Proceso cicloestacionario

Un proceso cicloestacionario es una señal que tiene propiedades estadísticas que varían cíclicamente con el tiempo. ^[1] Un proceso cicloestacionario puede verse como múltiples procesos estacionarios intercalados . Por ejemplo, la temperatura máxima diaria en la ciudad de Nueva York puede modelarse como un proceso cicloestacionario: la temperatura máxima del 21 de julio es estadísticamente diferente de la temperatura del 20 de diciembre; sin embargo, es una aproximación razonable que la temperatura del 20 de diciembre de diferentes años tenga estadísticas idénticas. Por lo tanto, podemos ver el proceso aleatorio compuesto por temperaturas máximas diarias como 365 procesos estacionarios intercalados, cada uno de los cuales toma un nuevo valor una vez al año.

Existen dos enfoques diferentes para el tratamiento de los procesos cicloestacionarios. ^[2] El enfoque estocástico consiste en considerar las mediciones como una instancia de un modelo abstracto de proceso estocástico . Como alternativa, el enfoque más empírico consiste en considerar las mediciones como una única serie temporal de datos: lo que se ha medido realmente en la práctica y, para algunas partes de la teoría, se ha extendido conceptualmente desde un intervalo de tiempo finito observado hasta un intervalo infinito. Ambos modelos matemáticos conducen a teorías probabilísticas: la probabilidad estocástica abstracta para el modelo de proceso estocástico y la probabilidad de Fracción de Tiempo (FOT) más empírica para el modelo alternativo. La probabilidad FOT de algún evento asociado con la serie temporal se define como la fracción de tiempo en que ese evento ocurre durante la vida útil de la serie temporal. En ambos enfoques, se dice que el proceso o la serie temporal es cicloestacionario si y solo si sus distribuciones de probabilidad asociadas varían periódicamente con el tiempo. Sin embargo, en el enfoque de series de tiempo no estocásticas, existe una definición alternativa pero equivalente: se dice que una serie de tiempo que no contiene componentes de onda sinusoidal aditivos de fuerza finita exhibe cicloestacionariedad si y solo si existe alguna transformación no lineal invariante en el tiempo de la serie de tiempo que produce componentes de onda sinusoidal aditivos de fuerza finita (distintos de cero).

Un caso especial importante de señales cicloestacionarias es el que exhibe cicloestacionariedad en las estadísticas de segundo orden (por ejemplo, la función de autocorrelación ). Estas se denominan señales cicloestacionarias de sentido amplio y son análogas a los procesos estacionarios de sentido amplio . La definición exacta difiere según si la señal se trata como un proceso estocástico o como una serie temporal determinista.

Un proceso estocástico de media y función de autocorrelación:${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle \nombre del operador {E} [x(t)]}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\nombre del operador {E} \{x(t+\tau )x^{*}(t)\},\,}$

donde la estrella denota conjugación compleja , se dice que es cicloestacionario en sentido amplio con período si tanto y son cíclicos en con período , es decir: ^[2]$Estilo de visualización T_{0}$${\displaystyle \nombre del operador {E} [x(t)]}$${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización T_{0},}$

${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]=\operatorname {E} [x(t+T_{0})]{\text{ para todos los }}t}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=R_{x}(t+T_{0};\tau ){\text{ para todo }}t,\tau .}$

La función de autocorrelación es entonces periódica en t y puede desarrollarse en series de Fourier :

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )e^{j2 \pi {\frac {n}{T_{0}}}t}}$

donde se llama función de autocorrelación cíclica y es igual a:${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Las frecuencias se denominan frecuencias de ciclo .${\displaystyle n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,}$

Los procesos estacionarios de sentido amplio son un caso especial de procesos cicloestacionarios con solo .${\displaystyle R_{x}^{0}(\tau )\neq 0}$

Una señal que es sólo una función del tiempo y no una trayectoria de muestra de un proceso estocástico puede exhibir propiedades de cicloestacionariedad en el marco del punto de vista de la fracción de tiempo . De esta manera, la función de autocorrelación cíclica puede definirse por: ^[2]

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Si la serie temporal es una trayectoria de muestra de un proceso estocástico, es . Si la señal es además cicloergódica, ^[3] todas las trayectorias de muestra exhiben los mismos promedios temporales cíclicos con probabilidad igual a 1 y, por lo tanto, con probabilidad 1.${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )\right]}$${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

La transformada de Fourier de la función de autocorrelación cíclica en la frecuencia cíclica α se denomina espectro cíclico o función de densidad de correlación espectral y es igual a:

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrm {d} \tau .}$

El espectro cíclico a frecuencia cíclica cero también se denomina densidad espectral de potencia promedio . Para un proceso cicloestacionario gaussiano, su función de distorsión de velocidad se puede expresar en términos de su espectro cíclico. ^[4]

La razón por la que se llama función de densidad de correlación espectral es que es igual al límite, cuando el ancho de banda del filtro se acerca a cero, del valor esperado del producto de la salida de un filtro de paso de banda unilateral con frecuencia central y el conjugado de la salida de otro filtro de paso de banda unilateral con frecuencia central , con ambas salidas de filtro con frecuencia desplazada a una frecuencia central común, como cero, como se observó y demostró originalmente en ^{[5] .}${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)}$${\displaystyle f+\alpha /2}$${\displaystyle f-\alpha /2}$

Para las series de tiempo, la razón por la que la función de densidad espectral cíclica se denomina función de densidad de correlación espectral es que es igual al límite, cuando el ancho de banda del filtro se acerca a cero, del promedio en todo el tiempo del producto de la salida de un filtro de paso de banda unilateral con frecuencia central y el conjugado de la salida de otro filtro de paso de banda unilateral con frecuencia central , con ambas salidas de filtro con frecuencia desplazada a una frecuencia central común, como cero, como se observó y demostró originalmente en ^{[6] .}${\displaystyle f+\alpha /2}$${\displaystyle f-\alpha /2}$

Un ejemplo de señal cicloestacionaria es la señal digital modulada linealmente  :

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}p(t-kT_{0})}$

donde son variables aleatorias iid . La forma de onda , con transformada de Fourier , es el pulso de soporte de la modulación.${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle P(f)}$

Suponiendo y , la función de autocorrelación es:${\displaystyle \operatorname {E} [a_{k}]=0}$${\displaystyle \operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatorname {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\[6pt]&=\sum _{k,n}\operatorname {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0})\\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end{aligned}}}$

La última suma es una suma periódica , por lo tanto una señal periódica en t . De esta manera, es una señal cicloestacionaria con período y función de autocorrelación cíclica:${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\sigma _{a}^{2}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}/2-kT_{0}}^{T_{0}/2-kT_{0}}p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau )*\left\{p^{*}(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\tau }\right\}.\end{aligned}}}$

con convolución indicadora . El espectro cíclico es:${\displaystyle *}$

${\displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}P(f)P^{*}\left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right).}$

Los pulsos de coseno elevado típicos adoptados en las comunicaciones digitales solo tienen frecuencias cíclicas distintas de cero.${\displaystyle n=-1,0,1}$

Este mismo resultado se puede obtener para el modelo de series de tiempo no estocástico de señales digitales moduladas linealmente en el que la expectativa se reemplaza con un promedio de tiempo infinito, pero esto requiere un método matemático algo modificado como el originalmente observado y probado en ^{[7] .}

Es posible generalizar la clase de modelos autorregresivos de promedio móvil para incorporar un comportamiento cicloestacionario. Por ejemplo, Troutman ^[8] trató autorregresiones en las que los coeficientes de autorregresión y la varianza residual ya no son constantes sino que varían cíclicamente con el tiempo. Su trabajo sigue a otros estudios de procesos cicloestacionarios dentro del campo del análisis de series temporales . ^{[9] [10]}

En la práctica, surgen señales que presentan ciclicidad con más de un período inconmensurable y requieren una generalización de la teoría de cicloestacionariedad. Dichas señales se denominan policicloestacionarias si presentan un número finito de períodos inconmensurables y casi cicloestacionarias si presentan un número infinito numerable. Dichas señales surgen con frecuencia en las comunicaciones por radio debido a múltiples transmisiones con diferentes frecuencias portadoras de ondas sinusoidales y velocidades de símbolos digitales. La teoría se introdujo en ^[11] para procesos estocásticos y se desarrolló más en ^[12] para series temporales no estocásticas.

La teoría de sentido amplio de las series temporales que exhiben cicloestacionariedad, policicloestacionariedad y casi cicloestacionariedad, originada y desarrollada por Gardner ^[13], también fue generalizada por Gardner a una teoría de momentos y cumulantes temporales y espectrales de orden superior y a una teoría de sentido estricto de distribuciones de probabilidad acumulativa. El libro enciclopédico ^[14] enseña todo esto de manera exhaustiva y proporciona un tratamiento académico de las publicaciones originales de Gardner y las contribuciones posteriores de otros.

• La cicloestacionariedad tiene aplicaciones extremadamente diversas en prácticamente todos los campos de la ingeniería y la ciencia, como se documenta detalladamente en ^[15] y ^[16] . Algunos ejemplos son:
• La cicloestacionariedad se utiliza en telecomunicaciones para la sincronización de señales , la optimización del transmisor y el receptor y la detección del espectro para la radio cognitiva; ^[17]
• En inteligencia de señales, la cicloestacionariedad se utiliza para la interceptación de señales; ^[18]
• En econometría , la cicloestacionariedad se utiliza para analizar el comportamiento periódico de los mercados financieros;
• La teoría de colas utiliza la teoría cicloestacionaria para analizar las redes de computadoras y el tráfico de automóviles;
• La cicloestacionariedad se utiliza para analizar señales mecánicas producidas por máquinas rotatorias y alternativas.

Las señales mecánicas producidas por máquinas rotatorias o reciprocantes están notablemente bien modeladas como procesos cicloestacionarios. La familia cicloestacionaria acepta todas las señales con periodicidades ocultas, ya sea de tipo aditivo (presencia de componentes tonales) o de tipo multiplicativo (presencia de modulaciones periódicas). Este es el caso del ruido y la vibración producidos por mecanismos de engranajes, cojinetes, motores de combustión interna, turbofán, bombas, hélices, etc. El modelado explícito de señales mecánicas como procesos cicloestacionarios se ha encontrado útil en varias aplicaciones, como en ruido, vibración y aspereza (NVH) y en monitoreo de condiciones . ^[19] En este último campo, se ha encontrado que la cicloestacionariedad generaliza el espectro envolvente , una técnica de análisis popular utilizada en el diagnóstico de fallas de cojinetes.

Una particularidad de las señales de las máquinas rotatorias es que el período del proceso está estrictamente vinculado al ángulo de rotación de un componente específico: el “ciclo” de la máquina. Al mismo tiempo, se debe preservar una descripción temporal que refleje la naturaleza de los fenómenos dinámicos que se rigen por ecuaciones diferenciales de tiempo. Por lo tanto, se utiliza la función de autocorrelación ángulo-tiempo .

${\displaystyle R_{x}(\theta ,\tau )=\operatorname {E} \{x(t(\theta )+\tau )x^{*}(t(\theta ))\},\,}$

donde representa el ángulo, el instante de tiempo correspondiente al ángulo y el retardo de tiempo. Los procesos cuya función de autocorrelación ángulo-tiempo exhibe un componente periódico en ángulo, es decir, tal que tiene un coeficiente de Fourier-Bohr distinto de cero para algún período angular , se denominan cicloestacionarios ángulo-tiempo (en sentido amplio). La doble transformada de Fourier de la función de autocorrelación ángulo-tiempo define la correlación espectral orden-frecuencia ,${\displaystyle \theta }$${\displaystyle t(\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle R_{x}(\theta ;\tau )}$${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\lim _{S\rightarrow +\infty }{\frac {1}{S}}\int _{-S/2}^{S/2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\frac {\theta }{\Theta }}}\,\mathrm {d} \tau \,\mathrm {d} \theta }$

donde es un orden (unidad en eventos por revolución ) y una frecuencia (unidad en Hz).${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f}$

Para una velocidad de rotación constante, , el ángulo es proporcional al tiempo, . En consecuencia, la autocorrelación ángulo-tiempo es simplemente una autocorrelación tradicional escalada por ciclicidad; es decir, las frecuencias de ciclo se escalan por . Por otro lado, si la velocidad de rotación cambia con el tiempo, entonces la señal ya no es cicloestacionaria (a menos que la velocidad varíe periódicamente). Por lo tanto, no es un modelo para señales cicloestacionarias. Ni siquiera es un modelo para cicloestacionariedad deformada en el tiempo, aunque puede ser una aproximación útil para cambios suficientemente lentos en la velocidad de rotación. ^[20]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta =\omega t}$${\displaystyle \omega }$

• Ruido en mezcladores, osciladores, samplers y lógica: una introducción al ruido cicloestacionario manuscrito presentación anotada presentación