Principio de Huygens-Fresnel

El principio de Huygens-Fresnel (que debe su nombre al físico holandés Christiaan Huygens y al físico francés Augustin-Jean Fresnel ) establece que cada punto de un frente de onda es en sí mismo la fuente de ondículas esféricas, y las ondículas secundarias que emanan de diferentes puntos interfieren entre sí. ^[1] La suma de estas ondículas esféricas forma un nuevo frente de onda. Como tal, el principio de Huygens-Fresnel es un método de análisis aplicado a problemas de propagación de ondas luminosas tanto en el límite de campo lejano como en la difracción de campo cercano, así como en la reflexión .

En 1678, Huygens propuso que cada punto alcanzado por una perturbación luminosa se convierte en una fuente de una onda esférica; la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda en cualquier momento posterior. ^[2] Supuso que las ondas secundarias viajaban solo en la dirección "hacia adelante", y no se explica en la teoría por qué es así. Pudo proporcionar una explicación cualitativa de la propagación de ondas lineales y esféricas, y derivar las leyes de reflexión y refracción utilizando este principio, pero no pudo explicar las desviaciones de la propagación rectilínea que ocurren cuando la luz encuentra bordes, aberturas y pantallas, comúnmente conocidas como efectos de difracción . ^[3] La resolución de este error fue finalmente explicada por David AB Miller en 1991. ^[4] La resolución es que la fuente es un dipolo (no el monopolo asumido por Huygens), que se cancela en la dirección reflejada.

En 1818, Fresnel ^[5] demostró que el principio de Huygens, junto con su propio principio de interferencia , podía explicar tanto la propagación rectilínea de la luz como los efectos de difracción. Para lograr la concordancia con los resultados experimentales, tuvo que incluir suposiciones arbitrarias adicionales sobre la fase y la amplitud de las ondas secundarias, y también un factor de oblicuidad. Estas suposiciones no tienen una base física obvia, pero llevaron a predicciones que concordaban con muchas observaciones experimentales, incluida la mancha de Poisson .

Poisson era miembro de la Academia Francesa, que revisó el trabajo de Fresnel. ^[6] Utilizó la teoría de Fresnel para predecir que un punto brillante debería aparecer en el centro de la sombra de un pequeño disco, y dedujo de esto que la teoría era incorrecta. Sin embargo, Arago, otro miembro del comité, realizó el experimento y demostró que la predicción era correcta . (Lisle había observado esto cincuenta años antes. ^{[3] [ dudoso – discutir ]} ) Esta fue una de las investigaciones que llevaron a la victoria de la teoría ondulatoria de la luz sobre la teoría corpuscular predominante en ese momento .

En teoría e ingeniería de antenas, la reformulación del principio de Huygens-Fresnel para fuentes de corriente radiante se conoce como principio de equivalencia de superficie . ^{[7] [8]}

El principio de Huygens-Fresnel proporciona una base razonable para comprender y predecir la propagación ondulatoria clásica de la luz. Sin embargo, el principio tiene limitaciones, a saber, las mismas aproximaciones realizadas para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff y las aproximaciones del campo cercano debido a Fresnel. Estas pueden resumirse en el hecho de que la longitud de onda de la luz es mucho menor que las dimensiones de cualquier componente óptico encontrado. ^[6]

La fórmula de difracción de Kirchhoff proporciona una base matemática rigurosa para la difracción, basada en la ecuación de onda. Las suposiciones arbitrarias hechas por Fresnel para llegar a la ecuación de Huygens-Fresnel surgen automáticamente de las matemáticas en esta derivación. ^[9]

Un ejemplo sencillo del funcionamiento del principio se puede ver cuando una puerta abierta conecta dos habitaciones y se produce un sonido en un rincón remoto de una de ellas. Una persona que se encuentre en la otra habitación oirá el sonido como si se originara en la puerta. En lo que respecta a la segunda habitación, la fuente del sonido es el aire vibrante en la puerta.

No todos los expertos coinciden en que el principio de Huygens sea una representación microscópica precisa de la realidad. Por ejemplo, Melvin Schwartz sostuvo que "el principio de Huygens en realidad da la respuesta correcta, pero por las razones equivocadas". ^[1]

Esto se puede reflejar en los siguientes hechos:

• La mecánica microscópica de la creación y emisión de fotones es, en general, esencialmente la aceleración de electrones. ^[1]
• El análisis original de Huygens ^[10] consideró sólo frentes de onda de frecuencia, fase y velocidad de propagación uniformes y, por lo tanto, no puede tener en cuenta adecuadamente efectos como la interferencia o la dispersión .
• El principio original de Huygens tampoco considera la polarización de la luz, que requeriría un potencial vectorial, en contraste con el potencial escalar de una simple ola oceánica o una onda sonora , ^[11] y por lo tanto no puede dar cuenta de efectos como la birrefringencia .
• En la descripción de Huygens no hay ninguna explicación de por qué elegimos sólo la onda que se propaga hacia adelante ( onda retardada o envoltura hacia adelante de los frentes de onda) versus la onda avanzada que se propaga hacia atrás (envoltura hacia atrás). ^[11]
• En la aproximación de Fresnel existe un concepto de comportamiento no local debido a la suma de ondas esféricas con diferentes fases que provienen de los diferentes puntos del frente de onda, y las teorías no locales son objeto de muchos debates (por ejemplo, no ser covariante de Lorentz ) y de investigación activa. ^{[ cita requerida ]}
• La aproximación de Fresnel se puede interpretar de una manera probabilística cuántica, pero no está claro en qué medida esta suma de estados (es decir, wavelets en el frente de onda) es una lista completa de estados que son significativos físicamente o representa más bien una aproximación sobre una base genérica como en el método de combinación lineal de orbitales atómicos (LCAO).

El principio de Huygens es esencialmente compatible con la teoría cuántica de campos en la aproximación de campo lejano , considerando campos efectivos en el centro de dispersión, considerando pequeñas perturbaciones , y en el mismo sentido que la óptica cuántica es compatible con la óptica clásica , otras interpretaciones son objeto de debates e investigación activa.

El modelo de Feynman, donde cada punto en un frente de onda imaginario tan grande como la habitación genera una ondícula, también debe interpretarse en estas aproximaciones ^[12] y en un contexto probabilístico; en este contexto, los puntos remotos solo pueden contribuir mínimamente a la amplitud de probabilidad general.

La teoría cuántica de campos no incluye ningún modelo microscópico para la creación de fotones y el concepto de fotón único también se somete a escrutinio a nivel teórico.

Consideremos el caso de una fuente puntual situada en un punto P ₀ , que vibra a una frecuencia f . La perturbación puede describirse mediante una variable compleja U ₀ conocida como amplitud compleja . Produce una onda esférica con longitud de onda λ, número de onda k = 2 π / λ . Dentro de una constante de proporcionalidad, la amplitud compleja de la onda primaria en el punto Q situado a una distancia r ₀ de P ₀ es:

${\displaystyle U(r_{0})\propto {\frac {U_{0}e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$

Nótese que la magnitud disminuye en proporción inversa a la distancia recorrida y la fase cambia a medida que k veces la distancia recorrida.

Utilizando la teoría de Huygens y el principio de superposición de ondas, la amplitud compleja en un punto adicional P se encuentra sumando la contribución de cada punto en la esfera de radio r ₀ . Para llegar a un acuerdo con los resultados experimentales, Fresnel encontró que las contribuciones individuales de las ondas secundarias en la esfera tenían que ser multiplicadas por una constante, − i /λ, y por un factor de inclinación adicional, K (χ). La primera suposición significa que las ondas secundarias oscilan a un cuarto de ciclo fuera de fase con respecto a la onda primaria y que la magnitud de las ondas secundarias están en una relación de 1:λ a la onda primaria. También asumió que K (χ) tenía un valor máximo cuando χ = 0, y era igual a cero cuando χ = π/2, donde χ es el ángulo entre la normal del frente de onda primario y la normal del frente de onda secundario. La amplitud compleja en P , debido a la contribución de las ondas secundarias, está dada por: ^[13]

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{\lambda }}U(r_{0})\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}K(\chi )\,dS}$

donde S describe la superficie de la esfera y s es la distancia entre Q y P.

Fresnel utilizó un método de construcción de zonas para encontrar valores aproximados de K para las diferentes zonas, ^[6] lo que le permitió hacer predicciones que concordaban con los resultados experimentales. El teorema integral de Kirchhoff incluye la idea básica del principio de Huygens-Fresnel. Kirchhoff demostró que en muchos casos, el teorema puede aproximarse a una forma más simple que es equivalente a la formación de la formulación de Fresnel. ^[6]

Para una iluminación de apertura que consiste en una única onda esférica en expansión, si el radio de curvatura de la onda es suficientemente grande, Kirchhoff dio la siguiente expresión para K (χ): ^[6]

${\displaystyle ~K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )}$

K tiene un valor máximo en χ = 0 como en el principio de Huygens-Fresnel; sin embargo, K no es igual a cero en χ = π/2, sino en χ = π.

La derivación anterior de K (χ) supone que la abertura de difracción está iluminada por una única onda esférica con un radio de curvatura suficientemente grande. Sin embargo, el principio se aplica a iluminaciones más generales. ^[13] Una iluminación arbitraria se puede descomponer en una colección de fuentes puntuales y se puede invocar la linealidad de la ecuación de onda para aplicar el principio a cada fuente puntual individualmente. K (χ) se puede expresar de forma general como: ^[13]

${\displaystyle ~K(\chi )=\cos \chi }$

En este caso, K satisface las condiciones establecidas anteriormente (valor máximo en χ = 0 y cero en χ = π/2).

Muchos libros y referencias - por ejemplo (Greiner, 2002) ^[14] y (Enders, 2009) ^[15] - hacen referencia al Principio de Huygens Generalizado utilizando la definición de ( Feynman , 1948). ^[16]

Feynman define el principio generalizado de la siguiente manera:

"En realidad, el principio de Huygens no es correcto en óptica. Se sustituye por la modificación de Kirchoff [sic] que requiere que tanto la amplitud como su derivada se conozcan en la superficie adyacente. Esto es una consecuencia del hecho de que la ecuación de onda en óptica es de segundo orden en el tiempo. La ecuación de onda de la mecánica cuántica es de primer orden en el tiempo; por lo tanto, el principio de Huygens es correcto para las ondas de materia, ya que la acción reemplaza al tiempo".

Esto aclara el hecho de que en este contexto el principio generalizado refleja la linealidad de la mecánica cuántica y el hecho de que las ecuaciones de la mecánica cuántica son de primer orden en el tiempo. Finalmente, sólo en este caso se aplica plenamente el principio de superposición, es decir, la función de onda en un punto P se puede desarrollar como una superposición de ondas en una superficie límite que encierra P. Las funciones de onda se pueden interpretar en el sentido mecánico cuántico habitual como densidades de probabilidad donde se aplica el formalismo de las funciones de Green y los propagadores . Lo que es digno de mención es que este principio generalizado es aplicable a las "ondas de materia" y ya no a las ondas de luz. El factor de fase ahora se aclara como dado por la acción y ya no hay confusión sobre por qué las fases de las ondículas son diferentes de la de la onda original y modificadas por los parámetros de Fresnel adicionales.

Según Greiner ^[14] el principio generalizado puede expresarse en la forma:${\displaystyle t'>t}$

${\displaystyle \psi '(\mathbf {x} ',t')=i\int d^{3}x\,G(\mathbf {x} ',t';\mathbf {x} ,t)\psi (\mathbf {x} ,t)}$

donde G es la función de Green habitual que propaga en el tiempo la función de onda . Esta descripción se asemeja y generaliza la fórmula de Fresnel inicial del modelo clásico.${\estilo de visualización \psi}$

La teoría de Huygens sirvió como una explicación fundamental de la naturaleza ondulatoria de la interferencia de la luz y fue desarrollada posteriormente por Fresnel y Young, pero no resolvió por completo todas las observaciones, como el experimento de doble rendija de baja intensidad realizado por primera vez por GI Taylor en 1909. No fue hasta principios y mediados del siglo XX que comenzaron las discusiones sobre la teoría cuántica, en particular las primeras discusiones en la Conferencia Solvay de Bruselas de 1927 , donde Louis de Broglie propuso su hipótesis de De Broglie de que el fotón está guiado por una función de onda. ^[17]

La función de onda presenta una explicación muy diferente de las bandas claras y oscuras observadas en un experimento de doble rendija. En esta concepción, el fotón sigue un camino que es una elección probabilística de uno de los muchos caminos posibles en el campo electromagnético. Estos caminos probables forman el patrón: en las áreas oscuras, no aterriza ningún fotón, y en las áreas brillantes, aterrizan muchos fotones. El conjunto de posibles caminos de los fotones es consistente con la teoría de la integral de caminos de Richard Feynman, los caminos están determinados por el entorno: el punto de origen del fotón (átomo), la rendija y la pantalla y por el seguimiento y la suma de fases. La función de onda es una solución a esta geometría. El enfoque de la función de onda fue respaldado además por experimentos adicionales de doble rendija en Italia y Japón en los años 1970 y 1980 con electrones. ^[18]

El principio de Huygens puede considerarse una consecuencia de la homogeneidad del espacio: el espacio es uniforme en todas las ubicaciones. ^[19] Cualquier perturbación creada en una región suficientemente pequeña del espacio homogéneo (o en un medio homogéneo) se propaga desde esa región en todas las direcciones geodésicas. Las ondas producidas por esta perturbación, a su vez, crean perturbaciones en otras regiones, y así sucesivamente. La superposición de todas las ondas da como resultado el patrón observado de propagación de ondas.

La homogeneidad del espacio es fundamental para la teoría cuántica de campos (QFT), donde la función de onda de cualquier objeto se propaga a lo largo de todos los caminos disponibles sin obstáculos. Cuando se integra a lo largo de todos los caminos posibles , con un factor de fase proporcional a la acción , la interferencia de las funciones de onda predice correctamente los fenómenos observables. Cada punto en el frente de onda actúa como fuente de ondículas secundarias que se propagan en el cono de luz con la misma velocidad que la onda. El nuevo frente de onda se encuentra construyendo la superficie tangente a las ondículas secundarias.

En 1900, Jacques Hadamard observó que el principio de Huygens se rompía cuando el número de dimensiones espaciales era par. ^{[20] [21] [22]} A partir de esto, desarrolló un conjunto de conjeturas que siguen siendo un tema activo de investigación. ^{[23] [24]} En particular, se ha descubierto que el principio de Huygens se cumple en una gran clase de espacios homogéneos derivados del grupo de Coxeter (así, por ejemplo, los grupos de Weyl de álgebras de Lie simples ). ^{[19] [25]}

La declaración tradicional del principio de Huygens para el D'Alembertiano da lugar a la jerarquía KdV ; análogamente, el operador de Dirac da lugar a la jerarquía AKNS . ^{[26] [27]}

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Principio de Huygens.

• Stratton, Julius Adams: Teoría electromagnética , McGraw-Hill, 1941. (Reeditado por Wiley – IEEE Press, ISBN 978-0-470-13153-4 ). 
• BB Baker y ET Copson, La teoría matemática del principio de Huygens , Oxford, 1939, 1950; AMS Chelsea, 1987.