Presentación de un grupo

En matemáticas , una presentación es un método para especificar un grupo . Una presentación de un grupo G comprende un conjunto S de generadores —de modo que cada elemento del grupo puede escribirse como un producto de potencias de algunos de estos generadores— y un conjunto R de relaciones entre esos generadores. Entonces decimos que G tiene presentación

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

De manera informal, G tiene la presentación anterior si es el "grupo más libre" generado por S sujeto únicamente a las relaciones R . Formalmente, se dice que el grupo G tiene la presentación anterior si es isomorfo al cociente de un grupo libre en S por el subgrupo normal generado por las relaciones R .

Como ejemplo sencillo, el grupo cíclico de orden n tiene la presentación

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle,}$

donde 1 es la identidad del grupo. Esto se puede escribir de forma equivalente como

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle,}$

Gracias a la convención de que los términos que no incluyen un signo igual se consideran iguales a la identidad de grupo, estos términos se denominan "relatores" , lo que los distingue de las relaciones que sí incluyen un signo igual.

Cada grupo tiene una presentación, y de hecho muchas presentaciones diferentes; una presentación es a menudo la forma más compacta de describir la estructura del grupo.

Un concepto estrechamente relacionado pero diferente es el de presentación absoluta de un grupo .

Un grupo libre de un conjunto S es un grupo donde cada elemento puede describirse de forma única como un producto de longitud finita de la forma:

${\displaystyle s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}$

donde los s _i son elementos de S, los s _i adyacentes son distintos y a _i son números enteros distintos de cero (pero n puede ser cero). En términos menos formales, el grupo consta de palabras en los generadores y sus inversos , sujetos únicamente a la cancelación de un generador con una ocurrencia adyacente de su inverso.

Si G es cualquier grupo y S es un subconjunto generador de G , entonces cada elemento de G también tiene la forma anterior; pero en general, estos productos no describirán de manera única un elemento de G.

Por ejemplo, el grupo diedro D ₈ de orden dieciséis puede generarse mediante una rotación, r , de orden 8; y un giro, f , de orden 2; y ciertamente cualquier elemento de D ₈ es un producto de r ' s y f ' s.

Sin embargo, tenemos, por ejemplo, rfr = f ⁻¹ , r ⁷ = r ⁻¹ , etc., por lo que dichos productos no son únicos en D ₈ . Cada equivalencia de dichos productos se puede expresar como una igualdad a la identidad, tal como

rfrf = 1 ,

r ⁸ = 1 , o

f ^{‍ 2} = 1 .

De manera informal, podemos considerar estos productos del lado izquierdo como elementos del grupo libre F = ⟨ r , f ⟩ , y sea R = ⟨ rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} ⟩ . Es decir, sea R el subgrupo generado por las cadenas rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} , cada una de las cuales también es equivalente a 1 cuando se consideran como productos en D ₈ .

Si entonces dejamos que N sea el subgrupo de F generado por todos los conjugados x ⁻¹ Rx de R , entonces se sigue por definición que cada elemento de N es un producto finito x ₁ ⁻¹ r ₁ x ₁ ... x _m ⁻¹ r _m x _m de miembros de tales conjugados. Se sigue que cada elemento de N , cuando se considera como un producto en D ₈ , también evaluará a 1; y por lo tanto que N es un subgrupo normal de F . Por lo tanto, D ₈ es isomorfo al grupo cociente F / N . Entonces decimos que D ₈ tiene presentación

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle.}$

Aquí el conjunto de generadores es S = { r , f  }, y el conjunto de relaciones es R = { r ⁸ = 1, f ² = 1, ( rf ) ² = 1} . A menudo vemos R abreviado, dando la presentación

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle.}$

Una forma aún más corta omite los signos de igualdad e identidad, para enumerar solo el conjunto de relacionadores, que es { r ⁸ , f ² , ( rf ) ² } . Al hacer esto, se obtiene la presentación

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle.}$

Las tres presentaciones son equivalentes.

Aunque la notación ⟨S | R⟩ que se utiliza en este artículo para una presentación es actualmente la más común, los autores anteriores utilizaban distintas variaciones del mismo formato. Entre estas notaciones se incluyen las siguientes: [ ^{cita requerida ]}

• ⟨ S | R ⟩
• ( S | R )
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

Sea S un conjunto y sea F _S el grupo libre en S . Sea R un conjunto de palabras en S , por lo que R da naturalmente un subconjunto de . Para formar un grupo con presentación , tome el cociente de por el subgrupo normal más pequeño que contiene cada elemento de R . (Este subgrupo se llama clausura normal N de R en ). El grupo se define entonces como el grupo cociente$Estilo de visualización F_{S}$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$$Estilo de visualización F_{S}$ $Estilo de visualización F_{S}$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.}$

Los elementos de S se denominan generadores de y los elementos de R se denominan relatadores . Se dice que un grupo G tiene la presentación si G es isomorfo a . ^[1]${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$

Es una práctica común escribir los relatores en la forma donde x e y son palabras en S . Esto significa que . Esto tiene el significado intuitivo de que se supone que las imágenes de x e y son iguales en el grupo de cocientes. Así, por ejemplo, r ⁿ en la lista de relatores es equivalente a . ^[1]${\displaystyle x=y}$${\displaystyle y^{-1}x\en R}$${\displaystyle r^{n}=1}$

Para un grupo finito G , es posible construir una representación de G a partir de la tabla de multiplicación de grupos , de la siguiente manera. Tome S como los elementos del conjunto de G y R como todas las palabras de la forma , donde es una entrada en la tabla de multiplicación.$estilo de visualización g_{i}}$${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$

La definición de presentación de grupo puede reformularse alternativamente en términos de clases de equivalencia de palabras en el alfabeto . En esta perspectiva, declaramos que dos palabras son equivalentes si es posible pasar de una a la otra mediante una secuencia de movimientos, donde cada movimiento consiste en agregar o eliminar un par consecutivo o para algún x en S , o en agregar o eliminar una copia consecutiva de un relator. Los elementos del grupo son las clases de equivalencia, y la operación del grupo es la concatenación. ^[1]${\displaystyle S\cup S^{-1}}$${\estilo de visualización xx^{-1}}$$estilo de visualización x^{-1}x}$

Este punto de vista es particularmente común en el campo de la teoría de grupos combinatorios .

Se dice que una presentación es finitamente generada si S es finito y finitamente relacionada si R es finito. Si ambos son finitos, se dice que es una presentación finita . Un grupo es finitamente generado (respectivamente finitamente relacionado ,finitamente presentado ) si tiene una presentación que se genera finitamente (respectivamente, finitamente relacionada, una presentación finita). Un grupo que tiene una presentación finita con una sola relación se llamagrupo de un solo relator.

Si S está indexado por un conjunto I que consiste en todos los números naturales N o un subconjunto finito de ellos, entonces es fácil establecer una codificación simple uno a uno (o numeración de Gödel ) f  : F _S → N del grupo libre en S a los números naturales, de modo que podemos encontrar algoritmos que, dado f ( w ), calculen w , y viceversa. Podemos entonces llamar a un subconjunto U de F _S recursivo (respectivamente recursivamente enumerable ) si f ( U ) es recursivo (respectivamente recursivamente enumerable). Si S está indexado como arriba y R recursivamente enumerable, entonces la presentación es una presentación recursiva y el grupo correspondiente es presentado recursivamente . Este uso puede parecer extraño, pero es posible probar que si un grupo tiene una presentación con R recursivamente enumerable entonces tiene otra con R recursivo.

Todo grupo finitamente presentado se presenta recursivamente, pero hay grupos recursivamente presentados que no pueden presentarse finitamente. Sin embargo, un teorema de Graham Higman establece que un grupo finitamente generado tiene una presentación recursiva si y solo si puede ser incluido en un grupo finitamente presentado. ^[2] De esto podemos deducir que solo hay (salvo isomorfismo) un número contable de grupos finitamente generados y presentados recursivamente. Bernhard Neumann ha demostrado que hay un número incontable de grupos generadores no isomorfos. Por lo tanto, hay grupos finitamente generados que no pueden presentarse recursivamente.

Una de las primeras presentaciones de un grupo por generadores y relaciones fue dada por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano , una presentación del grupo icosaédrico . ^[3] El primer estudio sistemático fue dado por Walther von Dyck , estudiante de Felix Klein , a principios de la década de 1880, sentando las bases para la teoría de grupos combinatorios . ^[4]

La siguiente tabla muestra algunos ejemplos de presentaciones para grupos de estudio habituales. Tenga en cuenta que en cada caso hay muchas otras presentaciones posibles. La presentación que se muestra no es necesariamente la más eficiente posible.

Grupo	Presentación	Comentarios
el grupo libre en S	${\displaystyle \langle S\mid \varnothing \rangle }$	Un grupo libre es "libre" en el sentido de que no está sujeto a ninguna relación.
C n , el grupo cíclico de orden n	${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle }$
D n , el grupo diedro de orden 2 n	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle }$	Aquí r representa una rotación y f una reflexión.
D ∞ , el grupo diedro infinito	${\displaystyle \langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle }$
Dic n , el grupo dicíclico	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}=r^{-1}\rangle }$	El grupo de cuaterniones Q 8 es un caso especial cuando n = 2
Z × Z	${\displaystyle \langle x,y\mid xy=yx\rangle }$
Z / mZ × Z / nZ​​	${\displaystyle \langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle }$
el grupo abeliano libre en S	${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$donde R es el conjunto de todos los conmutadores de elementos de S
S n , el grupo simétrico de n símbolos	generadores: relaciones:${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ $Estilo de visualización: sigma _{i}^{2}=1$, ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ si }}j\neq i\pm 1}$, ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ }$ El último conjunto de relaciones se puede transformar en ${\displaystyle {(\sigma _{i}\sigma _{i+1}})^{3}=1\ }$ usando .$Estilo de visualización: sigma _{i}^{2}=1$	Aquí σ i es la permutación que intercambia el elemento i con el i +1. El producto σ i σ i +1 es un 3-ciclo en el conjunto { i , i +1, i +2}.
B n , los grupos trenzados	generadores:${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ relaciones: ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ si }}j\neq i\pm 1}$, ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ }$	Nótese la similitud con el grupo simétrico; la única diferencia es la eliminación de la relación .$Estilo de visualización: sigma _{i}^{2}=1$
V 4 ≅ D 2 , el grupo Klein 4	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{2},(st)^{2}\rangle }$
T ≅ A 4 , el grupo tetraédrico	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle }$
O ≅ S 4 , el grupo octaédrico	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle }$
I ≅ A 5 , el grupo icosaédrico	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }$
Q 8 , el grupo de cuaterniones	${\displaystyle \langle i,j\mid i^{4},jij=i,iji=j\rangle \,}$	Para una presentación alternativa, consulte Dic n arriba con n = 2.
SL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle }$	Topológicamente, a y b se pueden visualizar como giros de Dehn en el toro.
GL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle }$	no trivial Z /2 Z – extensión del grupo SL(2, Z )
PSL(2, Z ), el grupo modular	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle }$	PSL(2, Z ) es el producto libre de los grupos cíclicos Z /2 Z y Z /3 Z
Grupo de Heisenberg	${\displaystyle \langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle }$
BS( m , n ), los grupos Baumslag–Solitar	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle }$
Grupo de tetas	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5},[a,bab]^{4},((ab)^{4}ab^{-1})^{6}\rangle }$	[ a , b ] es el conmutador

Un ejemplo de un grupo finitamente generado que no está finitamente presentado es el producto corona del grupo de números enteros consigo mismo.${\displaystyle \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z} }$

Teorema. Cada grupo tiene una presentación.

Para ver esto, dado un grupo G , considere el grupo libre F _G en G . Por la propiedad universal de los grupos libres, existe un único homomorfismo de grupo φ : F _G → G cuya restricción a G es la función identidad. Sea K el núcleo de este homomorfismo. Entonces K es normal en F _G , por lo tanto es igual a su clausura normal, por lo que ⟨ G | K ⟩ = F _G / K . Como la función identidad es sobreyectiva, φ también es sobreyectiva, por lo que por el Primer Teorema de Isomorfismo , ⟨ G | K ⟩ ≅ im( φ ) = G . Esta presentación puede ser altamente ineficiente si tanto G como K son mucho mayores de lo necesario.

Corolario. Todo grupo finito tiene una presentación finita.

Se pueden tomar los elementos del grupo como generadores y la tabla de Cayley como relaciones.

La solución negativa al problema verbal de los grupos establece que existe una representación finita ⟨ S | R ⟩ para la cual no existe un algoritmo que, dadas dos palabras u , v , decida si u y v describen el mismo elemento en el grupo. Esto fue demostrado por Pyotr Novikov en 1955 ^[5] y una prueba diferente fue obtenida por William Boone en 1958. ^[6]

Supongamos que G tiene presentación ⟨ S | R ⟩ y H tiene presentación ⟨ T | Q ⟩ siendo S y T disjuntos. Entonces

• el producto libre G ∗ H tiene presentación ⟨ S , T | R , Q ⟩ y
• El producto directo G × H tiene la presentación ⟨ S , T | R , Q , [ S , T ]⟩ , donde [ S , T ] significa que cada elemento de S conmuta con cada elemento de T (cf. conmutador ).

La deficiencia de una presentación finita ⟨ S | R ⟩ es simplemente | S | − | R | y la deficiencia de un grupo finitamente presentado G , denotado def( G ), es el máximo de la deficiencia sobre todas las presentaciones de G . La deficiencia de un grupo finito no es positiva. El multiplicador de Schur de un grupo finito G puede generarse mediante generadores −def( G ), y G es eficiente si se requiere este número. ^[7]

La representación de un grupo determina una geometría, en el sentido de la teoría geométrica de grupos : se tiene el grafo de Cayley , que tiene una métrica , llamada métrica de palabra . También se obtienen dos órdenes, el orden débil y el orden de Bruhat , y los diagramas de Hasse correspondientes . Un ejemplo importante se encuentra en los grupos de Coxeter .

Además, algunas propiedades de este gráfico (la geometría básica ) son intrínsecas, es decir, independientes de la elección de generadores.

• Transformación de Nielsen
• Presentación de un módulo
• Presentación de un monoide
• Notación del generador de conjuntos
• Transformación de Tietze

• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.― Esta útil referencia tiene tablas de presentaciones de todos los grupos finitos pequeños, los grupos de reflexión, etc.
• Johnson, DL (1997). Presentaciones de grupos (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58542-2.― Método de Schreier, método de Nielsen, presentaciones libres, subgrupos y extensiones HNN, teorema de Golod-Shafarevich , etc.
• Sims, Charles C. (1994). Computación con grupos finitamente presentados (1.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13507-8.― algoritmos fundamentales de la informática teórica, teoría de números computacionales y álgebra conmutativa computacional, etc.

• de Cornulier, Yves. "Presentación grupal". MundoMatemático .
• Grupos pequeños y sus presentaciones en GroupNames