Hiperoperación

En matemáticas , la secuencia de hiperoperaciones ^{[nb 1]} es una secuencia infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones en este contexto) ^{[1] [11] [13]} que comienza con una operación unaria (la función sucesora con n = 0). La secuencia continúa con las operaciones binarias de adición ( n = 1), multiplicación ( n = 2) y exponenciación ( n = 3).

Después de eso, la secuencia procede con otras operaciones binarias que se extienden más allá de la exponenciación, utilizando la asociatividad por la derecha . Para las operaciones más allá de la exponenciación, el n- ésimo miembro de esta secuencia es nombrado por Reuben Goodstein después del prefijo griego n con el sufijo -ación (como tetración ( n = 4), pentación ( n = 5), hexación ( n = 6), etc.) ^[5] y puede escribirse utilizando n − 2 flechas en la notación de flecha hacia arriba de Knuth . Cada hiperoperación puede entenderse recursivamente en términos de la anterior por:

${\displaystyle a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots [n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copias de }}a},\quad n\geq 2}$

También puede definirse de acuerdo con la parte de la regla de recursión de la definición, como en la versión de flecha hacia arriba de Knuth de la función de Ackermann :

${\displaystyle a[n]b=a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right),\quad n\geq 1}$

Esto se puede utilizar para mostrar fácilmente números mucho más grandes que los que la notación científica puede mostrar, como el número de Skewes y el googolplexplex (por ejemplo, es mucho más grande que el número de Skewes y el googolplexplex), pero hay algunos números que ni siquiera ellos pueden mostrar fácilmente, como el número de Graham y TREE(3) . ^[14]${\displaystyle 50[50]50}$

Esta regla de recursión es común a muchas variantes de hiperoperaciones.

La secuencia de hiperoperaciones es la secuencia de operaciones binarias , definida recursivamente de la siguiente manera:${\displaystyle H_{n}(a,b)\colon (\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle H_{n}\colon (\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1{\text{ and }}b=0\\0&{\text{if }}n=2{\text{ and }}b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3{\text{ and }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

(Tenga en cuenta que para n = 0, la operación binaria se reduce esencialmente a una operación unaria ( función sucesora ) al ignorar el primer argumento).

Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce las operaciones aritméticas básicas de sucesor (que es una operación unaria), suma , multiplicación y exponenciación , respectivamente, como

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=1+b,\\H_{1}(a,b)&=a+b,\\H_{2}(a,b)&=a\times b,\\H_{3}(a,b)&=a\uparrow {b}=a^{b}.\end{aligned}}}$

Las operaciones para n ≥ 3 se pueden escribir en la notación de flecha hacia arriba de Knuth .${\displaystyle H_{n}}$

Entonces, ¿cuál será la siguiente operación después de la exponenciación? Definimos la multiplicación de modo que y definimos la exponenciación de modo que, por lo que parece lógico definir la siguiente operación, la tetración, de modo que con una torre de tres "a". Análogamente, la pentación de (a, 3) será tetración(a, tetración(a, a)), con tres "a" en ella.${\displaystyle H_{2}(a,3)=a[2]3=a\times 3=a+a+a,}$${\displaystyle H_{3}(a,3)=a[3]3=a\uparrow 3=a^{3}=a\times a\times a,}$${\displaystyle H_{4}(a,3)=a[4]3=a\uparrow \uparrow 3=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow \uparrow {b},\\H_{5}(a,b)&=a\uparrow \uparrow \uparrow {b},\\\ldots &\\H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 3,\\\ldots &\\\end{aligned}}}$

La notación de Knuth podría extenderse a índices negativos ≥ −2 de tal manera que concuerde con toda la secuencia de hiperoperaciones, excepto por el desfase en la indexación:

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.}$

Las hiperoperaciones pueden verse así como una respuesta a la pregunta "¿qué sigue?" en la secuencia : sucesor , adición , multiplicación , exponenciación , etc.

${\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=1+(a+(b-1))\\a\cdot b&=a+(a\cdot (b-1))\\a^{b}&=a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)\\a[4]b&=a^{a[4](b-1)}\end{aligned}}}$

Se ilustra la relación entre las operaciones aritméticas básicas, lo que permite definir las operaciones superiores de forma natural como se indicó anteriormente. A veces se hace referencia a los parámetros de la jerarquía de hiperoperaciones mediante su término de exponenciación análogo; ^[15] por lo que a es la base , b es el exponente (o hiperexponente ), ^[12] y n es el rango (o grado ), ^[6] y además, se lee como "la b ésima n -ación de a ", por ejemplo, se lee como "la 9.ª tetración de 7", y se lee como "la 789.ª 123-ación de 456".${\displaystyle H_{n}(a,b)}$${\displaystyle H_{4}(7,9)}$${\displaystyle H_{123}(456,789)}$

En términos comunes, las hiperoperaciones son formas de componer números que aumentan en crecimiento en función de la iteración de la hiperoperación anterior. Los conceptos de sucesor, adición, multiplicación y exponenciación son todos hiperoperaciones; la operación sucesora (producir x + 1 a partir de x ) es la más primitiva, el operador de adición especifica el número de veces que se debe sumar 1 a sí mismo para producir un valor final, la multiplicación especifica el número de veces que se debe sumar un número a sí mismo y la exponenciación se refiere al número de veces que se debe multiplicar un número por sí mismo.

Definir la iteración de una función f de dos variables como

${\displaystyle f^{x}(a,b)={\begin{cases}f(a,b)&{\text{if }}x=1\\f(a,f^{x-1}(a,b))&{\text{if }}x>1\end{cases}}}$

La secuencia de hiperoperaciones se puede definir en términos de iteración, de la siguiente manera. Para todos los números enteros, defina${\displaystyle x,n,a,b\geq 0,}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}H_{0}(a,b)&=&b+1\\H_{1}(a,0)&=&a\\H_{2}(a,0)&=&0\\H_{n+3}(a,0)&=&1\\H_{n+1}(a,b+1)&=&H_{n}^{b+1}(a,H_{n+1}(a,0))\\H_{n}^{x+2}(a,b)&=&H_{n}(a,H_{n}^{x+1}(a,b))\end{array}}}$

Como la iteración es asociativa , la última línea se puede reemplazar por

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}H_{n}^{x+2}(a,b)&=&H_{n}^{x+1}(a,H_{n}(a,b))\end{array}}}$

Las definiciones de la secuencia de hiperoperación pueden transponerse naturalmente a sistemas de reescritura de términos (TRS) .

La definición básica de la secuencia de hiperoperaciones se corresponde con las reglas de reducción

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r1)}}&H(0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r2)}}&H(S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&H(S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&H(S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r5)}}&H(S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(n,a,H(S(n),a,b))\end{array}}}$

Para el cálculo se puede utilizar una pila , que inicialmente contiene los elementos .${\displaystyle H_{n}(a,b)}$${\displaystyle \langle n,a,b\rangle }$

Luego, repetidamente hasta que ya no sea posible, se extraen tres elementos y se reemplazan de acuerdo con las reglas ^{[nb 2]}

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r1)}}&0&,&a&,&b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r2)}}&1&,&a&,&0&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&2&,&a&,&0&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&(n+3)&,&a&,&0&\rightarrow &1\\{\text{(r5)}}&(n+1)&,&a&,&(b+1)&\rightarrow &n&,&a&,&(n+1)&,&a&,&b\end{array}}}$

Esquemáticamente, partiendo de :${\displaystyle \langle n,a,b\rangle }$

MIENTRAS longitud de pila <> 1{ POP 3 elementos; PUSH 1 o 5 elementos según las reglas r1, r2, r3, r4, r5;}

Ejemplo

Calcular . ^[16]${\displaystyle H_{2}(2,2)\rightarrow _{*}4}$

La secuencia de reducción es ^{[nb 2] [17]}

${\displaystyle {\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(S(0)))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(0))}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),0)}}))}$

${\displaystyle \rightarrow _{r3}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r2}{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(S(0)))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(0))}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}}))}$

${\displaystyle \rightarrow _{r2}H(0,S(S(0)),{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(0)))}})}$

${\displaystyle \rightarrow _{r1}{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(S(0))))}}}$

${\displaystyle \rightarrow _{r1}S(S(S(S(0))))}$

Cuando se implementa utilizando una pila, en la entrada${\displaystyle \langle 2,2,2\rangle }$

Las configuraciones de la pila	representar las ecuaciones
${\displaystyle {\underline {2,2,2}}}$	${\displaystyle H_{2}(2,2)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}1,2,{\underline {2,2,1}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{2}(2,1))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}1,2,1,2,{\underline {2,2,0}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{1}(2,H_{2}(2,0)))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r3}1,2,{\underline {1,2,0}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,H_{1}(2,0))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r2}{\underline {1,2,2}}}$	${\displaystyle =H_{1}(2,2)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}0,2,{\underline {1,2,1}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{1}(2,1))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r5}0,2,0,2,{\underline {1,2,0}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{0}(2,H_{1}(2,0)))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r2}0,2,{\underline {0,2,2}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,H_{0}(2,2))}$
${\displaystyle \rightarrow _{r1}{\underline {0,2,3}}}$	${\displaystyle =H_{0}(2,3)}$
${\displaystyle \rightarrow _{r1}4}$	${\displaystyle =4}$

La definición que utiliza iteración conduce a un conjunto diferente de reglas de reducción.

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r6)}}&H(S(0),0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r7)}}&H(S(0),S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&H(S(0),S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&H(S(0),S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r10)}}&H(S(0),S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(S(b),n,a,H(S(0),S(n),a,0))\\{\text{(r11)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(0),n,a,H(S(x),n,a,b))\end{array}}}$

Como la iteración es asociativa , en lugar de la regla r11 se puede definir

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(r12)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(x),n,a,H(S(0),n,a,b))\end{array}}}$

Al igual que en la sección anterior, el cálculo se puede implementar utilizando una pila.${\displaystyle H_{n}(a,b)=H_{n}^{1}(a,b)}$

Inicialmente la pila contiene los cuatro elementos .${\displaystyle \langle 1,n,a,b\rangle }$

Luego, hasta la terminación, se extraen cuatro elementos y se reemplazan de acuerdo con las reglas ^{[nb 2]}

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r6)}}&1&,0&,a&,b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r7)}}&1&,1&,a&,0&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&1&,2&,a&,0&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&1&,(n+3)&,a&,0&\rightarrow &1\\{\text{(r10)}}&1&,(n+1)&,a&,(b+1)&\rightarrow &(b+1)&,n&,a&,1&,(n+1)&,a&,0\\{\text{(r11)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &1&,n&,a&,(x+1)&,n&,a&,b\end{array}}}$

Esquemáticamente, partiendo de :${\displaystyle \langle 1,n,a,b\rangle }$

MIENTRAS longitud de pila <> 1{ POP 4 elementos; PUSH 1 o 7 elementos según las reglas r6, r7, r8, r9, r10, r11;}

Ejemplo

Calcular .${\displaystyle H_{3}(0,3)\rightarrow _{*}0}$

En la entrada, las configuraciones de pila sucesivas son${\displaystyle \langle 1,3,0,3\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,{\underline {2,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\\&\rightarrow _{r10}1,2,0,1,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0.\end{aligned}}}$

Las igualdades correspondientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}(0,H_{2}^{2}(0,1))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{2}(0,1))\\&=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0))))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,0)))=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0.\end{aligned}}}$

Cuando la regla de reducción r11 se reemplaza por la regla r12, la pila se transforma de acuerdo con

${\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}{\text{(r12)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &(x+1)&,n&,a&,1&,n&,a&,b\end{array}}}$

Las configuraciones de pila sucesivas serán entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r12}2,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\rightarrow _{r10}2,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\\&\rightarrow _{r8}2,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}{\underline {2,2,0,0}}\rightarrow _{r12}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0\end{aligned}}}$

Las igualdades correspondientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}^{2}(0,H_{2}(0,1))=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0)))\\&=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,0))=H_{2}^{2}(0,0)=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0\end{aligned}}}$

Observaciones

• ${\displaystyle H_{3}(0,3)=0}$es un caso especial. Véase más abajo. ^{[nb 3] [nb 4]}
• El cálculo de según las reglas {r6 - r10, r11} es muy recursivo. El culpable es el orden en el que se ejecuta la iteración: . La primera desaparece solo después de que se desarrolla toda la secuencia. Por ejemplo, converge a 65536 en 2863311767 pasos, la profundidad máxima de recursión ^[18] es 65534.${\displaystyle H_{n}(a,b)}$${\displaystyle H^{n}(a,b)=H(a,H^{n-1}(a,b))}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{4}(2,4)}$
• El cálculo según las reglas {r6 - r10, r12} es más eficiente en ese sentido. La implementación de la iteración como imita la ejecución repetida de un procedimiento H. ^[19] La profundidad de recursión, (n+1), coincide con la anidación de bucles. Meyer y Ritchie (1967) formalizaron esta correspondencia. El cálculo de acuerdo con las reglas {r6-r10, r12} también necesita 2863311767 pasos para converger en 65536, pero la profundidad máxima de recursión es solo 5, ya que la tetración es el quinto operador en la secuencia de hiperoperación.${\displaystyle H^{n}(a,b)}$${\displaystyle H^{n-1}(a,H(a,b))}$${\displaystyle H_{4}(2,4)}$
• Las consideraciones anteriores se refieren únicamente a la profundidad de recursión. Cualquiera de las dos formas de iteración conduce a la misma cantidad de pasos de reducción, que involucran las mismas reglas (cuando las reglas r11 y r12 se consideran "iguales"). Como muestra el ejemplo, la reducción de converge en 9 pasos: 1 X r7, 3 X r8, 1 X r9, 2 X r10, 2 X r11/r12. El modus iterandi solo afecta el orden en el que se aplican las reglas de reducción.${\displaystyle H_{3}(0,3)}$

A continuación se muestra una lista de las primeras siete hiperoperaciones (de la 0.ª a la 6.ª) ( 0⁰ se define como 1).

norte	Operación, H n ( a , b )	Definición	Nombres	Dominio
0	${\displaystyle 1+b}$o${\displaystyle a[0]b}$	${\displaystyle 1+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of 1}}}}$	Incremento, sucesor , cero, hiper0	Arbitrario
1	${\displaystyle a+b}$o${\displaystyle a[1]b}$	${\displaystyle a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of 1}}}}$	Adición , hiper1
2	${\displaystyle a\times {b}}$o${\displaystyle a[2]b}$	${\displaystyle \underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	Multiplicación , hiper2
3	${\displaystyle a^{b}}$o${\displaystyle a[3]b}$	${\displaystyle \underbrace {a\times a\times a\times \;\cdots \;\times a\times a\times a} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	Exponenciación , hiper3	b real, con algunas extensiones multivalor para números complejos
4	${\displaystyle ^{b}a}$o${\displaystyle a[4]b}$	${\displaystyle \underbrace {a[3](a[3](a[3](\cdots [3](a[3](a[3]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	Tetración , hiper4	a ≥ 0 o un entero, b un entero ≥ −1 [nb 5] (con algunas extensiones propuestas)
5	${\displaystyle _{b}a}$o${\displaystyle a[5]b}$	${\displaystyle \underbrace {a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	Pentación , hiper5	a , b enteros ≥ −1 [nb 5]
6	${\displaystyle a[6]b}$	${\displaystyle \underbrace {a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	Hexación, hiper6

H _n (0, b ) =

b + 1, cuando n = 0

b , cuando n = 1

0, cuando n = 2

1, cuando n = 3 y b = 0 ^{[nb 3] [nb 4]}

0, cuando n = 3 y b > 0 ^{[nb 3] [nb 4]}

1, cuando n > 3 y b es par (incluido 0)

0, cuando n > 3 y b es impar

H _n (1, b ) =

b , cuando n = 2

1, cuando n ≥ 3

H _n ( a , 0) =

0, cuando n = 2

1, cuando n = 0, o n ≥ 3

a , cuando n = 1

H _n ( a , 1) =

a, cuando n ≥ 2

H _n ( a , a ) =

H _n+1 ( a , 2), cuando n ≥ 1

H _n ( a , −1) = ^{[nb 5]}

0, cuando n = 0, o n ≥ 4

a − 1, cuando n = 1

− a , cuando n = 2

⁠1/a⁠ , cuando n = 3

H _n (2, 2) =

3, cuando n = 0

4, cuando n ≥ 1, fácilmente demostrable recursivamente.

Una de las primeras discusiones sobre hiperoperaciones fue la de Albert Bennett en 1914, quien desarrolló parte de la teoría de hiperoperaciones conmutativas (ver más abajo). ^[6] Unos 12 años después, Wilhelm Ackermann definió la función , que se parece un poco a la secuencia de hiperoperaciones. ^[20]${\displaystyle \phi (a,b,n)}$

En su artículo de 1947, ^[5] Reuben Goodstein introdujo la secuencia específica de operaciones que ahora se denominan hiperoperaciones , y también sugirió los nombres griegos tetración , pentación, etc., para las operaciones extendidas más allá de la exponenciación (porque corresponden a los índices 4, 5, etc.). Como función de tres argumentos, por ejemplo, , la secuencia de hiperoperaciones en su conjunto se considera una versión de la función Ackermann original ( recursiva pero no recursiva primitiva ) modificada por Goodstein para incorporar la función sucesora primitiva junto con las otras tres operaciones básicas de la aritmética ( suma , multiplicación , exponenciación ) y para hacer una extensión más fluida de estas más allá de la exponenciación.${\displaystyle G(n,a,b)=H_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$

La función Ackermann original de tres argumentos utiliza la misma regla de recursión que la versión de Goodstein (es decir, la secuencia de hiperoperaciones), pero difiere de ella en dos formas. Primero, define una secuencia de operaciones que comienzan con la suma ( n = 0) en lugar de la función sucesora , luego la multiplicación ( n = 1), la exponenciación ( n = 2), etc. En segundo lugar, las condiciones iniciales para dan como resultado , por lo que difieren de las hiperoperaciones más allá de la exponenciación. ^{[7] [21] [22]} La importancia de b + 1 en la expresión anterior es que = , donde b cuenta el número de operadores (exponenciaciones), en lugar de contar el número de operandos ("a") como lo hace b en , y así sucesivamente para las operaciones de nivel superior. (Consulte el artículo sobre la función Ackermann para obtener más detalles).${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (a,b,n)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (a,b,3)=G(4,a,b+1)=a[4](b+1)}$${\displaystyle \phi (a,b,3)}$${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$${\displaystyle a[4]b}$

Esta es una lista de notaciones que se han utilizado para hiperoperaciones.

Nombre	Notación equivalente a${\displaystyle H_{n}(a,b)}$	Comentario
Notación de flecha hacia arriba de Knuth	${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}$	Utilizado por Knuth [23] (para n ≥ 3), y encontrado en varios libros de referencia. [24] [25]
Notación de Hilbert	${\displaystyle \phi _{n}(a,b)}$	Utilizado por David Hilbert . [26]
Notación de Goodstein	${\displaystyle G(n,a,b)}$	Utilizado por Reuben Goodstein . [5]
Función original de Ackermann	${\displaystyle {\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ for }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ for }}n\geq 4\end{matrix}}}$	Utilizado por Wilhelm Ackermann (para n ≥ 1) [20]
Función de Ackermann-Péter	${\displaystyle A(n,b-3)+3\ {\text{for }}a=2}$	Esto corresponde a hiperoperaciones para base 2 ( a = 2)
Notación de Nambiar	${\displaystyle a\otimes ^{n-1}b}$	Utilizado por Nambiar (para n ≥ 1) [27]
Notación superíndice	${\displaystyle a{}^{(n)}b}$	Utilizado por Robert Munafo. [21]
Notación de subíndice (para hiperoperaciones inferiores)	${\displaystyle a{}_{(n)}b}$	Utilizado para hiperoperaciones inferiores por Robert Munafo. [21]
Notación del operador (para "operaciones extendidas")	${\displaystyle aO_{n-1}b}$	Utilizado para hiperoperaciones inferiores por John Doner y Alfred Tarski (para n ≥ 1). [28]
Notación de corchetes	${\displaystyle a[n]b}$	Se utiliza en muchos foros en línea; conveniente para ASCII .
Notación de flecha encadenada de Conway	${\displaystyle a\to b\to (n-2)}$	Utilizado por John Horton Conway (para n ≥ 3)

En 1928, Wilhelm Ackermann definió una función de 3 argumentos que evolucionó gradualmente hasta convertirse en una función de 2 argumentos conocida como función de Ackermann . La función de Ackermann original era menos similar a las hiperoperaciones modernas, porque sus condiciones iniciales comienzan con para todo n > 2. También asignó la suma a n = 0, la multiplicación a n = 1 y la exponenciación a n = 2, por lo que las condiciones iniciales producen operaciones muy diferentes para la tetración y más allá.${\displaystyle \phi (a,b,n)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (a,0,n)=a}$

norte	Operación	Comentario
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a\cdot b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a[4](b+1)}$	Una forma desplazada de tetración . La iteración de esta operación es diferente a la iteración de tetración.
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)}$	No debe confundirse con pentación .

Otra condición inicial que se ha utilizado es (donde la base es constante ), debido a Rózsa Péter , que no forma una jerarquía de hiperoperaciones.${\displaystyle A(0,b)=2b+1}$${\displaystyle a=2}$

En 1984, CW Clenshaw y FWJ Olver comenzaron la discusión sobre el uso de hiperoperaciones para prevenir desbordamientos de punto flotante en la computadora. ^[29] Desde entonces, muchos otros autores ^{[30] [31] [32]} han renovado el interés en la aplicación de hiperoperaciones a la representación de punto flotante . (Dado que H _n ( a , b ) están todos definidos para b = -1). Mientras discutían la tetración , Clenshaw et al. asumieron la condición inicial , lo que crea otra jerarquía de hiperoperaciones. Al igual que en la variante anterior, la cuarta operación es muy similar a la tetración , pero compensada por uno.${\displaystyle F_{n}(a,0)=0}$

norte	Operación	Comentario
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=b+1}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)}$	Una forma desplazada de tetración . La iteración de esta operación es muy diferente a la iteración de tetración .
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto a[4](x-1)\right)^{b}(0)=0{\text{ if }}a>0}$	No debe confundirse con pentación .

Una alternativa para estas hiperoperaciones se obtiene mediante la evaluación de izquierda a derecha. ^[9] Dado que

${\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=(a\cdot (b-1))+a\\a^{b}&=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a\end{aligned}}}$

definir (con ° o subíndice)

${\displaystyle a_{(n+1)}b=\left(a_{(n+1)}(b-1)\right)_{(n)}a}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{(1)}b&=a+b\\a_{(2)}0&=0\\a_{(n)}1&=a&{\text{for }}n>2\\\end{aligned}}}$

Esto fue extendido a los números ordinales por Doner y Tarski, ^[33] mediante:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha O_{0}\beta &=\alpha +\beta \\\alpha O_{\gamma }\beta &=\sup \limits _{\eta <\beta ,\xi <\gamma }(\alpha O_{\gamma }\eta )O_{\xi }\alpha \end{aligned}}}$

De la Definición 1(i), el Corolario 2(ii) y el Teorema 9 se deduce que, para a ≥ 2 y b ≥ 1, que ^{[ ¿ investigación original? ]}

${\displaystyle aO_{n}b=a_{(n+1)}b}$

Pero esto sufre una especie de colapso, al no formar la "torre de poder" tradicionalmente esperada de los hiperoperadores: ^{[34] [nb 6]}

${\displaystyle \alpha _{(4)}(1+\beta )=\alpha ^{\left(\alpha ^{\beta }\right)}.}$

Si α ≥ 2 y γ ≥ 2, ^{[28] [Corolario 33(i)] [nb 6]}

${\displaystyle \alpha _{(1+2\gamma +1)}\beta \leq \alpha _{(1+2\gamma )}(1+3\alpha \beta ).}$

norte	Operación	Comentario
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+1}$	Incremento, sucesor, puesta a cero
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}}$	No debe confundirse con tetración .
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto x^{x^{(a-1)}}\right)^{b-1}(a)}$	No debe confundirse con pentación . Es similar a tetración .

Albert Bennett ya había considerado las hiperoperaciones conmutativas en 1914, ^[6] lo que posiblemente sea la observación más antigua sobre cualquier secuencia de hiperoperaciones. Las hiperoperaciones conmutativas se definen mediante la regla de recursión

${\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))}$

que es simétrica en a y b , lo que significa que todas las hiperoperaciones son conmutativas. Esta secuencia no contiene exponenciación y, por lo tanto, no forma una jerarquía de hiperoperaciones.

norte	Operación	Comentario
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln \left(e^{a}+e^{b}\right)}$	Máximo suave
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$	Esto se debe a las propiedades del logaritmo .
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}}$	No debe confundirse con tetración .

RL Goodstein ^[5] utilizó la secuencia de hiperoperadores para crear sistemas de numeración para los números enteros no negativos. La denominada representación hereditaria completa del entero n , en el nivel k y base b , se puede expresar de la siguiente manera utilizando sólo los primeros k hiperoperadores y utilizando como dígitos sólo 0, 1, ..., b − 1, junto con la propia base b :

• Para 0 ≤ n ≤ b − 1, n se representa simplemente por el dígito correspondiente.
• Para n > b − 1, la representación de n se encuentra recursivamente, representando primero n en la forma

b [ k ] x [ k _{− 1} ] x [ _{k −1} ]…[2] x2 [ 1 _] x1

donde x _k , ..., x ₁ son los números enteros más grandes que satisfacen (a su vez)

b [ k ] xk≤n_​​​

b [ k ] xk [ k ₋ 1] xk _{− 1} ≤ n

...

b [ k ] x [ k ₋ 1 ] x [ _{k −} 1] ...[ 2 ] x2 [ _{1 ]} x1≤n

Cualquier x _i que exceda b − 1 se vuelve a expresar de la misma manera, y así sucesivamente, repitiendo este procedimiento hasta que la forma resultante contenga solo los dígitos 0, 1, ..., b − 1, junto con la base b .

Se pueden evitar paréntesis innecesarios dando a los operadores de nivel superior mayor precedencia en el orden de evaluación; por lo tanto,

Las representaciones de nivel 1 tienen la forma b [1] X, siendo X también de esta forma;

Las representaciones de nivel 2 tienen la forma b [2] X [1] Y, con X , Y también de esta forma;

Las representaciones de nivel 3 tienen la forma b [3] X [2] Y [1] Z, con X , Y , Z también de esta forma;

Las representaciones de nivel 4 tienen la forma b [4] X [3] Y [2] Z [1] W, con X , Y , Z , W también de esta forma;

etcétera.

En este tipo de representación hereditaria de base b , la base misma aparece en las expresiones, así como "dígitos" del conjunto {0, 1, ..., b − 1}. Esto se compara con la representación de base 2 ordinaria cuando esta última se escribe en términos de la base b ; por ejemplo, en la notación de base 2 ordinaria, 6 = (110) ₂ = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0, mientras que la representación hereditaria de base 2 de nivel 3 es 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0). Las representaciones hereditarias se pueden abreviar omitiendo cualquier instancia de [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, etc.; por ejemplo, la representación base 2 de nivel 3 anterior de 6 se abrevia a 2 [3] 2 [1] 2.

Ejemplos: Las representaciones únicas en base 2 del número 266 , en los niveles 1, 2, 3, 4 y 5 son las siguientes:

Nivel 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (con 133 2)

Nivel 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)

Nivel 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2

Nivel 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2

Nivel 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

Wikifunctions tiene una función de hiperoperación .

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