Poder de dos

Dos elevado a una potencia entera

Una potencia de dos es un número de la forma $2 n$ donde $n$ es un entero , es decir, el resultado de la exponenciación con el número dos como base y el entero $n$ como exponente .

Las potencias de dos con exponentes no negativos son números enteros: $20 = 1$ , $21 = 2$ y $2 n$ es dos multiplicado por sí mismo $n$ veces. ^[1]^[2] Las primeras diez potencias de 2 para valores no negativos de $n$ son:

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , ... (secuencia A000079 en la OEIS )

En comparación, las potencias de dos con exponentes negativos son fracciones : para un entero negativo $n$ , $2 n$ es la mitad multiplicada por sí misma $n$ veces. Por lo tanto, las primeras potencias de dos donde $n$ es negativo son ⁠1/2⁠ , ⁠1/4⁠ , ⁠1/8⁠ , ⁠1/16⁠ , etc. A veces se les llama potencias inversas de dos porque cada una es el inverso multiplicativo de una potencia positiva de dos.

Base del sistema de numeración binario

Como dos es la base del sistema de numeración binario , las potencias de dos son comunes en informática . Escritas en binario, una potencia de dos siempre tiene la forma 100...000 o 0,00...001, al igual que una potencia de 10 en el sistema decimal .

Ciencias de la Computación

Dos elevado al exponente de $n$ , escrito como $2 n$ , es el número de formas en que se pueden organizar los bits de una palabra binaria de longitud $n . Una palabra, interpretada como un$ entero sin signo , puede representar valores desde 0 ( $000...000 2$ ) hasta $2 n - 1$ ( $111...111 2$ ) inclusive. Los valores enteros con signo correspondientes pueden ser positivos, negativos y cero; consulte representaciones de números con signo . De cualquier manera, uno menos una potencia de dos es a menudo el límite superior de un entero en computadoras binarias. Como consecuencia, los números de esta forma aparecen con frecuencia en el software de computadora. Como ejemplo, un videojuego que se ejecuta en un sistema de 8 bits puede limitar la puntuación o la cantidad de elementos que el jugador puede almacenar a 255, el resultado de usar un byte , que tiene una longitud de 8 bits , para almacenar el número, lo que da un valor máximo de $28 - 1 = 255$ . Por ejemplo, en el Legend of Zelda original , el personaje principal estaba limitado a llevar 255 rupias (la moneda del juego) en cualquier momento, y el videojuego Pac-Man es famoso por tener una pantalla de muerte en el nivel 256.

Las potencias de dos se utilizan a menudo para medir la memoria de la computadora. Un byte ahora se considera ocho bits (un octeto ), lo que resulta en la posibilidad de 256 valores (2 ⁸ ). (El término byte alguna vez significó (y en algunos casos, todavía significa) una colección de bits , típicamente de 5 a 32 bits, en lugar de solo una unidad de 8 bits). El prefijo kilo , junto con byte , puede usarse, y tradicionalmente se ha usado, para significar 1,024 (2 ¹⁰ ). Sin embargo, en general, el término kilo se ha usado en el Sistema Internacional de Unidades para significar 1,000 (10 ³ ). Los prefijos binarios se han estandarizado, como kibi (Ki) que significa 1,024. Casi todos los registros de procesador tienen tamaños que son potencias de dos, siendo 32 o 64 muy comunes.

Las potencias de dos también se dan en otros lugares. En muchas unidades de disco , al menos uno de los siguientes parámetros: tamaño de sector, número de sectores por pista y número de pistas por superficie es una potencia de dos. El tamaño de bloque lógico es casi siempre una potencia de dos.

Los números que no son potencias de dos aparecen en diversas situaciones, como en las resoluciones de vídeo, pero suelen ser la suma o el producto de solo dos o tres potencias de dos, o potencias de dos menos uno. Por ejemplo, $640 = 32 \times 20$ y $480 = 32 \times 15.$ Dicho de otro modo, tienen patrones de bits bastante regulares.

Primos de Mersenne y Fermat

Un número primo que es uno menos que una potencia de dos se llama primo de Mersenne . Por ejemplo, el número primo 31 es un primo de Mersenne porque es 1 menos que 32 (2 ⁵ ). De manera similar, un número primo (como 257 ) que es uno más que una potencia positiva de dos se llama primo de Fermat —el exponente en sí es una potencia de dos. Una fracción que tiene una potencia de dos como denominador se llama racional diádico . Los números que se pueden representar como sumas de números enteros positivos consecutivos se llaman números corteses ; son exactamente los números que no son potencias de dos.

De EuclidesElementos, Libro IX

La progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (o, en el sistema de numeración binario , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...) es importante en la teoría de números . El Libro IX, Proposición 36 de Elementos demuestra que si la suma de los primeros $n$ términos de esta progresión es un número primo (y por lo tanto es un primo de Mersenne como se mencionó anteriormente), entonces esta suma por el $n-$ ésimo término es un número perfecto . Por ejemplo, la suma de los primeros 5 términos de la serie 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, que es un número primo. La suma 31 multiplicada por 16 (el quinto término de la serie) es igual a 496, que es un número perfecto.

El Libro IX, Proposición 35, prueba que en una serie geométrica, si se resta el primer término del segundo y último término de la secuencia, entonces, como el exceso del segundo es al primero, así también es el exceso del último a todos los anteriores. (Esta es una reformulación de nuestra fórmula para series geométricas de arriba.) Aplicando esto a la progresión geométrica 31, 62, 124, 248, 496 (que resulta de 1, 2, 4, 8, 16 al multiplicar todos los términos por 31), vemos que 62 menos 31 es a 31 como 496 menos 31 es a la suma de 31, 62, 124, 248. Por lo tanto, los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248 suman 496 y además estos son todos los números que dividen a 496. Supongamos que $p$ divide a 496 y no está entre estos números. Supongamos que $p q$ es igual a $16 \times 31$ , o 31 es a $q$ como $p$ es a 16. Ahora $p$ no puede dividir a 16 o estaría entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Por lo tanto, 31 no puede dividir $a q$ . Y como 31 no divide $a q$ y $q$ mide 496, el teorema fundamental de la aritmética implica que $q$ debe dividir a 16 y estar entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Sea $q$ 4, entonces $p$ debe ser 124, lo cual es imposible ya que por hipótesis $p$ no está entre los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 o 248.

Tabla de valores

(secuencia A000079 en la OEIS )


$norte$	$2 n$	$norte$	$2 n$	$norte$	$2 n$	$norte$	$2 n$
0	1	16	65.536	32	4.294.967.296	48	281.474.976.710.656
1	2	17	131.072	33	8.589.934.592	49	562.949.953.421.312
2	4	18	262.144	34	17.179.869.184	50	1.125.899.906.842.624
3	8	19	524.288	35	34.359.738.368	51	2.251.799.813.685.248
4	16	20	1.048.576	36	68.719.476.736	52	4.503.599.627.370.496
5	32	21	2.097.152	37	137.438.953.472	53	9.007.199.254.740.992
6	64	22	4.194.304	38	274.877.906.944	54	18.014.398.509.481.984
7	128	23	8.388.608	39	549.755.813.888	55	36.028.797.018.963.968
8	256	24	16.777.216	40	1.099.511.627.776	56	72.057.594.037.927.936
9	512	25	33.554.432	41	2.199.023.255.552	57	144.115.188.075.855.872
10	1.024	26	67.108.864	42	4.398.046.511.104	58	288.230.376.151.711.744
11	2.048	27	134.217.728	43	8.796.093.022.208	59	576.460.752.303.423.488
12	4.096	28	268.435.456	44	17.592.186.044.416	60	1.152.921.504.606.846.976
13	8,192	29	536.870.912	45	35.184.372.088.832	61	2.305.843.009.213.693.952
14	16.384	30	1.073.741.824	46	70.368.744.177.664	62	4.611.686.018.427.387.904
15	32.768	31	2.147.483.648	47	140.737.488.355.328	63	9.223.372.036.854.775.808

Últimos dígitos

A partir de 2, el último dígito es periódico con período 4, con el ciclo 2–4–8–6–, y a partir de 4, los dos últimos dígitos son periódicos con período 20. Estos patrones son generalmente ciertos para cualquier potencia, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene punto de partida $2 k$ , y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo $5 k$ , que es $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (véase Grupo multiplicativo de números enteros módulo n ). ^{[ cita requerida ]}

Potencias de 1024

(secuencia A140300 en la OEIS )

Las primeras potencias de 2 ¹⁰ son ligeramente mayores que las mismas potencias de 1000 (10 ³ ). Los valores de potencias de 2 ¹⁰ que tienen una desviación inferior al 25 % se enumeran a continuación:


2 ⁰	=	1	= 1000 ⁰	(0% de desviación)
2 ¹⁰	=	1 024	≈ 1000 ¹	(desviación del 2,4%)
2 ²⁰	=	1 048 576	≈ 1000 ²	(desviación del 4,9%)
2 ³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000 ³	(desviación del 7,4%)
2 ⁴⁰	=	1 099 511 627 776	≈ 1000 ⁴	(10,0% de desviación)
2 ⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000 ⁵	(12,6% de desviación)
2 ⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000 ⁶	(15,3% de desviación)
2 ⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000 ⁷	(18,1% de desviación)
2 ⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000 ⁸	(desviación del 20,9%)
2 ⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000 ⁹	(desviación del 23,8%)
2 ¹⁰⁰	=	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000 ¹⁰	(desviación del 26,8%)

Se necesitan aproximadamente 17 potencias de 1024 para alcanzar el 50% de desviación y aproximadamente 29 potencias de 1024 para alcanzar el 100% de desviación de las mismas potencias de 1000. ^[3] Véase también Prefijos binarios e IEEE 1541-2002 .

Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos

Dado que los datos (en concreto, los números enteros) y las direcciones de los datos se almacenan utilizando el mismo hardware, y los datos se almacenan en uno o más octetos ( $23$ ), las exponenciales dobles de dos son comunes. Las primeras 20 son:


$norte$	$2 n$	$2 2 n$ (secuencia A001146 en la OEIS )	dígitos
0	1	2	1
1	2	4	1
2	4	16	2
3	8	256	3
4	16	65.536	5
5	32	4.294.967.296	10
6	64	18, 446, 744, 073, 709, 551, 616	20
7	128	340, 282, 366, 920, 938 , 463, 463, 374, 607, 431, 768, 211, 456	39
8	256	115, 792, 089, 237, 316, 195, 423, 570, 9...4, 039, 457, 584, 007, 913, 129, 639 , 936	78
9	512	13, 407, 807, 929 , 942 , 597, 099 , 574, 02...1, 946, 569, 946, 433, 649, 006, 084 , 096	155
10	1.024	179, 769, 313, 486, 231, 590, 772, 930, 5...6, 304, 835, 356, 329, 624, 224, 137 , 216	309
11	2.048	32, 317, 006, 071 , 311 , 007, 300, 714, 87...8, 193, 555, 853, 611, 059, 596, 230 , 656	617
12	4.096	1, 044, 388, 881, 413, 152 , 506, 691, 752, ...0, 243, 804, 708, 340, 403, 154, 190, 336	1.234
13	8,192	1, 090, 748, 135, 619, 415 , 929, 462, 984, ...1, 997, 186, 505, 665, 475, 715, 792, 896	2.467
14	16.384	1, 189, 731, 495 , 357 , 231 , 765 , 085, 759, ...2, 460, 447, 027, 290, 669, 964, 066, 816	4.933
15	32.768	1, 415, 461, 031, 044 , 954, 789, 001, 553, ...7, 541, 122, 668, 104, 633, 712, 377, 856	9,865
16	65.536	2, 003, 529, 930, 406 , 846 , 464 , 979, 072, ...2, 339, 445, 587, 895, 905, 719, 156, 736	19.729
17	131.072	4, 014, 132, 182, 036 , 063, 039, 166, 060, ...1, 850, 665, 812, 318, 570, 934, 173, 696	39.457
18	262.144	16, 113, 257 , 174 , 857, 604, 736 , 195, 72...0, 753, 862, 605, 349, 934, 298, 300 , 416	78.914
19	524.288	259, 637, 056, 783, 100, 077, 612 , 659, 6...1, 369, 814, 364, 528, 226, 185, 773 , 056	157.827

Véase también número de Fermat , tetración e hiperoperaciones inferiores .

Últimos dígitos para potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos

Todos estos números mayores de 4 terminan con el dígito 6. A partir de 16, los dos últimos dígitos son periódicos con período 4, con el ciclo 16–56–36–96–, y a partir de 16, los tres últimos dígitos son periódicos con período 20. Estos patrones son generalmente ciertos para cualquier potencia, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene punto de partida $2 k$ , y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo $5 k$ , que es $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (véase Grupo multiplicativo de números enteros módulo n ). ^{[ cita requerida ]}

Datos sobre potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos

En relación con los números , estos números a menudo se denominan 2-potencias de Fermat .

Los números forman una secuencia de irracionalidad : para cada secuencia de números enteros positivos , la serie $2^{2^{n}}$ $Estilo de visualización x_{i}}$

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

converge a un número irracional . A pesar del rápido crecimiento de esta secuencia, es la secuencia de irracionalidad de crecimiento más lento conocida. ^[4]

Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos en informática

Dado que es común que los tipos de datos de la computadora tengan un tamaño que sea una potencia de dos, estos números cuentan la cantidad de valores representables de ese tipo. Por ejemplo, una palabra de 32 bits que consta de 4 bytes puede representar $232$ valores distintos, que pueden considerarse como simples patrones de bits o se interpretan más comúnmente como los números sin signo de 0 a $232 - 1$ , o como el rango de números con signo entre $-2 31$ y $231 - 1$ . Para obtener más información sobre la representación de números con signo, consulte complemento a dos .

Potencias seleccionadas de dos

2 ² = 4: Número que es el cuadrado de dos. También la primera potencia de dos tetración de dos.
2 ⁸ = 256: La cantidad de valores representados por los 8 bits de un byte , más específicamente denominado octeto . (El término byte se define a menudo como una colección de bits en lugar de la definición estricta de una cantidad de 8 bits, como lo demuestra el término kilobyte ).
2 ¹⁰ = 1,024: La aproximación binaria del kilo- , o multiplicador de 1.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo: 1.024 bytes = 1 kilobyte (o kibibyte ).
2 ¹² = 4,096: El tamaño de la página de hardware de un procesador compatible con Intel x86 .
2 ¹⁵ = 32.768: El número de valores no negativos para un entero con signo de 16 bits.
2 ¹⁶ = 65,536

El número de valores distintos que se pueden representar en una sola palabra en un procesador de 16 bits , como los procesadores x86 originales. ^[5]; El rango máximo de una variable entera corta en los lenguajes de programación C# , Java y SQL . El rango máximo de una variable Word o Smallint en el lenguaje de programación Pascal .; El número de relaciones binarias en un conjunto de 4 elementos.
2 ²⁰ = 1.048.576: La aproximación binaria del megabyte , o multiplicador de 1.000.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo: 1.048.576 bytes = 1 megabyte (o mebibyte ).
2 ²⁴ = 16.777.216: La cantidad de colores únicos que se pueden mostrar en color verdadero , que es el que utilizan los monitores de computadora comunes .; Este número es el resultado de utilizar el sistema RGB de tres canales , donde los colores se definen por tres valores (rojo, verde y azul) independientemente que van desde 0 ( 00) hasta 255 ( FF) inclusive. Esto da 8 bits para cada canal, o 24 bits en total; por ejemplo, el negro puro es #000000, el blanco puro es #FFFFFF. El espacio de todos los colores posibles, 16.777.216, puede determinarse por 16 ⁶ (6 dígitos con 16 valores posibles para cada uno), 256 ³ (3 canales con 256 valores posibles para cada uno), o 2 ²⁴ (24 bits con 2 valores posibles para cada uno).; El tamaño del entero o dirección sin signo más grande en computadoras con registros o buses de datos de 24 bits .
2 ³⁰ = 1.073.741.824: La aproximación binaria del multiplicador giga- , o 1.000.000.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo, 1.073.741.824 bytes = 1 gigabyte (o gibibyte ).
2 ³¹ = 2.147.483.648

Número de valores no negativos de un entero con signo de 32 bits. Dado que el tiempo Unix se mide en segundos desde el 1 de enero de 1970, se agotará en 2.147.483.647 segundos o 03:14:07 UTC el martes 19 de enero de 2038 en computadoras de 32 bits que ejecuten Unix, un problema conocido como el problema del año 2038 .
2 ³² = 4.294.967.296

El número de valores distintos que se pueden representar en una sola palabra en un procesador de 32 bits . ^[6] O bien, el número de valores que se pueden representar en una palabra doble en un procesador de 16 bits , como los procesadores x86 originales . ^[5]; El rango de una intvariable en los lenguajes de programación Java , C# y SQL .; El rango de una Cardinalo Integervarias variables en el lenguaje de programación Pascal .; El rango mínimo de una variable entera larga en los lenguajes de programación C y C++ .; Número total de direcciones IP con IPv4 . Aunque parece una cifra elevada, se ha agotado el número de direcciones IPv4 de 32 bits disponibles (pero no el de direcciones IPv6 ).; El número de operaciones binarias con dominio igual a cualquier conjunto de 4 elementos, como GF (4).
2 ⁴⁰ = 1.099.511.627.776: La aproximación binaria del tera- , o multiplicador 1.000.000.000.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo, 1.099.511.627.776 bytes = 1 terabyte o tebibyte.
2 ⁵⁰ = 1.125.899.906.842.624: La aproximación binaria del peta- , o multiplicador 1.000.000.000.000.000. 1.125.899.906.842.624 bytes = 1 petabyte o pebibyte.
2 ⁵³ = 9.007.199.254.740.992: Número hasta el cual se pueden representar con exactitud todos los valores enteros en formato de punto flotante de doble precisión IEEE . También es la primera potencia de 2 que comienza con el dígito 9 en decimal.
2 ⁵⁶ = 72.057.594.037.927.936: El número de claves posibles diferentes en el cifrado simétrico DES de 56 bits obsoleto .
2 ⁶⁰ = 1.152.921.504.606.846.976: La aproximación binaria del multiplicador exa- , o 1.000.000.000.000.000.000. 1.152.921.504.606.846.976 bytes = 1 exabyte o exbibyte.
2 ⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808: El número de valores no negativos para un entero con signo de 64 bits.; 2 ⁶³ − 1, un valor máximo común (equivalente al número de valores positivos) para un entero con signo de 64 bits en lenguajes de programación.
2 ⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616: Número de valores distintos que se pueden representar en una sola palabra en un procesador de 64 bits . O bien, el número de valores que se pueden representar en una palabra doble en un procesador de 32 bits . O bien, el número de valores que se pueden representar en una palabra cuádruple en un procesador de 16 bits , como los procesadores x86 originales. ^[5]; El rango de una variable larga en los lenguajes de programación Java y C# .; El rango de una variable Int64 o QWord en el lenguaje de programación Pascal .; El número total de direcciones IPv6 generalmente asignadas a una sola LAN o subred.; 2 ⁶⁴ − 1, el número de granos de arroz en un tablero de ajedrez, según la antigua historia , donde el primer cuadrado contiene un grano de arroz y cada cuadrado siguiente el doble que el cuadrado anterior. Por esta razón, el número a veces se conoce como el "número de ajedrez".; 2 ⁶⁴ − 1 es también el número de movimientos necesarios para completar la legendaria versión de 64 discos de la Torre de Hanoi .
2 ⁶⁸ = 295.147.905.179.352.825.856: La primera potencia de 2 que contiene todos los dígitos decimales. (secuencia A137214 en la OEIS )
2 ⁷⁰ = 1.180.591.620.717.411.303.424: La aproximación binaria del multiplicador zetta- , o 1.000.000.000.000.000.000.000. 1.180.591.620.717.411.303.424 bytes = 1 zettabyte (o zebibyte ).
2 ⁸⁰ = 1.208.925.819.614.629.174.706.176: La aproximación binaria del yotta- , o multiplicador 1.000.000.000.000.000.000.000.000. 1.208.925.819.614.629.174.706.176 bytes = 1 yottabyte (o yobibyte ).
2 ⁸⁶ = 77.371.252.455.336.267.181.195.264: Se conjetura que 2 ⁸⁶ es la mayor potencia de dos que no contiene un cero en decimal. ^[7]
2 ⁹⁶ = 79.228.162.514.264.337.593.543.950.336: El número total de direcciones IPv6 que generalmente se asignan a un registro local de Internet . En la notación CIDR , a los ISP se les asigna un / 32 , lo que significa que hay 128-32=96 bits disponibles para las direcciones (a diferencia de la designación de red). Por lo tanto, 2 ⁹⁶ direcciones.
2 ¹⁰⁸ = 324, 518, 553, 658, 426 , 726, 783, 156, 020, 576, 256: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene un 9 en decimal. (secuencia A035064 en la OEIS )
2 ¹²⁶ = 85, 070, 591, 730, 234, 615 , 865, 843 , 651, 857, 942, 052, 864: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene un par de dígitos iguales consecutivos. (secuencia A050723 en la OEIS )
2 ¹²⁸ = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.456: Número total de direcciones IP disponibles en IPv6 . También el número de identificadores universalmente únicos (UUID) distintos .
2 ¹⁶⁸ = 374.144.419.156.711.147.060.143.317.175.368.453.031.918.731.001.856: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene todos los dígitos decimales (en este caso, falta el dígito 2). (secuencia A137214 en la OEIS )
2 ¹⁹² = 6.277.101.735.386.680.763.835.789.423.207.666.416.102.355.444.464.034.512.896: El número total de claves posibles diferentes en el espacio de clave AES de 192 bits (cifrado simétrico).
2 ²²⁹ = 862.718.293.348.820.473.429.344.482.784.628.181.556.388.621.521.298.319.395.315.527.974.912: 2 ²²⁹ es la mayor potencia de dos conocida que contiene la menor cantidad de ceros en relación con su potencia. Metin Sariyar conjetura que cada dígito del 0 al 9 tiende a aparecer un número igual de veces en la expansión decimal de la potencia de dos a medida que la potencia aumenta. (secuencia A330024 en la OEIS )
2 ²⁵⁶ = 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.936: El número total de diferentes claves posibles en el espacio de clave AES de 256 bits (cifrado simétrico).
2 ^1,024 ≈ 1,79 × 10³⁰⁸: El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de doble precisión IEEE de 64 bits (de ahí el número máximo que pueden representar muchos programas, por ejemplo Microsoft Excel ).
2 ^16.384 ≈ 1,19 × 10 ^4.932: El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de precisión cuádruple IEEE de 128 bits
2 ^{262 144} ≈ 1,61 × 10 ^{78 913}: El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de precisión óctuple IEEE de 256 bits
2 ^82.589.933 ≈ 1,49 × 10 ^24.862.047: Uno más que el mayor número primo conocido a junio de 2023. ^[actualizar][ ^8]

Potencias de dos en la teoría musical

En notación musical , todos los valores de nota no modificados tienen una duración igual a una nota entera dividida por una potencia de dos; por ejemplo, una blanca (1/2), una negra (1/4), una corchea (1/8) y una semicorchea (1/16). Las notas con puntillo o modificadas de otro modo tienen otras duraciones. En los compases, el numeral inferior, la unidad de pulso , que puede verse como el denominador de una fracción, es casi siempre una potencia de dos.

Si la relación de frecuencias de dos tonos es una potencia de dos, entonces el intervalo entre esos tonos es de octavas completas . En este caso, las notas correspondientes tienen el mismo nombre.

La coincidencia matemática , de , relaciona estrechamente el intervalo de 7 semitonos en temperamento igual con una quinta perfecta de entonación justa : , correcta hasta aproximadamente el 0,1%. La quinta justa es la base de la afinación pitagórica ; la diferencia entre doce quintas justas y siete octavas es la coma pitagórica . ^[9] $2^{7}\aprox ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1,5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\aproximadamente 3/2$

Otras propiedades

La suma de todos los coeficientes binomiales $de n$ -elección es igual a $2$ $n$ . Considere el conjunto de todos los números enteros binarios de $n dígitos. Su$ cardinalidad es $2$ $n$ . También es la suma de las cardinalidades de ciertos subconjuntos: el subconjunto de números enteros sin 1 (que consiste en un solo número, escrito como $n$ 0), el subconjunto con un solo 1, el subconjunto con dos 1, y así sucesivamente hasta el subconjunto con $n$ 1 (que consiste en el número escrito como $n$ 1). Cada uno de estos es a su vez igual al coeficiente binomial indexado por $n$ y el número de 1 que se está considerando (por ejemplo, hay 10-elige-3 números binarios con diez dígitos que incluyen exactamente tres 1).

Actualmente, las potencias de dos son los únicos números casi perfectos conocidos .

La cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto $a$ es siempre $2 | a |$ , donde $| a |$ es la cardinalidad de $a$ .

El número de vértices de un hipercubo $n$ -dimensional es $2$ $n$ . De manera similar, el número de $($ $n$ $- 1)$ caras de un politopo cruzado $n$ -dimensional también es $2$ $n$ y la fórmula para el número de $x$ caras que tiene un politopo cruzado $n$ -dimensional es $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

La suma de las primeras potencias de dos (empezando por ) está dada por, ${\estilo de visualización n}$ $1=2^{0}$

\suma _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1

por ser cualquier entero positivo. ${\estilo de visualización n}$

Así pues, la suma de los poderes

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

se puede calcular simplemente evaluando: (que es el "número de ajedrez"). ${\estilo de visualización 2^{64}-1}$

La suma de los recíprocos de las potencias de dos es 1. La suma de los recíprocos de las potencias de dos al cuadrado (potencias de cuatro) es 1/3.

La potencia natural más pequeña de dos cuya representación decimal comienza con 7 es ^[10]

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

Cada potencia de 2 (excepto 1) se puede escribir como la suma de cuatro números cuadrados de 24 maneras . Las potencias de 2 son los números naturales mayores que 1 que se pueden escribir como la suma de cuatro números cuadrados de la menor cantidad de maneras.

Como polinomio real , a ⁿ + b ⁿ es irreducible , si y solo si n es una potencia de dos. (Si n es impar, entonces a ⁿ + b ⁿ es divisible por a + b , y si n es par pero no una potencia de 2, entonces n puede escribirse como n = mp , donde m es impar y, por tanto , , que es divisible por a ^p + b ^p ). Pero en el dominio de los números complejos , el polinomio (donde n >=1) siempre puede factorizarse como , incluso si n es una potencia de dos. $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $Estilo de visualización a^{2n}+b^{2n}}$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$

Las únicas potencias de 2 conocidas con todos los dígitos pares son 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^6 = 64 y 2^11 = 2048. ^[11] Las primeras 3 potencias de 2 con todos los dígitos impares excepto el último son 2^4 = 16, 2^5 = 32 y 2^9 = 512. La siguiente potencia de 2 de la forma 2^n debe tener n de al menos 6 dígitos. Las únicas potencias de 2 con todos los dígitos distintos son 2^0 = 1 a 2^15 = 32768, 2^20 = 1048576 y 2^29 = 536870912.

Potencias negativas de dos

Los códigos de Huffman ofrecen una compresión de datos óptima sin pérdidas cuando las probabilidades de los símbolos de origen son todas potencias negativas de dos. ^[12]

Véase también

Referencias

^ Lipschutz, Seymour (1982). Esquema de teoría y problemas de matemáticas informáticas esenciales de Schaum . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 3. ISBN 0-07-037990-4.
^ Sewell, Michael J. (1997). Clases magistrales de matemáticas. Oxford: Oxford University Press. pág. 78. ISBN 0-19-851494-8.
^ $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$
^ Guy, Richard K. (2004), "E24 Secuencias de irracionalidad", Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.), Springer-Verlag , pág. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, archivado desde el original el 28 de abril de 2016
^ abc Aunque varían en tamaño de palabra, todos los procesadores x86 usan el término "palabra" para referirse a 16 bits; por lo tanto, un procesador x86 de 32 bits se refiere a su tamaño de palabra nativo como dword.
^ "Tabla de potencias de 2 - - - - - - Resúmenes de Vaughn". www.vaughns-1-pagers.com . Archivado desde el original el 12 de agosto de 2015.
^ Weisstein, Eric W. "Zero". De MathWorld--A Wolfram Web Resource. "Zero". Archivado desde el original el 2013-06-01 . Consultado el 2013-05-29 .
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^ Manfred Robert Schroeder (2008). Teoría de números en la ciencia y la comunicación (2.ª ed.). Springer. pp. 26-28. ISBN 978-3-540-85297-1.
^ Paweł Strzelecki (1994). "O potęgach dwójki (Sobre potencias de dos)" (en polaco). Delta. Archivado desde el original el 9 de mayo de 2016.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A068994 (Potencias de 2 con todos los dígitos pares)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
^ Codificación de Huffman, de: Fundamental Data Compression , 2006

[1] Lipschutz, Seymour (1982). Esquema de teoría y problemas de matemáticas informáticas esenciales de Schaum . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 3. ISBN 0-07-037990-4.

[2] Sewell, Michael J. (1997). Clases magistrales de matemáticas. Oxford: Oxford University Press. pág. 78. ISBN 0-19-851494-8.

[3] $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$

[4] Guy, Richard K. (2004), "E24 Secuencias de irracionalidad", Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.), Springer-Verlag , pág. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, archivado desde el original el 28 de abril de 2016

[iword-5] Aunque varían en tamaño de palabra, todos los procesadores x86 usan el término "palabra" para referirse a 16 bits; por lo tanto, un procesador x86 de 32 bits se refiere a su tamaño de palabra nativo como dword.

[6] "Tabla de potencias de 2 - - - - - - Resúmenes de Vaughn". www.vaughns-1-pagers.com . Archivado desde el original el 12 de agosto de 2015.

[7] Weisstein, Eric W. "Zero". De MathWorld--A Wolfram Web Resource. "Zero". Archivado desde el original el 2013-06-01 . Consultado el 2013-05-29 .

[8] "Descubrimiento de Mersenne Prime: ¡2^82589933-1 es primo!". www.mersenne.org .

[schroeder-9] Manfred Robert Schroeder (2008). Teoría de números en la ciencia y la comunicación (2.ª ed.). Springer. pp. 26-28. ISBN 978-3-540-85297-1.

[o_potegach_dwojki-10] Paweł Strzelecki (1994). "O potęgach dwójki (Sobre potencias de dos)" (en polaco). Delta. Archivado desde el original el 9 de mayo de 2016.

[11] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A068994 (Potencias de 2 con todos los dígitos pares)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

[12] Codificación de Huffman, de: Fundamental Data Compression , 2006