Sobre los tamaños y las distancias (Aristarco)

Sobre los tamaños y distancias (del sol y la luna) ( griego antiguo : Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης] , romanizado :  Perì megethôn kaì a postēmátōn [hēlíou kaì selḗnēs] ) es ampliamente aceptado como la única obra existente escrita por Aristarco de Samos , un antiguo astrónomo griego que vivió alrededor del 310 al 230 a. C. Este trabajo calcula los tamaños del Sol y la Luna , así como sus distancias a la Tierra en términos del radio terrestre.

Se presume que el libro fue preservado por estudiantes del curso de matemáticas de Pappus de Alejandría , aunque no hay evidencia de esto. La editio princeps fue publicada por John Wallis en 1688, utilizando varios manuscritos medievales compilados por Sir Henry Savile . ^[1] La primera traducción al latín fue realizada por Giorgio Valla en 1488. También hay una traducción al latín de 1572 y un comentario de Frederico Commandino . ^{[2] [3]}

El método del trabajo se basó en varias observaciones:

• El tamaño aparente del Sol y la Luna en el cielo.
• El tamaño de la sombra de la Tierra en relación con la Luna durante un eclipse lunar
• El ángulo entre el Sol y la Luna durante la media luna es de 90°.

El resto del artículo detalla una reconstrucción del método y los resultados de Aristarco. ^[4] La reconstrucción utiliza las siguientes variables:

Aristarco partió de la premisa de que, durante la media luna , la Luna forma un triángulo rectángulo con el Sol y la Tierra. Observando el ángulo entre el Sol y la Luna, φ , se podía deducir la relación entre las distancias al Sol y la Luna utilizando una forma de trigonometría .

A partir del diagrama y la trigonometría, podemos calcular que

${\displaystyle {\frac {S}{L}}={\frac {1}{\cos \varphi }}=\sec \varphi .}$

El diagrama es muy exagerado, porque en realidad, S = 390 L , y φ está extremadamente cerca de 90°. Aristarco determinó que φ era un trigésimo de un cuadrante (en términos modernos, 3°) menor que un ángulo recto: en la terminología actual, 87°. Las funciones trigonométricas aún no se habían inventado, pero utilizando el análisis geométrico al estilo de Euclides , Aristarco determinó que

${\displaystyle 18<{\frac {S}{L}}<20.}$

En otras palabras, la distancia al Sol era entre 18 y 20 veces mayor que la distancia a la Luna. Este valor (o valores cercanos a él) fue aceptado por los astrónomos durante los siguientes dos mil años, hasta que la invención del telescopio permitió una estimación más precisa de la paralaje solar .

Aristarco también razonó que, como el tamaño angular del Sol y la Luna eran el mismo, pero la distancia al Sol era entre 18 y 20 veces mayor que la de la Luna, el Sol debía ser entre 18 y 20 veces más grande.

Aristarco utilizó luego otra construcción basada en un eclipse lunar:

Por semejanza de los triángulos, y ${\displaystyle {\frac {D}{L}}={\frac {t}{t-d}}\quad }$${\displaystyle \quad {\frac {D}{S}}={\frac {t}{s-t}}.}$

Dividiendo estas dos ecuaciones y utilizando la observación de que el Sol y la Luna parecen del mismo tamaño para la gente en la Tierra, se obtiene${\displaystyle s/S=\ell /L}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{s}}={\frac {t-d}{s-t}}\ \ \implies \ \ {\frac {s-t}{s}}={\frac {t-d}{\ell }}\ \ \implies \ \ {\frac {t}{\ell }}+{\frac {t}{s}}=1+{\frac {d}{\ell }}.}$

La ecuación más a la derecha se puede resolver para o${\displaystyle \ell /t}$${\displaystyle s/t}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\dfrac {\ell }{s}}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\dfrac {s}{\ell }}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}}.}$

Estas ecuaciones pueden hacerse parecer más simples expresando las longitudes y en términos del radio de la luna como una unidad, definiendo y Luego${\displaystyle d}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle {\hat {d}}=d/\ell }$${\displaystyle {\hat {s}}=s/\ell .}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{{\hat {s}}(1+{\hat {d}})}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{1+{\hat {d}}}}}$

Las ecuaciones anteriores dan los radios de la Luna y el Sol enteramente en términos de cantidades observables.

Las siguientes fórmulas dan las distancias al Sol y a la Luna en unidades terrestres:

${\displaystyle {\frac {L}{t}}=\left({\frac {\ell }{t}}\right)\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S}{t}}={\biggl (}{\frac {s}{t}}{\biggr )}\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

donde θ es el radio aparente de la Luna y el Sol medido en grados.

Aristarco no utilizó estas fórmulas exactas, aunque es probable que sean una buena aproximación a las de Aristarco.

Las fórmulas anteriores se pueden utilizar para reconstruir los resultados de Aristarco. La siguiente tabla muestra los resultados de una reconstrucción de larga data (pero dudosa) utilizando n = 2, x = 19,1 ( φ = 87°) y θ = 1°, junto con los valores aceptados en la actualidad.

^{[ cita requerida ]}

El error en este cálculo proviene principalmente de los valores deficientes de x y θ . El valor deficiente de θ es especialmente sorprendente, ya que Arquímedes escribe que Aristarco fue el primero en determinar que el Sol y la Luna tenían un diámetro aparente de medio grado. Esto daría un valor de θ = 0,25, y una distancia correspondiente a la Luna de 80 radios terrestres, una estimación mucho mejor. El desacuerdo del trabajo con Arquímedes parece deberse a que toma una declaración de Aristarco de que el diámetro lunisolar es 1/15 de un "meros" del zodíaco para significar 1/15 de un signo zodiacal (30°), sin saber que la palabra griega "meros" significaba "porción" o 7°1/2; y 1/15 de la última cantidad es 1°/2, de acuerdo con el testimonio de Arquímedes.

Un procedimiento similar fue utilizado posteriormente por Hiparco , que estimó la distancia media a la Luna en 67 radios terrestres, y por Ptolomeo , que tomó 59 radios terrestres para este valor.

Aquí se pueden encontrar algunas ilustraciones interactivas de las proposiciones de On Sizes :

• La hipótesis 4 establece que cuando la Luna se nos aparece dividida en dos, su distancia al Sol es entonces menor que un cuadrante en una trigésima parte de un cuadrante [es decir, es menor que 90° en 1/30 de 90° o 3°, y por lo tanto es igual a 87°] (Heath 1913:353).
• La Proposición 1 establece que dos esferas iguales están comprendidas por un mismo cilindro, y dos esferas desiguales por un mismo cono que tiene su vértice en la dirección de la esfera menor; y la línea recta trazada a través de los centros de las esferas forma ángulo recto con cada uno de los círculos en los que la superficie del cilindro o del cono toca las esferas (Heath 1913:354).
• La Proposición 2 establece que si una esfera es iluminada por una esfera mayor que ella misma, la porción iluminada de la primera esfera será mayor que un hemisferio (Heath 1913:358).
• La Proposición 3 establece que el círculo de la Luna que divide las partes oscuras y brillantes es mínimo cuando el cono que comprende tanto al Sol como a la Luna tiene su vértice en nuestro ojo (Heath 1913:362).
• La Proposición 4 establece que el círculo que divide las partes oscuras y brillantes de la Luna no es perceptiblemente diferente de un gran círculo en la Luna (Heath 1913:365).
• La Proposición 6 establece que la Luna se mueve [en una órbita] más baja que [la del] Sol, y, cuando se reduce a la mitad, está a menos de un cuadrante del Sol (Heath 1913:372).
• La Proposición 7 establece que la distancia entre el Sol y la Tierra es mayor que 18 veces, pero menor que 20 veces, la distancia entre la Luna y la Tierra (Heath 1913:377). En otras palabras, el Sol está entre 18 y 20 veces más lejos y es más ancho que la Luna.
• La Proposición 13 establece que la línea recta que subtiende la porción interceptada dentro de la sombra de la Tierra de la circunferencia del círculo en el que se mueven los extremos del diámetro del círculo que divide las porciones oscura y brillante de la Luna es menos del doble del diámetro de la Luna, pero tiene con él una relación mayor que la que 88 tiene con 45; y es menos de 1/9 parte del diámetro del Sol, pero tiene con él una relación mayor que la que 21 tiene con 225. Pero tiene con la línea recta trazada desde el centro del Sol en ángulo recto con el eje y que se encuentra con los lados del cono una relación mayor que la que 979 tiene con 10 125 (Heath 1913:394).
• La Proposición 14 establece que la línea recta que va del centro de la Tierra al centro de la Luna tiene con la línea recta cortada desde el eje hacia el centro de la Luna por la línea recta que subtiende la [circunferencia] dentro de la sombra de la Tierra una relación mayor que la que 675 tiene con 1 (Heath 1913:400).
• La Proposición 15 establece que el diámetro del Sol tiene con respecto al diámetro de la Tierra una relación mayor que 19/3, pero menor que 43/6 (Heath 1913:403). Esto significa que el Sol es (una media de) 6+3 ⁄ 4 veces más ancho que la Tierra, o que el Sol tiene 13+1 ⁄ 2 radios terrestres de ancho. La Luna y el Sol deben tener entonces 20+1 ⁄ 4 y 387 radios terrestres de distancia de nosotros para subtender un tamaño angular de 2º.
• La Proposición 17a de la versión árabe medieval de al-Tusi del libro Sobre los tamaños establece que la relación entre la distancia del vértice del cono de sombra desde el centro de la Luna (cuando la Luna está en el eje [es decir, en medio de un eclipse] del cono que contiene la Tierra y el Sol) y la distancia del centro de la Luna desde el centro de la Tierra es mayor que la relación 71 a 37 y menor que la relación 3 a uno (Berggren y Sidoli 2007:218). ^[5] En otras palabras, que la punta del cono de sombra de la Tierra está entre 108/37 y cuatro veces más lejos que la Luna.

• Exposición del Vaticano en la Biblioteca del Congreso.

• Aristarco de Samos
• Eratóstenes (c.  276  – c.  194/195 a. C. ), matemático griego que calculó la circunferencia de la Tierra y también la distancia de la Tierra al Sol.
• Hiparco (c.  190  – c.  120 a. C. ), matemático griego que midió los radios del Sol y de la Luna, así como sus distancias a la Tierra.
• Sobre los tamaños y las distancias (Hiparco)
• Posidonio (c.  135  – c.  51 a. C. ), astrónomo y matemático griego que calculó la circunferencia de la Tierra.

• Gómez, Alberto (2023). Decodificando a Aristarco. Berlín : Peter Lang Verlag . ISBN 9783631892619.
• Heath, Thomas (1913). Aristarco de Samos, el antiguo Copérnico. Oxford: Clarendon. Esto fue reimpreso posteriormente, véase ( ISBN 0-486-43886-4 ). 
• van Helden, A. Medición del universo: dimensiones cósmicas desde Aristarco hasta Halley . Chicago: Universidad. de Chicago Pr., 1985. ISBN 0-226-84882-5 .