Proceso progresivamente medible

En matemáticas , la mensurabilidad progresiva es una propiedad de la teoría de procesos estocásticos . Un proceso progresivamente medible, aunque definido de manera bastante técnica, es importante porque implica que el proceso detenido es medible . Ser progresivamente medible es una propiedad estrictamente más fuerte que la noción de ser un proceso adaptado . ^[1] Los procesos progresivamente mensurables son importantes en la teoría de las integrales de Itô .

Dejar

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$sea ​​un espacio de probabilidad ;
• ${\displaystyle (\mathbb {X},{\mathcal {A}})}$ser un espacio medible , el espacio de estados ;
• ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\mid t\geq 0\}}$sea ​​una filtración del álgebra sigma ;${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$ser un proceso estocástico (el conjunto de índices podría ser o en lugar de );${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle [0,\infty )}$
• ${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])}$sea ​​el álgebra sigma de Borel en .${\displaystyle [0,t]}$

Se dice que el proceso es progresivamente medible ^[2] (o simplemente progresivo ) si, para cada tiempo , la función definida por es - medible . Esto implica que es -adaptada. ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [0,t]\times \Omega \to \mathbb {X} }$${\displaystyle (s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )}$${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

Se dice que un subconjunto es progresivamente medible si el proceso es progresivamente medible en el sentido definido anteriormente, donde es la función indicadora de . El conjunto de todos esos subconjuntos forma un álgebra sigma en , denotada por , y un proceso es progresivamente medible en el sentido del párrafo anterior si, y solo si, es -medible.${\displaystyle P\subseteq [0,\infty )\times \Omega }$${\displaystyle X_{s}(\omega ):=\chi _{P}(s,\omega )}$${\displaystyle \chi _{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }$${\displaystyle \mathrm {Prog} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {Prog} }$

• Se puede demostrar ^[1] que , el espacio de procesos estocásticos para los cuales la integral de Itô${\displaystyle L^{2}(B)}$${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}}$

con respecto al movimiento browniano se define, es el conjunto de clases de equivalencia de procesos -medibles en .${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathrm {Prog} }$${\displaystyle L^{2}([0,T]\times \Omega ;\mathbb {R} ^{n})}$

• Todo proceso adaptado con trayectorias continuas hacia la izquierda o hacia la derecha es progresivamente medible. En consecuencia, todo proceso adaptado con trayectorias càdlàg es progresivamente medible. ^[1]
• Todo proceso medible y adaptado tiene una modificación progresivamente medible. ^[1]

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