Rectificación (geometría)

En geometría euclidiana , la rectificación , también conocida como truncamiento crítico o truncamiento completo , es el proceso de truncar un politopo marcando los puntos medios de todas sus aristas y cortando sus vértices en esos puntos. ^[1] El politopo resultante estará delimitado por las facetas de la figura del vértice y las facetas rectificadas del politopo original.

Un operador de rectificación a veces se denota con la letra r con un símbolo de Schläfli . Por ejemplo, r {4,3} es el cubo rectificado , también llamado cuboctaedro , y también representado como . Y un cuboctaedro rectificado rr{4,3} es un rombicuboctaedro , y también representado como .${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$

La notación de poliedros de Conway utiliza un operador de ambo . En teoría de grafos, esta operación crea un grafo medial .

La rectificación de cualquier poliedro o teselación regular autodual dará como resultado otro poliedro o teselación regular con un orden de teselación de 4, por ejemplo, el tetraedro {3,3} se convierte en un octaedro {3,4}. Como caso especial, una teselación cuadrada {4,4} se convertirá en otra teselación cuadrada {4,4} bajo una operación de rectificación.

La rectificación es el punto final de un proceso de truncamiento. Por ejemplo, en un cubo, esta secuencia muestra cuatro pasos de un continuo de truncamientos entre la forma regular y la rectificada:

Se puede realizar una rectificación de mayor grado en politopos regulares de dimensiones superiores. El mayor grado de rectificación crea el politopo dual . Una rectificación trunca las aristas en puntos. Una birectificación trunca las caras en puntos. Una trirectificación trunca las celdas en puntos, y así sucesivamente.

Esta secuencia muestra un cubo birectificado como la secuencia final de un cubo al dual donde las caras originales se truncan a un solo punto:

El dual de un polígono es igual a su forma rectificada. Los nuevos vértices se colocan en el centro de los bordes del polígono original.

Cada sólido platónico y su dual tienen el mismo poliedro rectificado. (Esto no es cierto para los politopos en dimensiones superiores).

El poliedro rectificado resulta expresable como la intersección del sólido platónico original con una versión concéntrica de su dual a escala adecuada. Por esta razón, su nombre es una combinación de los nombres del original y del dual:

• El tetraedro es su propio dual, y su rectificación es el tetratetraedro , más conocido como octaedro .
• El octaedro y el cubo son duales entre sí, y su rectificación es el cuboctaedro .
• El icosaedro y el dodecaedro son duales, y su rectificación es el icosidodecaedro .

Ejemplos

Familia	Padre	Rectificación	Dual
[p,q]
[3,3]	Tetraedro	Octaedro	Tetraedro
[4,3]	Cubo	Cuboctaedro	Octaedro
[5,3]	Dodecaedro	Icosidodecaedro	Icosaedro
[6,3]	Azulejos hexagonales	Azulejos trihexagonales	Azulejos triangulares
[7,3]	Teselación heptagonal de orden 3	Azulejo triheptagonal	Orden 7: mosaico triangular
[4,4]	Azulejos cuadrados	Azulejos cuadrados	Azulejos cuadrados
[5,4]	Orden 4: mosaico pentagonal	Azulejos tetrapentagonales	Orden de 5 mosaicos cuadrados

Si un poliedro no es regular, los puntos medios de las aristas que rodean un vértice pueden no ser coplanares. Sin embargo, en este caso todavía es posible una forma de rectificación: cada poliedro tiene un grafo poliédrico como su 1-esqueleto , y a partir de ese grafo se puede formar el grafo medial colocando un vértice en cada punto medio de la arista del grafo original, y conectando dos de estos nuevos vértices por una arista siempre que pertenezcan a aristas consecutivas a lo largo de una cara común. El grafo medial resultante sigue siendo poliédrico, por lo que por el teorema de Steinitz se puede representar como un poliedro.

La notación del poliedro de Conway equivalente a la rectificación es ambo , representada por a . Aplicando dos veces aa , (rectificando una rectificación) se obtiene la operación de expansión de Conway , e , que es la misma que la operación de cantelación de Johnson , t _0,2 generada a partir de poliedros regulares y teselas.

Cada 4-politopo regular convexo tiene una forma rectificada como un 4-politopo uniforme .

Un politopo regular de cuatro caras {p,q,r} tiene celdas {p,q}. Su rectificación tendrá dos tipos de celdas, un poliedro {p,q} rectificado que queda de las celdas originales y un poliedro {q,r} formado por celdas nuevas formadas por cada vértice truncado.

Sin embargo, un {p,q,r} rectificado no es lo mismo que un {r,q,p} rectificado. Existe un truncamiento adicional, llamado bitruncation , que es simétrico entre un 4-politopo y su dual. Véase 4-politopo uniforme#Derivaciones geométricas .

Ejemplos

Familia	Padre	Rectificación	Birectificación (rectificación doble)	Trirectificación (doble)
[ p , q , r ]	{ p , q , r }	r{ p , q , r }	2r{ p , q , r }	3r{ p , q , r }
[3,3,3]	5 celdas	5 celdas rectificadas	5 celdas rectificadas	5 celdas
[4,3,3]	teseracto	teseracto rectificado	Rectificado de 16 celdas ( 24 celdas )	16 celdas
[3,4,3]	24 celdas	rectificado de 24 celdas	rectificado de 24 celdas	24 celdas
[5,3,3]	120 celdas	120 celdas rectificadas	600 celdas rectificadas	600 celdas
[4,3,4]	Panal cúbico	Panal cúbico rectificado	Panal cúbico rectificado	Panal cúbico
[5,3,4]	Dodecaédrica de orden 4	Dodecaédrico rectificado de orden 4	Pedido rectificado - 5 cúbicos	Orden-5 cúbicos

Una primera rectificación trunca las aristas hasta dejarlas en puntos. Si un politopo es regular , esta forma se representa mediante una notación de símbolo de Schläfli extendida t ₁ {p,q,...} o r {p,q,...}.

Una segunda rectificación, o birectificación , trunca las caras hasta convertirlas en puntos. Si es regular, tiene la notación t ₂ {p,q,...} o 2 r {p,q,...}. En el caso de los poliedros , una birectificación crea un poliedro dual .

Se pueden construir rectificaciones de mayor grado para politopos de mayor dimensión. En general, una rectificación n trunca n-caras en puntos.

Si un n-politopo se rectifica (n-1), sus facetas se reducen a puntos y el politopo se convierte en su dual .

Existen distintas notaciones equivalentes para cada grado de rectificación. En estas tablas se muestran los nombres por dimensión y los dos tipos de facetas para cada uno.

Las facetas son aristas, representadas como {}.

nombre {p}	Diagrama de Coxeter	Símbolo de Schläfli con notación t	Símbolo de Schläfli vertical
			Nombre	Faceta-1	Faceta-2
Padre		t0 { p}	{pags}	{}
Rectificado		el 1 {p}	{pags}		{}

Las facetas son polígonos regulares.

nombre {p,q}	Diagrama de Coxeter	Símbolo de Schläfli con notación t	Símbolo de Schläfli vertical
			Nombre	Faceta-1	Faceta-2
Padre	=	t 0 {p,q}	{p,q}	{pags}
Rectificado	=	t1 {p , q}	r{p,q} =${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	{pags}	{q}
Birectificado	=	t2 {p , q}	{q,p}		{q}

Las facetas son poliedros regulares o rectificados.

nombre {p,q,r}	Diagrama de Coxeter	Símbolo de Schläfli con notación t	Símbolo Schläfli extendido
			Nombre	Faceta-1	Faceta-2
Padre		t 0 {p, q, r}	{p,q,r}	{p,q}
Rectificado		t1 {p,q,r }	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}$= r{p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$= r{p,q}	{q,r}
Birectificado (doble rectificación)		t2 {p, q ,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}$= r{r,q,p}	{q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix}}}$= r{q,r}
Trirectificado (doble)		t3 {p,q,r }	{r,q,p}		{r,q}

Las facetas son 4-politopos regulares o rectificados.

nombre {p,q,r,s}	Diagrama de Coxeter	Símbolo de Schläfli con notación t	Símbolo Schläfli extendido
			Nombre	Faceta-1	Faceta-2
Padre		t 0 {p, q, r, s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Rectificado		t 1 {p, q, r, s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix}}}$= r{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}$= r{p,q,r}	{q,r,s}
Birectificado (Birectificado dual)		t2 {p,q,r,s }	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix}}}$= 2r{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}$= r{r,q,p}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix}}}$ = r{q,r,s}
Trirectificado (Rectificado dual)		t 3 {p, q, r, s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix}}}$= r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix}}}$= r{s,r,q}
Cuadrirectificado (doble)		t 4 {p, q, r, s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

• Politopo dual
• Poliedro cuasirregular
• Lista de politopos regulares
• Truncamiento (geometría)
• Notación del poliedro de Conway

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 (págs. 145-154 Capítulo 8: Truncamiento) 
• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
  • NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26) 

• Olshevsky, George. "Rectificación". Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.

Operadores de poliedro

• en
• a
• mi

Semilla	Truncamiento	Rectificación	Truncamiento de bits	Dual	Expansión	Omnitruncamiento	Alternancias
t 0 { p , q } { p , q }	t 01 { p , q } t{ p , q }	t 1 { p , q } r{ p , q }	t 12 { p , q } 2t{ p , q }	t 2 { p , q } 2r{ p , q }	t 02 { p , q } rr{ p , q }	t 012 { p , q } tr{ p , q }	ht 0 { p , q } h{ q , p }	ht 12 { p , q } s{ q , p }	ht 012 { p , q } sr{ p , q }