Proceso de caza

En teoría de probabilidad , un proceso de Hunt es un tipo de proceso de Markov , llamado así por el matemático Gilbert A. Hunt, quien los definió por primera vez en 1957. Los procesos de Hunt fueron importantes en el estudio de la teoría del potencial probabilístico hasta que fueron reemplazados por procesos correctos en la década de 1970.

En la década de 1930-50, el trabajo de matemáticos como Joseph Doob , William Feller , Mark Kac y Shizuo Kakutani desarrolló conexiones entre los procesos de Markov y la teoría del potencial . ^[1]

En 1957-8, Gilbert A. Hunt publicó una tripleta de artículos ^{[2] [3] [4]} que profundizaron esa conexión. El impacto de estos artículos en la comunidad probabilista de la época fue significativo. Joseph Doob dijo que "los grandes artículos de Hunt sobre la teoría del potencial generada por las funciones de transición de Markov revolucionaron la teoría del potencial". ^[5] Ronald Getoor los describió como "una obra monumental de casi 170 páginas que contenía una enorme cantidad de matemáticas verdaderamente originales". ^[6] Gustave Choquet escribió que los artículos de Hunt eran "memorias fundamentales que renovaban al mismo tiempo la teoría del potencial y la teoría de los procesos de Markov al establecer un vínculo preciso, en un marco muy general, entre una clase importante de procesos de Markov y la clase de núcleos en la teoría del potencial que los probabilistas franceses acababan de estudiar". ^[7]

Una de las contribuciones de Hunt fue agrupar varias propiedades que un proceso de Markov debe tener para ser estudiado a través de la teoría de potenciales, a lo que llamó "hipótesis (A)". Un proceso estocástico satisface la hipótesis (A) si se cumplen los tres supuestos siguientes: ^[2]${\estilo de visualización X}$

Primer supuesto: es un proceso de Markov en un espacio polaco con caminos càdlàg .${\estilo de visualización X}$

Segundo supuesto: satisface la propiedad fuerte de Markov .${\estilo de visualización X}$

Tercer supuesto: ¿es cuasi-izquierda continua en ?${\estilo de visualización X}$${\displaystyle [0,\infty )}$

Los procesos que satisfacen la hipótesis (A) pronto se conocieron como procesos de Hunt. Si el tercer supuesto se debilita ligeramente de modo que la continuidad cuasi-izquierda se cumple solo en el tiempo de vida de , entonces se denomina "proceso estándar", un término que fue introducido por Eugene Dynkin . ^{[8] [9]}${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

El libro "Markov Processes and Potential Theory" ^[10] (1968) de Blumenthal y Getoor codificó los procesos estándar y de Hunt como los procesos de Markov arquetípicos. ^[11] Durante los siguientes años, la teoría del potencial probabilístico se ocupó casi exclusivamente de estos procesos.

De los tres supuestos contenidos en la hipótesis de Hunt (A), el más restrictivo es la continuidad cuasi-izquierdista. Getoor y Glover escriben: “Al probar muchos de sus resultados, Hunt asumió ciertas hipótesis de regularidad adicionales sobre sus procesos... Poco a poco se hizo evidente que era necesario eliminar muchas de estas hipótesis de regularidad para avanzar en la teoría”. ^[12] Ya en la década de 1960 se hicieron intentos de asumir la continuidad cuasi-izquierdista sólo cuando fuera necesario. ^[13]

En 1970, Chung-Tuo Shih amplió dos de los resultados fundamentales de Hunt, ^[a] eliminando por completo la necesidad de límites izquierdos (y, por lo tanto, también la continuidad cuasi-izquierda). ^[14] Esto condujo a la definición de procesos derechos como la nueva clase de procesos de Markov para los que la teoría del potencial podría funcionar. ^[15] Ya en 1975, Getoor escribió que los procesos de Hunt eran "principalmente de interés histórico". ^[16] Cuando Michael Sharpe publicó su libro "Teoría general de los procesos de Markov" en 1988, Hunt y los procesos estándar se consideraban obsoletos en la teoría del potencial probabilístico. ^[15]

Los matemáticos aún estudian los procesos de Hunt, con mayor frecuencia en relación con las formas de Dirichlet . ^{[17] [18] [19]}

Un proceso de Hunt es un proceso fuerte de Markov en un espacio polaco que es càdlàg y cuasi-izquierdista; es decir, si es una secuencia creciente de tiempos de parada con límite , entonces${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización (T_{n})}$${\estilo de visualización T}$$${\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\lim _{n\to \infty }X_{T_{n}}=X_{T}{\big |}T<\infty {\big )}=1.}$$

Sea un espacio de Radon y el álgebra de subconjuntos universalmente medibles de , y sea un semigrupo de Markov en que preserva . Un proceso de Hunt es una colección que satisface las siguientes condiciones: ^[20]${\estilo de visualización E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización (P_{t})}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle X=(\Omega ,{\mathcal {G}},{\mathcal {G}}_{t},X_{t},\theta _{t},\mathbb {P} ^{x})}$

(i) es un espacio medible filtrado , y cada uno es una medida de probabilidad en .${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {G}},{\mathcal {G}}_{t})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {G}})}$

(ii) Para cada , es un proceso estocástico con valor en , y está adaptado a .${\displaystyle x\en E}$$Estilo de visualización X_{t}}$${\estilo de visualización E}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}},\mathbb {P} ^{x})}$${\displaystyle ({\mathcal {G}}_{t})}$

(iii) (normalidad) Para cada , .${\displaystyle x\en E}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}(X_{0}=x)=1}$

(iv) (Propiedad de Markov) Para cada , y para todos los , .${\displaystyle x\en E}$${\displaystyle t,s\geq 0,f\in b{\mathcal {E}}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}(f(X_{t+s})|{\mathcal {G}}_{t})=P_{s}f(X_{t})}$

(v) es una colección de mapas tales que para cada , y${\displaystyle (\theta_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle :\Omega \a \Omega }$${\displaystyle t,s\geq 0}$${\displaystyle \theta_{t}\circ \theta_{s}=\theta_{t+s}}$${\displaystyle X_{t}\circ \theta _{s}=X_{t+s}.}$

(vi) es aumentada y continua por la derecha .${\displaystyle ({\mathcal {G}}_{t})}$

(vii) (continuidad derecha) Para cada , cada , y cada función -excesiva (con respecto a ) , la función es casi seguramente continua derecha bajo .${\displaystyle x\en E}$${\displaystyle \alpha >0}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización (P_{t})}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle t\mapsto f(X_{t})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$

(viii) (continuidad cuasi-izquierda) Para cada , si es una secuencia creciente de tiempos de parada con límite , entonces .${\displaystyle x\en E}$${\estilo de visualización (T_{n})}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}(\lim _{n\to \infty }X_{T_{n}}=X_{T}|T<\infty )=1}$

Sharpe ^[20] muestra en el Lema 2.6 que las condiciones (i)-(v) implican mensurabilidad de la función para todo , y en el Teorema 7.4 que (vi)-(vii) implican la propiedad fuerte de Markov con respecto a .${\displaystyle x\mapsto \mathbb {P} ^{x}(X_{t}\in B)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle ({\mathcal {G}}_{t})}$

Las siguientes inclusiones se dan entre varias clases de procesos de Markov: ^{[21] [22]}

En 1980, Çinlar et al. ^[23] demostraron que cualquier proceso de Hunt de valor real es semimartingala si y solo si es un cambio temporal aleatorio de un proceso de Itô. Más precisamente, ^[24] un proceso de Hunt en (equipado con el álgebra de Borel ) es una semimartingala si y solo si hay un proceso de Itô y una función medible con tal que , donde los procesos de Itô se nombraron por primera vez debido a su papel en este teorema, ^[25] aunque Itô los había estudiado previamente. ^[26]${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización Y}$ ${\estilo de visualización f}$${\displaystyle 0\leq f\leq 1}$${\displaystyle X_{t}=Y_{A_{t}},t\geq 0}$$${\displaystyle A_{t}=\int _{0}^{t}f(Y_{s})\mathrm {d} s.}$$

• Proceso de Markov
• Proceso correcto de Borel
• Caza de Gilbert