Cero de una función

En matemáticas , un cero (también llamado a veces raíz ) de una función real , compleja o, en general, vectorial , es un miembro del dominio de tal que se desvanece en ; es decir, la función alcanza el valor de 0 en , o equivalentemente, es una solución de la ecuación . ^[1] Un "cero" de una función es, por tanto, un valor de entrada que produce una salida de 0. ^[2]${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f(x)}$ ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle f(x)=0}$

Una raíz de un polinomio es un cero de la función polinómica correspondiente . ^[1] El teorema fundamental del álgebra muestra que cualquier polinomio distinto de cero tiene un número de raíces como máximo igual a su grado , y que el número de raíces y el grado son iguales cuando se consideran las raíces complejas (o más generalmente, las raíces en una extensión algebraicamente cerrada ) contadas con sus multiplicidades . ^[3] Por ejemplo, el polinomio de grado dos, definido por tiene las dos raíces (o ceros) que son 2 y 3 .${\estilo de visualización f}$${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}$$${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ y }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.}$$

Si la función asigna números reales a números reales, entonces sus ceros son las coordenadas de los puntos donde su gráfica se encuentra con el eje x . Un nombre alternativo para ese punto en este contexto es intersección con el eje x .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización (x,0)}$${\estilo de visualización x}$

Toda ecuación en la incógnita puede reescribirse como${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle f(x)=0}$

reagrupando todos los términos del lado izquierdo. De ello se deduce que las soluciones de una ecuación de este tipo son exactamente los ceros de la función . En otras palabras, un "cero de una función" es precisamente una "solución de la ecuación obtenida al igualar la función a 0", y el estudio de los ceros de las funciones es exactamente el mismo que el estudio de las soluciones de las ecuaciones.${\estilo de visualización f}$

Todo polinomio real de grado impar tiene un número impar de raíces reales (contando las multiplicidades ); de la misma manera, un polinomio real de grado par debe tener un número par de raíces reales. En consecuencia, los polinomios reales impares deben tener al menos una raíz real (porque el número entero impar más pequeño es 1), mientras que los polinomios pares pueden no tener ninguna. Este principio se puede demostrar con referencia al teorema del valor intermedio : dado que las funciones polinómicas son continuas , el valor de la función debe cruzar cero, en el proceso de cambio de negativo a positivo o viceversa (lo que siempre sucede para las funciones impares).

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado tiene raíces complejas, contadas con sus multiplicidades. Las raíces no reales de polinomios con coeficientes reales vienen en pares conjugados . ^[2] Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes de un polinomio con las sumas y productos de sus raíces.${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$

El cálculo de las raíces de funciones, por ejemplo, de funciones polinómicas , requiere con frecuencia el uso de técnicas especializadas o de aproximación (por ejemplo, el método de Newton ). Sin embargo, algunas funciones polinómicas, incluidas todas aquellas de grado no mayor que 4, pueden tener todas sus raíces expresadas algebraicamente en términos de sus coeficientes (para obtener más información, consulte solución algebraica ).

En diversas áreas de las matemáticas, el conjunto cero de una función es el conjunto de todos sus ceros. Más precisamente, si es una función de valor real (o, más generalmente, una función que toma valores en algún grupo aditivo ), su conjunto cero es , la imagen inversa de en . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R}}$$estilo de visualización f^{-1}(0)}$${\estilo de visualización \{0\}}$${\estilo de visualización X}$

Bajo la misma hipótesis sobre el codominio de la función, un conjunto de nivel de una función es el conjunto cero de la función para algún en el codominio de${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización fc}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización f.}$

El conjunto cero de un mapa lineal también se conoce como su núcleo .

El conjunto cero de la función es el complemento del conjunto cero de (es decir, el subconjunto de en el que es distinto de cero). ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$

En geometría algebraica , la primera definición de variedad algebraica es mediante conjuntos cero. En concreto, un conjunto algebraico afín es la intersección de los conjuntos cero de varios polinomios, en un anillo polinómico sobre un cuerpo . En este contexto, un conjunto cero se denomina a veces lugar geométrico cero .${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$

En análisis y geometría , cualquier subconjunto cerrado de es el conjunto cero de una función suave definida en todos los de . Esto se extiende a cualquier variedad suave como corolario de la paracompacidad . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En geometría diferencial , los conjuntos cero se utilizan con frecuencia para definir variedades . Un caso especial importante es el caso en el que se trata de una función suave de a . Si cero es un valor regular de , entonces el conjunto cero de es una variedad suave de dimensión según el teorema del valor regular .${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle m=pn}$

Por ejemplo , la unidad -esfera en es el conjunto cero de la función de valor real .${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$${\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}$

• Teorema de Marden
• Algoritmo de búsqueda de raíces
• Conjetura de Sendov
• Desaparecer en el infinito
• Cruce por cero
• Ceros y polos

• Weisstein, Eric W. "Raíz". MathWorld .