Regla utilitarista

En la elección social y la investigación de operaciones , la regla utilitarista (también llamada regla de suma máxima ) es una regla que dice que, entre todas las alternativas posibles, la sociedad debe elegir la alternativa que maximice la suma de las utilidades de todos los individuos de la sociedad. ^{[1] : sub.2.5} Es una representación matemática formal de la filosofía utilitarista , y a menudo se justifica con referencia al teorema utilitarista de Harsanyi o al teorema de von Neumann-Morgenstern .

En el contexto de los sistemas de votación , la regla se llama votación por puntuación . ^{[ dudoso – discutir ]}

Sea un conjunto de posibles "estados del mundo" o "alternativas". La sociedad desea elegir un único estado entre . Por ejemplo, en una elección con un solo ganador , puede representar el conjunto de candidatos; en un contexto de asignación de recursos , puede representar todas las posibles asignaciones del recurso.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Sea un conjunto finito que representa una colección de individuos. Para cada , sea una función de utilidad que describe la cantidad de felicidad que un individuo i obtiene de cada estado posible.${\displaystyle I}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$

Una regla de elección social es un mecanismo que utiliza los datos para seleccionar algunos elementos que son "mejores" para la sociedad (la cuestión de qué significa "mejor" es el problema básico de la teoría de la elección social ).${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X}$

La regla utilitaria selecciona un elemento que maximiza la suma utilitaria${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle U(x):=\sum _{i\in I}u_{i}(x).}$

La regla utilitarista es fácil de interpretar e implementar cuando las funciones u _i representan alguna forma tangible y medible de utilidad. Por ejemplo: ^{[1] : 44}

• Consideremos un problema de asignación de madera entre los constructores. Las funciones de utilidad pueden representar su poder productivo ( es decir, el número de edificios que el agente puede construir utilizando unidades de madera). La regla utilitaria asigna entonces la madera de manera que maximice el número de edificios.${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle y_{i}}$
• Consideremos un problema de asignación de un medicamento poco común entre pacientes. Las funciones de utilidad pueden representar la probabilidad de recuperación de los pacientes ( es decir, la probabilidad de que el paciente se recupere al recibir dosis del medicamento). La regla utilitaria asigna entonces el medicamento de manera que se maximice el número esperado de sobrevivientes.${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle y_{i}}$

Cuando las funciones u _i representan alguna forma abstracta de "felicidad", la regla utilitarista se vuelve más difícil de interpretar. Para que la fórmula anterior tenga sentido, se debe suponer que las funciones de utilidad son tanto cardinales como comparables interpersonalmente a nivel cardinal.${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$

La noción de que los individuos tienen funciones de utilidad cardinales no es tan problemática. La utilidad cardinal se ha asumido implícitamente en la teoría de la decisión desde el análisis de la paradoja de San Petersburgo de Daniel Bernoulli . Frank P. Ramsey , Bruno de Finetti , von Neumann y Morgenstern y Leonard Savage desarrollaron rigurosas teorías matemáticas de la utilidad cardinal (con aplicación a la toma de decisiones arriesgadas) . Sin embargo, en estas teorías, la función de utilidad de una persona solo está bien definida hasta un "reescalamiento afín". Por lo tanto, si la función de utilidad es una descripción válida de sus preferencias, y si son dos constantes con , entonces la función de utilidad "reescalada" es una descripción igualmente válida de sus preferencias. Si definimos un nuevo paquete de funciones de utilidad utilizando posiblemente diferentes y para todos , y luego consideramos la suma utilitaria${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle r_{i},s_{i}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle s_{i}>0}$${\displaystyle v_{i}(x):=s_{i}\,u_{i}(x)+r_{i}}$${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle s_{i}>0}$${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle V(x):=\sum _{i\in I}v_{i}(x),}$

En general, el maximizador de no será el mismo que el maximizador de . Por lo tanto, en cierto sentido, la elección social utilitarista clásica no está bien definida dentro del modelo estándar de utilidad cardinal utilizado en la teoría de la decisión, a menos que se especifique un mecanismo para "calibrar" las funciones de utilidad de los diferentes individuos.${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$

El utilitarismo relativo propone un mecanismo de calibración natural. Para cada , supongamos que los valores${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle m_{i}\ :=\ \min _{x\in X}\,u_{i}(x)\quad {\text{and}}\quad M_{i}\ :=\ \max _{x\in X}\,u_{i}(x)}$

están bien definidos. (Por ejemplo, esto siempre será cierto si es finito, o si es un espacio compacto y es una función continua). Luego defina${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle w_{i}(x)\ :=\ {\frac {u_{i}(x)-m_{i}}{M_{i}-m_{i}}}}$

para todos . Por lo tanto, es una función de utilidad "reescalada" que tiene un valor mínimo de 0 y un valor máximo de 1. La regla de elección social utilitarista relativa selecciona el elemento en el que se maximiza la suma utilitaria.${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle w_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle W(x):=\sum _{i\in I}w_{i}(x).}$

Como función abstracta de elección social, el utilitarismo relativo ha sido analizado por Cao (1982), ^[2] Dhillon (1998), ^[3] Karni (1998), ^[4] Dhillon y Mertens (1999), ^[5] Segal (2000), ^[6] Sobel (2001) ^[7] y Pivato (2008). ^[8] (Cao (1982) se refiere a él como la "solución de Thomson modificada").

Toda función de elección social eficiente en el sentido de Pareto es necesariamente una función de elección utilitaria, resultado conocido como teorema utilitarista de Harsanyi. En concreto, toda función de elección social eficiente en el sentido de Pareto debe ser una combinación lineal de las funciones de utilidad de cada función de utilidad individual (con ponderaciones estrictamente positivas).

En el contexto de la votación, la regla utilitarista conduce a varios métodos de votación:

• La votación por rango (también llamada votación por puntuación o votación utilitaria) implementa la regla utilitaria relativa al permitir que los votantes expresen explícitamente sus utilidades para cada alternativa en una escala normalizada común.
• La votación utilitaria implícita intenta aproximarse a la regla utilitaria permitiendo al mismo tiempo que los votantes expresen únicamente clasificaciones ordinales sobre los candidatos.

En el contexto de la asignación de recursos, la regla utilitaria conduce a:

• Una regla particular para la división de un único recurso homogéneo ;
• Varias reglas y algoritmos para la división utilitaria de un recurso heterogéneo;
• Una regla particular para la asignación justa de artículos . ^[9]
• Problema de maximización del bienestar .

• Voto utilitario implícito
• Gobierno igualitario
• Regla proporcional-justa
• Problema de maximización de utilidad