Notación actuarial

La notación actuarial es un método abreviado que permite a los actuarios registrar fórmulas matemáticas que tratan con tasas de interés y tablas de vida .

La notación tradicional utiliza un sistema de halo, en el que los símbolos se colocan como superíndice o subíndice antes o después de la letra principal. A continuación, se puede ver un ejemplo de notación que utiliza el sistema de halo.

Se han hecho varias propuestas para adoptar un sistema lineal, en el que toda la notación estaría en una sola línea sin el uso de superíndices o subíndices. Este método sería útil para los cálculos en los que la representación del sistema de halo puede resultar extremadamente difícil. Sin embargo, todavía no ha surgido un sistema lineal estándar.

${\estilo de visualización \,i}$es la tasa de interés efectiva anual , que es la tasa de interés "real" a lo largo de un año . Por lo tanto, si la tasa de interés anual es del 12%, entonces .${\displaystyle \,i=0,12}$

${\displaystyle \,i^{(m)}}$(pronunciado "i upper m") es la tasa de interés nominal convertible veces al año, y es numéricamente igual a veces la tasa de interés efectiva durante un ^º de año. Por ejemplo, es la tasa de interés nominal convertible semestralmente. Si la tasa de interés anual efectiva es 12%, entonces representa la tasa de interés efectiva cada seis meses. Como , tenemos y por lo tanto . El ^"(m)" que aparece en el símbolo no es un " exponente ". Simplemente representa el número de conversiones de interés, o veces de capitalización, por año. La capitalización semestral (o conversión de interés cada seis meses), se utiliza con frecuencia para valorar bonos (ver también valores de renta fija ) e instrumentos de pasivo financiero monetario similares, mientras que las hipotecas de vivienda con frecuencia convierten el interés mensualmente. Siguiendo nuevamente el ejemplo anterior donde , tenemos desde .${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \,i^{(2)}}$${\displaystyle \,i^{(2)}/2}$${\displaystyle\,(1,0583)^{2}=1,12}$${\displaystyle\,i^{(2)}/2=0,0583}$${\displaystyle\,i^{(2)}=0,1166}$${\displaystyle \,i^{(m)}}$${\displaystyle \,i=0,12}$${\displaystyle \,i^{(12)}=0,1139}$${\displaystyle \,\left(1+{\frac {0.1139}{12}}\right)^{12}=1.12}$

Las tasas de interés nominales y efectivas no son las mismas porque el interés pagado en períodos de medición anteriores "gana" interés en períodos de medición posteriores; esto se llama interés compuesto . Es decir, las tasas de interés nominales acreditan interés a un inversor (o alternativamente cargan o debitan interés a un deudor) con mayor frecuencia que las tasas efectivas. El resultado es una capitalización más frecuente de los ingresos por intereses para el inversor (o los gastos por intereses para el deudor) cuando se utilizan tasas nominales.

El símbolo representa el valor actual de 1 que se pagará dentro de un año:${\estilo de visualización \,v}$

${\displaystyle \,v={(1+i)}^{-1}\aproximadamente 1-i+i^{2}}$

Este factor de valor actual, o factor de descuento, se utiliza para determinar la cantidad de dinero que se debe invertir ahora para tener una determinada cantidad de dinero en el futuro. Por ejemplo, si necesita 1 en un año, entonces la cantidad de dinero que debe invertir ahora es: . Si necesita 25 en 5 años, la cantidad de dinero que debe invertir ahora es: .${\displaystyle \,1\veces v}$${\displaystyle \,25\veces v^{5}}$

${\estilo de visualización \,d}$es la tasa de descuento efectiva anual :

${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}\aproximadamente ii^{2}}$

El valor de también se puede calcular a partir de las siguientes relaciones: La tasa de descuento es igual a la cantidad de interés devengada durante un período de un año, dividida por el saldo de dinero al final de ese período. Por el contrario, una tasa de interés efectiva anual se calcula dividiendo la cantidad de interés devengada durante un período de un año por el saldo de dinero al comienzo del año. El valor presente (hoy) de un pago de 1 que se realizará años en el futuro es . Esto es análogo a la fórmula para el valor futuro (o acumulado) años en el futuro de una cantidad de 1 invertida hoy.${\estilo de visualización \,d}$${\displaystyle \,(1-d)=v={(1+i)}^{-1}}$${\estilo de visualización \,n}$${\displaystyle \,{(1-d)}^{n}}$${\displaystyle \,{(1+i)}^{n}}$${\estilo de visualización \,n}$

${\displaystyle \,d^{(m)}}$, la tasa nominal de descuento convertible multiplicada por 1 por año, es análoga a . El descuento se convierte sobre una base ^th -ly.${\estilo de visualización \,m}$${\displaystyle \,i^{(m)}}$${\estilo de visualización m}$

${\estilo de visualización \,\delta }$, la fuerza del interés , es el valor límite de la tasa nominal de interés cuando aumenta sin límite:${\estilo de visualización m}$

${\displaystyle \,\delta =\lim _{m\to \infty }i^{(m)}}$

En este caso el interés es convertible de forma continua .

La relación general entre , y es:${\estilo de visualización \,i}$${\estilo de visualización \,\delta }$${\estilo de visualización \,d}$

${\displaystyle \,(1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}}$

Su valor numérico se puede comparar de la siguiente manera:

${\displaystyle \,i>i^{(2)}>i^{(3)}>\cdots >\delta >\cdots >d^{(3)}>d^{(2)}>d}$

Una tabla de vida (o tabla de mortalidad) es una construcción matemática que muestra el número de personas vivas (según los supuestos utilizados para construir la tabla) a una edad determinada. Además del número de vidas restantes a cada edad, una tabla de mortalidad suele proporcionar varias probabilidades asociadas con la evolución de estos valores.

${\estilo de visualización \,l_{x}}$es el número de personas vivas, en relación con una cohorte original, a la edad . A medida que aumenta la edad, el número de personas vivas disminuye.${\estilo de visualización x}$

${\estilo de visualización \,l_{0}}$es el punto de partida de : el número de personas vivas a la edad de 0 años. Esto se conoce como el radix de la tabla. Algunas tablas de mortalidad comienzan en una edad mayor que 0, en cuyo caso el radix es el número de personas que se supone que están vivas a la edad más joven de la tabla.${\estilo de visualización \,l_{x}}$

${\estilo de visualización \omega}$es la edad límite de las tablas de mortalidad. es cero para todos .${\displaystyle \,l_{n}}$${\displaystyle \,n\geq \omega }$

${\displaystyle \,d_{x}}$es el número de personas que mueren entre los años y los años . se puede calcular utilizando la fórmula${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x+1}$${\displaystyle \,d_{x}}$${\displaystyle \,d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$

${\estilo de visualización x}$	$Estilo de visualización l_{x}}$	$Estilo de visualización d_{x}$
0	${\displaystyle l_{0}}$
...	...	...
${\estilo de visualización x}$	$Estilo de visualización l_{x}}$	${\displaystyle d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$
${\estilo de visualización x+1}$	$estilo de visualización l_{x+1}}$	$estilo de visualización d_{x+1}}$
...	...	...
${\displaystyle \omega-1}$	${\displaystyle l_{\omega -1}}$	${\displaystyle d_{\omega -1}=l_{\omega -1}}$
${\estilo de visualización \omega}$	0	0

${\estilo de visualización \,q_{x}}$es la probabilidad de muerte entre las edades de y edad .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x+1}$

${\displaystyle \,q_{x}=d_{x}/l_{x}}$

${\estilo de visualización \,p_{x}}$es la probabilidad de que una persona de una edad viva sobreviva hasta la edad .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x+1}$

${\displaystyle \,p_{x}=l_{x+1}/l_{x}}$

Dado que las únicas alternativas posibles de una edad ( ) a la siguiente ( ) son vivir y morir, la relación entre estas dos probabilidades es:${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x+1}$

${\displaystyle \,p_{x}+q_{x}=1}$

Estos símbolos también pueden extenderse a varios años, insertando el número de años en la parte inferior izquierda del símbolo básico.

${\displaystyle \,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{x+1}+\cdots +d_{x+n-1}=l_{x}-l_{x+n}}$muestra el número de personas que mueren entre los años y los años .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x+n}$

$estilo de visualización {\displaystyle \,_{n}q_{x}}$es la probabilidad de muerte entre las edades de y edad .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x+n}$

${\displaystyle \,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}}$

$estilo de visualización {\displaystyle \,_{n}p_{x}}$es la probabilidad de que una persona de una edad viva sobreviva hasta la edad .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x+n}$

${\displaystyle \,_{n}p_{x}=l_{x+n}/l_{x}}$

Otra estadística que se puede obtener de una tabla de vida es la esperanza de vida .

${\displaystyle \,e_{x}}$es la expectativa de vida resumida para una persona viva a la edad de . Este es el número esperado de años completos que le quedan de vida (puede pensar en él como el número esperado de cumpleaños que la persona celebrará).${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle \,e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }\ _{t}p_{x}}$

Una tabla de vida generalmente muestra el número de personas vivas en edades integrales. Si necesitamos información sobre una fracción de un año, debemos hacer suposiciones con respecto a la tabla, si no están ya implícitas en una fórmula matemática subyacente a la tabla. Una suposición común es la de una Distribución Uniforme de Muertes (UDD) en cada año de edad. Bajo esta suposición, es una interpolación lineal entre y . es decir${\displaystyle \,l_{x+t}}$${\estilo de visualización \,l_{x}}$$estilo de visualización {\displaystyle \,l_{x+1}}$

${\displaystyle \,l_{x+t}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}}$

El símbolo básico para el valor actual de una anualidad es . Luego se puede agregar la siguiente notación:${\estilo de visualización \,a}$

• La notación en la parte superior derecha indica la frecuencia de pago (es decir, la cantidad de pagos de anualidades que se realizarán durante cada año). La falta de dicha notación significa que los pagos se realizan anualmente.
• La anotación en la parte inferior derecha indica la edad de la persona cuando comienza la anualidad y el período durante el cual se paga la anualidad.
• La notación que se encuentra directamente sobre el símbolo básico indica cuándo se realizan los pagos. Dos puntos indican una anualidad cuyos pagos se realizan al comienzo de cada año (una "anualidad vencida"); una línea horizontal sobre el símbolo indica una anualidad pagadera de manera continua (una "anualidad continua"); ninguna marca sobre el símbolo básico indica una anualidad cuyos pagos se realizan al final de cada año (una "anualidad inmediata").

Si los pagos que se realizarán en virtud de una anualidad son independientes de cualquier acontecimiento vitalicio, se denomina anualidad con certeza . De lo contrario, en particular si los pagos terminan con la muerte del beneficiario , se denomina anualidad vitalicia .

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}}$(léase a-ángulo-n en i ) representa el valor actual de una anualidad inmediata, que es una serie de pagos unitarios al final de cada año durante años (en otras palabras: el valor un período antes del primero de n pagos). Este valor se obtiene de:${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i} }}$

( en el denominador coincide con 'i' en inmediato)${\estilo de visualización i}$

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$representa el valor actual de una anualidad vencida, que es una serie de pagos unitarios al principio de cada año durante años (en otras palabras: el valor en el momento del primero de n pagos). Este valor se obtiene de:${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{ d}}}$

( en el denominador coincide con 'd' en su defecto)${\estilo de visualización d}$

${\displaystyle \,s_{{\overline {n|}}i}}$es el valor en el momento del último pago, el valor un período después.${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}}$

Si se agrega el símbolo en la esquina superior derecha, representa el valor actual de una anualidad cuyos pagos ocurren cada uno de los primeros días de un año durante un período de años, y cada pago es un uno de los segundos días de una unidad.${\estilo de visualización \,(m)}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización m}$

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}}$,${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}}$es el valor límite de cuando aumenta sin límite. La anualidad subyacente se conoce como anualidad continua .${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}}$

Los valores actuales de estas anualidades pueden compararse de la siguiente manera:

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}<a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$

Para entender las relaciones mostradas arriba, considere que los flujos de efectivo pagados en un momento posterior tienen un valor presente menor que los flujos de efectivo del mismo monto total que se pagan en momentos anteriores.

• El subíndice que representa la tasa de interés puede reemplazarse por o , y a menudo se omite si la tasa se conoce claramente a partir del contexto.${\displaystyle i}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \delta }$
• Al utilizar estos símbolos, la tasa de interés no es necesariamente constante durante la vida de las anualidades. Sin embargo, cuando la tasa varía, las fórmulas anteriores ya no serán válidas; se pueden desarrollar fórmulas particulares para movimientos particulares de la tasa.

Una renta vitalicia es una renta cuyos pagos dependen de la continuidad de la vida del beneficiario. La edad del beneficiario es un factor importante a tener en cuenta para calcular el valor actual actuarial de una renta vitalicia.

• La edad del rentista se coloca en la parte inferior derecha del símbolo, sin marca de "ángulo".

Por ejemplo:

${\displaystyle \,a_{65}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera al final de cada año hasta la muerte de una persona que actualmente tenga 65 años.

${\displaystyle a_{\overline {10|}}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera durante 10 años y con pagos realizados al final de cada año.

${\displaystyle a_{65:{\overline {10|}}}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año durante 10 años, o hasta la muerte si ocurre antes, para alguien que actualmente tenga 65 años.

${\displaystyle a_{65:64}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año hasta la muerte temprana del miembro o la muerte del cónyuge, para alguien que actualmente tiene 65 años y su cónyuge tiene 64 años.

${\displaystyle a_{\overline {65:64}}}$indica una anualidad de 1 unidad por año hasta la muerte posterior del miembro o la muerte del cónyuge, para alguien que actualmente tiene 65 años y su cónyuge tiene 64 años.

${\displaystyle a_{65}^{(12)}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera 12 veces al año (1/12 unidad por mes) hasta la muerte de una persona que actualmente tenga 65 años.

${\displaystyle {\ddot {a}}_{65}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera al inicio de cada año hasta la muerte de una persona que actualmente tenga 65 años.

o en general:

${\displaystyle a_{x:{\overline {n|}}i}^{(m)}}$, donde es la edad del rentista, es el número de años de pagos (o hasta la muerte si ocurre antes), es el número de pagos por año y es la tasa de interés.${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$

En aras de la simplicidad, la notación es limitada y no muestra, por ejemplo, si la anualidad es pagadera a un hombre o a una mujer (un hecho que normalmente se determinaría a partir del contexto, incluido si la tabla de vida se basa en tasas de mortalidad masculina o femenina).

El valor actual actuarial de los pagos contingentes de vida puede tratarse como la expectativa matemática de una variable aleatoria de valor presente o calcularse a través de la forma de pago actual.

El símbolo básico de un seguro de vida es . A continuación, se puede añadir la siguiente notación:${\displaystyle \,A}$

• La anotación en la parte superior derecha indica el momento del pago de un beneficio por fallecimiento. La falta de anotación significa que los pagos se realizan al final del año del fallecimiento. Una cifra entre paréntesis (por ejemplo ) significa que el beneficio se paga al final del período indicado (12 para mensual; 4 para trimestral; 2 para semestral; 365 para diario).${\displaystyle A^{(12)}}$
• La anotación en la parte inferior derecha indica la edad de la persona cuando comienza el seguro de vida.
• La notación que se encuentra directamente sobre el símbolo básico indica el "tipo" de seguro de vida, ya sea pagadero al final del período o de inmediato. Una línea horizontal indica que el seguro de vida se paga de inmediato, mientras que la ausencia de una marca sobre el símbolo indica que el pago se realizará al final del período indicado.

Por ejemplo:

${\displaystyle \,A_{x}}$indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero al final del año del fallecimiento.

${\displaystyle \,A_{x}^{(12)}}$indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero al final del mes del fallecimiento.

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}}$indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero en el instante (matemático) de la muerte.

El símbolo básico de prima es o . generalmente se refiere a primas netas por año, a primas especiales, como una prima única.${\displaystyle \,P}$${\displaystyle \,\pi }$${\displaystyle \,P}$${\displaystyle \,\pi }$

Entre los actuarios, la fuerza de la mortalidad se refiere a lo que los economistas y otros científicos sociales llaman la tasa de riesgo y se interpreta como una tasa instantánea de mortalidad a una cierta edad medida sobre una base anualizada.

En una tabla de vida, consideramos la probabilidad de que una persona muera entre la edad ( x ) y la edad x  + 1; esta probabilidad se llama q _x . En el caso continuo, también podríamos considerar la probabilidad condicional de que una persona que ha alcanzado la edad ( x ) muera entre la edad ( x ) y la edad ( x  + Δ x ) como:

${\displaystyle P_{\Delta x}(x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}$

donde F _X ( x ) es la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria continua de edad al morir , X. A medida que Δ x tiende a cero, también lo hace esta probabilidad en el caso continuo. La fuerza aproximada de mortalidad es esta probabilidad dividida por Δ x . Si dejamos que Δ x tienda a cero, obtenemos la función para la fuerza de mortalidad , denotada como μ ( x ):

${\displaystyle \mu \,(x)={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}$

• Valor actual actuarial
• Ciencia actuarial
• Tasa de porcentaje anual
• Matemáticas de las finanzas

• Descripción de 1949 en la Revista del Instituto de Actuarios
• Conjunto de notación actuarial internacional