por lo tanto, una perpetuidad tiene un valor presente finito cuando existe una tasa de descuento distinta de cero. Las fórmulas para una perpetuidad son

${\displaystyle a_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{i}}{\text{ and }}{\ddot {a}}_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{d}},}$

donde es la tasa de interés y es la tasa de descuento efectiva.${\displaystyle i}$${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}$

La valoración de las rentas vitalicias puede realizarse calculando el valor actual actuarial de los pagos contingentes de vida futuros. Las tablas de mortalidad se utilizan para calcular la probabilidad de que el beneficiario de la renta viva hasta cada período de pago futuro. La valoración de las rentas vitalicias también depende del momento de los pagos, al igual que ocurre con las rentas vitalicias ciertas; sin embargo, las rentas vitalicias no pueden calcularse con fórmulas similares porque el valor actual actuarial tiene en cuenta la probabilidad de muerte a cada edad.

Si una anualidad es para pagar una deuda P con intereses, el monto adeudado después de n pagos es

${\displaystyle {\frac {R}{i}}-(1+i)^{n}\left({\frac {R}{i}}-P\right).}$

Porque el esquema es equivalente a tomar prestada la cantidad para crear una perpetuidad con cupón , y poner esa cantidad prestada en el banco para que crezca con interés .${\displaystyle {\frac {R}{i}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\frac {R}{i}}-P}$${\displaystyle i}$

También se puede pensar en esto como el valor actual de los pagos restantes.

${\displaystyle R\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {(i+1)^{n-N}}{i}}\right]=R\times a_{{\overline {N-n}}|i}.}$

Véase también hipoteca a tipo fijo .

Fórmula para encontrar el pago periódico R , dado A :

${\displaystyle R={\frac {A}{1+\left(1-\left(1+{\frac {j}{m}}\right)\right)^{-{\frac {(n-1)}{j/m}}}}}}$

Ejemplos:

1. Calcule el pago periódico de una anualidad con vencimiento de $70 000, pagadero anualmente durante 3 años a una tasa compuesta anual del 15 %.
   • R = 70.000/(1+〖(1-(1+((.15)/1) )〗^(-(3-1))/((.15)/1))
   • R = 70.000/2,625708885
   • R = $26659.46724

Encuentra el factor PVOA como. 1) encuentra r como, (1 ÷ 1,15)= 0,8695652174 2) encuentra r × ( r ⁿ − 1) ÷ ( r − 1) 08695652174 × (−0,3424837676)÷ (−1304347826) = 2,2832251175 70000÷ 2,2832251175= $30658,3873 es el valor correcto

1. Calcule el pago periódico de una anualidad con vencimiento de $250,700, pagadero trimestralmente durante 8 años al 5% compuesto trimestralmente.
   • R= 250.700/(1+〖(1-(1+((.05)/4) )〗^(-(32-1))/((.05)/4))
   • R = 250.700/26,5692901
   • R = $9,435.71

Encontrar el pago periódico (R), dado S:

R = S\,/((〖((1+(j/m) )〗^(n+1)-1)/(j/m)-1)

Ejemplos:

1. Encuentre el pago periódico de un valor acumulado de $55,000, pagadero mensualmente durante 3 años al 15% compuesto mensualmente.
   • R=55.000/((〖((1+((.15)/12) )〗^(36+1)-1)/((.15)/12)-1)
   • R = 55.000/45,67944932
   • R = $1,204.04
2. Encuentre el pago periódico de un valor acumulado de $1,600,000, pagadero anualmente durante 3 años al 9% compuesto anualmente.
   • R=1.600.000/((〖((1+((.09)/1) )〗^(3+1)-1)/((.09)/1)-1)
   • R = 1.600.000/3,573129
   • R = $447,786.80

• Anualidades según la ley estadounidense
• Las rentas vitalicias según el derecho europeo
• Rentas vitalicias según la legislación suiza

• Calculadora de amortización
• Hipoteca a tipo fijo
• Renta vitalicia
• Perpetuidad
• Valor temporal del dinero

• Samuel A. Broverman (2010). Matemáticas de inversión y crédito, 5.ª edición . Serie académica ACTEX. Publicaciones ACTEX. ISBN 978-1-56698-767-7.
• Stephen Kellison (2008). Teoría del interés, 3.ª edición . McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-338244-9.
• Sprague, Thomas Bond (1878). "Anualidades"  . Encyclopædia Britannica . Vol. II (novena edición). Págs. 72–89.