Efecto Hall cuántico

El efecto Hall cuántico (o efecto Hall cuántico entero ) es una versión cuantificada del efecto Hall que se observa en sistemas electrónicos bidimensionales sometidos a bajas temperaturas y fuertes campos magnéticos , en los que la resistencia Hall R _xy exhibe escalones que toman los valores cuantificados.

${\displaystyle R_{xy}={\frac {V_{\text{Hall}}}{I_{\text{canal}}}}={\frac {h}{e^{2}\nu }},}$

donde V _Hall es el voltaje Hall , I _canal es la corriente del canal , e es la carga elemental y h es la constante de Planck . El divisor ν puede tomar un número entero ( ν = 1, 2, 3,... ) o fraccionario ( ν = ⁠1/3⁠ , ⁠2/5⁠ , ⁠3/7⁠ , ⁠2/3⁠ , ⁠3/5⁠ , ⁠1/5⁠ , ⁠2/9⁠ , ⁠3/13⁠ , ⁠5/2⁠ , ⁠12/5⁠ ,... ) valores. Aquí, ν es aproximadamente pero no exactamente igual al factor de llenado de los niveles de Landau . El efecto Hall cuántico se conoce como efecto Hall cuántico entero o fraccionario dependiendo de si ν es un número entero o una fracción, respectivamente.

La característica más llamativa del efecto Hall cuántico entero es la persistencia de la cuantificación (es decir, la meseta de Hall) a medida que varía la densidad electrónica. Dado que la densidad electrónica permanece constante cuando el nivel de Fermi está en un espacio espectral limpio, esta situación corresponde a una en la que el nivel de Fermi es una energía con una densidad finita de estados, aunque estos estados están localizados (véase la localización de Anderson ). ^[1]

El efecto Hall cuántico fraccional es más complicado y todavía se considera un problema de investigación abierto. ^[2] Su existencia depende fundamentalmente de las interacciones electrón-electrón. En 1988, se propuso que existía un efecto Hall cuántico sin niveles de Landau . ^[3] Este efecto Hall cuántico se conoce como efecto Hall anómalo cuántico (QAH). También existe un nuevo concepto de efecto Hall de espín cuántico que es un análogo del efecto Hall cuántico, donde fluyen corrientes de espín en lugar de corrientes de carga. ^[4]

La cuantificación de la conductancia Hall ( ) tiene la importante propiedad de ser extremadamente precisa. ^[5] Se ha descubierto que las mediciones reales de la conductancia Hall son múltiplos enteros o fraccionarios de ⁠$Estilo de visualización G_ {xy}=1/R_ {xy}}$y ²/yo⁠ a mejor que una parte en mil millones. ^[6] Ha permitido la definición de un nuevo estándar práctico para la resistencia eléctrica , basado en el cuanto de resistencia dado por la constante de von Klitzing R _K . Esto recibe su nombre de Klaus von Klitzing , el descubridor de la cuantificación exacta. El efecto Hall cuántico también proporciona una determinación independiente extremadamente precisa de la constante de estructura fina , una cantidad de importancia fundamental en la electrodinámica cuántica .

En 1990, se fijó un valor convencional R _K-90 =Se definió 25 812 .807 Ω ^{para su uso en calibraciones de resistencia en todo el mundo. [7]} El 16 de noviembre de 2018, la 26.ª reunión de la Conferencia General de Pesas y Medidas decidió fijar valores exactos de h (la constante de Planck) y e (la carga elemental), ^[8] reemplazando el valor convencional de 1990 con un valor permanente exacto (estándar intrínseco) R _K = ⁠yo/y ²⁠ =25 812 .807 45 ... Ω . ^[9]

El efecto Hall cuántico fraccionario se considera parte de la cuantificación exacta . ^[10] La cuantificación exacta en su totalidad no se entiende completamente, pero se ha explicado como una manifestación muy sutil de la combinación del principio de invariancia de calibre junto con otra simetría (ver Anomalías ). El efecto Hall cuántico entero, en cambio, se considera un problema de investigación resuelto ^{[11] [12]} y se entiende en el ámbito de la fórmula TKNN y los lagrangianos de Chern–Simons .

El efecto Hall cuántico fraccional todavía se considera un problema de investigación abierto. ^[2] El efecto Hall cuántico fraccional también puede entenderse como un efecto Hall cuántico entero, aunque no de electrones sino de compuestos de carga-flujo conocidos como fermiones compuestos . ^[13] También existen otros modelos para explicar el efecto Hall cuántico fraccional. ^[14] Actualmente se considera un problema de investigación abierto porque no existe una lista única, confirmada y acordada de números cuánticos fraccionarios, ni un único modelo acordado para explicarlos todos, aunque existen afirmaciones de este tipo en el ámbito de los fermiones compuestos y los lagrangianos de Chern-Simons no abelianos .

En 1957, Carl Frosch y Lincoln Derick lograron fabricar los primeros transistores de efecto de campo de dióxido de silicio en Bell Labs, los primeros transistores en los que el drenaje y la fuente estaban adyacentes en la superficie. ^{[15] Posteriormente, un equipo demostró un} MOSFET funcional en Bell Labs en 1960. ^{[16] [17]} Esto permitió a los físicos estudiar el comportamiento de los electrones en un gas bidimensional casi ideal . ^[18]

En un MOSFET, los electrones de conducción viajan en una fina capa superficial y un voltaje de " puerta " controla la cantidad de portadores de carga en esta capa. Esto permite a los investigadores explorar los efectos cuánticos al operar MOSFET de alta pureza a temperaturas de helio líquido . ^[18]

La cuantificación entera de la conductancia Hall fue predicha originalmente por los investigadores de la Universidad de Tokio Tsuneya Ando, ​​Yukio Matsumoto y Yasutada Uemura en 1975, sobre la base de un cálculo aproximado que ellos mismos no creían que fuera cierto. ^[19] En 1978, los investigadores de la Universidad Gakushuin Jun-ichi Wakabayashi y Shinji Kawaji observaron posteriormente el efecto en experimentos realizados en la capa de inversión de los MOSFET. ^[20]

En 1980, Klaus von Klitzing , trabajando en el laboratorio de alto campo magnético en Grenoble con muestras de MOSFET basadas en silicio desarrolladas por Michael Pepper y Gerhard Dorda, hizo el descubrimiento inesperado de que la resistencia Hall estaba exactamente cuantizada. ^{[21] [18]} Por este hallazgo, von Klitzing recibió el Premio Nobel de Física de 1985. Posteriormente, Robert Laughlin propuso un vínculo entre la cuantización exacta y la invariancia de calibre , quien conectó la conductividad cuantizada con el transporte de carga cuantizado en una bomba de carga Thouless. ^{[12] [22]} La mayoría de los experimentos de Hall cuántico entero ahora se realizan en heteroestructuras de arseniuro de galio , aunque se pueden usar muchos otros materiales semiconductores. En 2007, se informó del efecto Hall cuántico entero en grafeno a temperaturas tan altas como la temperatura ambiente, ^[23] y en el óxido de magnesio y zinc ZnO–Mg _x Zn _{1− x} O. ^[24]

En dos dimensiones, cuando los electrones clásicos se someten a un campo magnético siguen órbitas circulares de ciclotrón. Cuando el sistema se trata desde el punto de vista de la mecánica cuántica, estas órbitas se cuantifican. Para determinar los valores de los niveles de energía se debe resolver la ecuación de Schrödinger.

Como el sistema está sometido a un campo magnético, debe introducirse como un potencial vectorial electromagnético en la ecuación de Schrödinger . El sistema considerado es un gas de electrones que es libre de moverse en las direcciones x e y, pero está fuertemente confinado en la dirección z. Luego, se aplica un campo magnético en la dirección z y, según el calibre de Landau, el potencial vectorial electromagnético es y el potencial escalar es . Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger para una partícula de carga y masa efectiva en este sistema es:${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m^{*}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2m^{*}}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2}+V(z)\right\}\psi (x,y,z)=\varepsilon \psi (x,y,z)}$

donde es el momento canónico, que se reemplaza por el operador y es la energía total.${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle -i\hbar \nabla }$${\displaystyle \varepsilon }$

Para resolver esta ecuación es posible separarla en dos ecuaciones ya que el campo magnético solo afecta el movimiento a lo largo de los ejes x e y. La energía total se convierte entonces en la suma de las dos contribuciones . Las ecuaciones correspondientes en el eje z son:${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+V(z)\right]u(z)=\varepsilon _{z}u(z)}$

Para simplificar las cosas, la solución se considera como un pozo infinito. Por lo tanto, las soluciones para la dirección z son las energías , y las funciones de onda son sinusoidales. Para las direcciones y , la solución de la ecuación de Schrödinger puede elegirse como el producto de una onda plana en la dirección con alguna función desconocida de , es decir, . Esto se debe a que el potencial vectorial no depende de y, por lo tanto, el operador de momento conmuta con el hamiltoniano. Al sustituir este Ansatz en la ecuación de Schrödinger, se obtiene la ecuación del oscilador armónico unidimensional centrada en .${\displaystyle V(z)}$${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$${\displaystyle n_{z}=1,2,3...}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi _{xy}=u(x)e^{ik_{y}y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\frac {1}{2}}m^{*}\omega _{\rm {c}}^{2}(x-l_{B}^{2}k_{y})^{2}\right]u(x)=\varepsilon _{xy}u(x)}$

donde se define como la frecuencia del ciclotrón y la longitud magnética. Las energías son:${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)}$, ${\displaystyle n_{x}=1,2,3...}$

Y las funciones de onda para el movimiento en el plano están dadas por el producto de una onda plana en y los polinomios de Hermite atenuados por la función gaussiana en , que son las funciones de onda de un oscilador armónico.${\displaystyle xy}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

De la expresión para los niveles de Landau se desprende que la energía depende sólo de , no de . Los estados con valores iguales pero diferentes son degenerados.${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$

En campo cero, la densidad de estados por unidad de superficie para el gas de electrones bidimensional teniendo en cuenta la degeneración debida al espín es independiente de la energía.

${\displaystyle n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$.

A medida que se activa el campo, la densidad de estados colapsa desde la constante hasta un peine de Dirac , una serie de funciones de Dirac, correspondientes a los niveles de Landau separados . Sin embargo, a temperatura finita, los niveles de Landau adquieren un ancho que es el tiempo entre eventos de dispersión. Comúnmente se supone que la forma precisa de los niveles de Landau es un perfil gaussiano o lorentziano .${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}}$${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$${\displaystyle \tau _{i}}$

Otra característica es que las funciones de onda forman franjas paralelas en la dirección - espaciadas de manera uniforme a lo largo del eje -, siguiendo las líneas de . Como no hay nada especial en ninguna dirección en el plano -, si el potencial vectorial se eligiera de manera diferente, se debería encontrar simetría circular.${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle xy}$

Dada una muestra de dimensiones y aplicando las condiciones de contorno periódicas en la dirección siendo un entero, se obtiene que cada potencial parabólico se coloca en un valor .${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$${\displaystyle y}$${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x_{k}=l_{B}^{2}k}$

El número de estados para cada nivel de Landau se puede calcular a partir de la relación entre el flujo magnético total que pasa a través de la muestra y el flujo magnético correspondiente a un estado.${\displaystyle k}$

${\displaystyle N_{B}={\frac {\phi }{\phi _{0}}}={\frac {BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}}={\frac {A}{2\pi l_{B}^{2}}}{\begin{array}{lcr}&l_{B}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {AeB}{2\pi \hbar }}{\begin{array}{lcr}&\omega _{\rm {c}}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}A}{2\pi \hbar }}}$

Por lo tanto, la densidad de estados por unidad de superficie es

${\displaystyle n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}}$.

Obsérvese la dependencia de la densidad de estados con el campo magnético. Cuanto mayor sea el campo magnético, más estados habrá en cada nivel de Landau. Como consecuencia, hay más confinamiento en el sistema, ya que hay menos niveles de energía ocupados.

Reescribiendo la última expresión, ya que está claro que cada nivel de Landau contiene tantos estados como en un 2DEG en un .${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$${\displaystyle \Delta \varepsilon =\hbar \omega _{\rm {c}}}$

Dado que los electrones son fermiones , a cada estado disponible en los niveles de Landau le corresponden dos electrones, un electrón con cada valor para el espín . Sin embargo, si se aplica un campo magnético grande, las energías se dividen en dos niveles debido al momento magnético asociado con la alineación del espín con el campo magnético. La diferencia en las energías es un factor que depende del material ( para los electrones libres) y del magnetón de Bohr . El signo se toma cuando el espín es paralelo al campo y cuando es antiparalelo. Este hecho llamado división de espín implica que la densidad de estados para cada nivel se reduce a la mitad. Nótese que es proporcional al campo magnético por lo que, cuanto mayor sea el campo magnético, más relevante es la división.${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g=2}$${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$${\displaystyle \Delta E}$

Para obtener el número de niveles Landau ocupados, se define el llamado factor de llenado como la relación entre la densidad de estados en un 2DEG y la densidad de estados en los niveles Landau.${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu ={\frac {n_{\rm {2D}}}{n_{B}}}={\frac {hn_{\rm {2D}}}{eB}}}$

En general, el factor de llenado no es un entero. Resulta ser un entero cuando hay un número exacto de niveles de Landau llenos. En cambio, se convierte en un no entero cuando el nivel superior no está completamente ocupado. En experimentos reales, se varía el campo magnético y se fija la densidad electrónica (¡y no la energía de Fermi!) o se varía la densidad electrónica y se fija el campo magnético. Ambos casos corresponden a una variación continua del factor de llenado y no se puede esperar que sea un entero. Dado que , al aumentar el campo magnético, los niveles de Landau suben en energía y el número de estados en cada nivel crece, por lo que menos electrones ocupan el nivel superior hasta que se vacía. Si el campo magnético sigue aumentando, eventualmente, todos los electrones estarán en el nivel de Landau más bajo ( ) y esto se llama el límite cuántico magnético.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle n_{B}\propto B}$${\displaystyle \nu <1}$

Es posible relacionar el factor de llenado con la resistividad y, por lo tanto, con la conductividad del sistema. Cuando es un entero, la energía de Fermi se encuentra entre los niveles de Landau donde no hay estados disponibles para portadores, por lo que la conductividad se vuelve cero (se considera que el campo magnético es lo suficientemente grande como para que no haya superposición entre los niveles de Landau, de lo contrario habría pocos electrones y la conductividad sería aproximadamente ). En consecuencia, la resistividad también se vuelve cero (a campos magnéticos muy altos se ha demostrado que la conductividad y la resistividad longitudinales son proporcionales). ^[25]${\displaystyle \nu }$${\displaystyle 0}$

Con la conductividad se encuentra${\displaystyle \sigma =\rho ^{-1}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\det \rho }}{\begin{pmatrix}\rho _{yy}&-\rho _{xy}\\-\rho _{yx}&\rho _{xx}\end{pmatrix}}\;.}$

Si la resistividad longitudinal es cero y la transversal es finita, entonces . Por lo tanto, tanto la conductividad longitudinal como la resistividad se vuelven cero.${\displaystyle \det \rho \neq 0}$

En cambio, cuando es un semientero, la energía de Fermi se ubica en el pico de la distribución de densidad de algún nivel de Landau. Esto significa que la conductividad tendrá un máximo.${\displaystyle \nu }$

Esta distribución de mínimos y máximos corresponde a las “oscilaciones cuánticas” llamadas oscilaciones Shubnikov–de Haas, que se vuelven más relevantes a medida que aumenta el campo magnético. Obviamente, la altura de los picos es mayor a medida que aumenta el campo magnético, ya que la densidad de estados aumenta con el campo, por lo que hay más portadores que contribuyen a la resistividad. Es interesante notar que si el campo magnético es muy pequeño, la resistividad longitudinal es constante, lo que significa que se alcanza el resultado clásico.

A partir de la relación clásica de la resistividad transversal y sustituyendo se obtiene la cuantificación de la resistividad transversal y la conductividad:${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{\nu e^{2}}}\Rightarrow \sigma =\nu {\frac {e^{2}}{h}}}$

Se concluye entonces que la resistividad transversal es un múltiplo del inverso del llamado quantum de conductancia si el factor de llenado es un entero. En los experimentos, sin embargo, se observan mesetas para mesetas enteras de valores de llenado , lo que indica que de hecho hay estados de electrones entre los niveles de Landau. Estos estados se localizan, por ejemplo, en impurezas del material donde están atrapados en órbitas, por lo que no pueden contribuir a la conductividad. Es por eso que la resistividad permanece constante entre los niveles de Landau. Nuevamente, si el campo magnético disminuye, se obtiene el resultado clásico en el que la resistividad es proporcional al campo magnético.${\displaystyle e^{2}/h}$${\displaystyle \nu }$

El efecto Hall cuántico, además de observarse en sistemas electrónicos bidimensionales , se puede observar en fotones. Los fotones no poseen carga eléctrica inherente , pero a través de la manipulación de resonadores ópticos discretos y el acoplamiento de fases o fases in situ, se puede crear un campo magnético artificial . ^{[26] [27] [28] [29] [30]} Este proceso se puede expresar a través de una metáfora de fotones rebotando entre múltiples espejos. Al disparar la luz a través de múltiples espejos, los fotones se enrutan y ganan fase adicional proporcional a su momento angular . Esto crea un efecto como si estuvieran en un campo magnético .

Los números enteros que aparecen en el efecto Hall son ejemplos de números cuánticos topológicos . Se conocen en matemáticas como los primeros números de Chern y están estrechamente relacionados con la fase de Berry . Un modelo llamativo de mucho interés en este contexto es el modelo de Azbel-Harper-Hofstadter cuyo diagrama de fase cuántico es la mariposa de Hofstadter que se muestra en la figura. El eje vertical es la fuerza del campo magnético y el eje horizontal es el potencial químico , que fija la densidad electrónica. Los colores representan las conductancias de Hall enteras. Los colores cálidos representan números enteros positivos y los colores fríos números enteros negativos. Nótese, sin embargo, que la densidad de estados en estas regiones de conductancia Hall cuantizada es cero; por lo tanto, no pueden producir las mesetas observadas en los experimentos. El diagrama de fase es fractal y tiene estructura en todas las escalas. En la figura hay una autosemejanza obvia . En presencia de desorden, que es la fuente de las mesetas observadas en los experimentos, este diagrama es muy diferente y la estructura fractal se desvanece en su mayor parte. Además, los experimentos controlan el factor de llenado y no la energía de Fermi. Si este diagrama se traza como una función del factor de relleno, todas las características desaparecen por completo, por lo tanto, tiene muy poco que ver con la física Hall real.

En cuanto a los mecanismos físicos, las impurezas y/o estados particulares (por ejemplo, corrientes de borde) son importantes tanto para los efectos "enteros" como para los "fraccionales". Además, la interacción de Coulomb también es esencial en el efecto Hall cuántico fraccionario . La fuerte similitud observada entre los efectos Hall cuánticos enteros y fraccionarios se explica por la tendencia de los electrones a formar estados ligados con un número par de cuantos de flujo magnético, llamados fermiones compuestos .

El valor de la constante de von Klitzing puede obtenerse ya en el nivel de un solo átomo dentro del modelo de Bohr si se lo considera como un efecto Hall de un solo electrón. Mientras que durante el movimiento del ciclotrón en una órbita circular la fuerza centrífuga se equilibra con la fuerza de Lorentz responsable del voltaje inducido transversal y del efecto Hall, se puede considerar la diferencia de potencial de Coulomb en el átomo de Bohr como el voltaje Hall inducido de un solo átomo y el movimiento periódico del electrón en un círculo como una corriente Hall. Definiendo la corriente Hall de un solo átomo como la velocidad con la que una carga de un solo electrón realiza revoluciones de Kepler con frecuencia angular${\displaystyle e}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle I={\frac {\omega e}{2\pi }},}$

y el voltaje Hall inducido como diferencia entre el potencial de Coulomb del núcleo de hidrógeno en el punto orbital del electrón y en el infinito:

${\displaystyle U=V_{\text{C}}(\infty )-V_{\text{C}}(r)=0-V_{\text{C}}(r)={\frac {e}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

Se obtiene la cuantificación de la resistencia Hall de la órbita de Bohr definida en pasos de la constante de von Klitzing como

${\displaystyle R_{\text{Bohr}}(n)={\frac {U}{I}}=n{\frac {h}{e^{2}}}}$

que para el átomo de Bohr es lineal pero no inversa en el entero n .

Los ejemplos relativistas del efecto Hall cuántico entero y del efecto Hall de espín cuántico surgen en el contexto de la teoría de calibración de red . ^{[31] [32]}

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