Polinomio

En matemáticas , un polinomio es una expresión matemática que consta de indeterminados (también llamados variables ) y coeficientes , que involucra solo las operaciones de suma , resta , multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas , y tiene un número finito de términos. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Un ejemplo de un polinomio de un solo indeterminado x es x ² − 4 x + 7 . Un ejemplo con tres indeterminados es x ³ + 2 xyz ² − yz + 1 .

Los polinomios aparecen en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinómicas , que codifican una amplia gama de problemas, desde problemas de palabras elementales hasta problemas científicos complicados; se utilizan para definir funciones polinómicas , que aparecen en entornos que van desde la química y la física básicas hasta la economía y las ciencias sociales ; y se utilizan en cálculo y análisis numérico para aproximar otras funciones. En matemáticas avanzadas, los polinomios se utilizan para construir anillos polinómicos y variedades algebraicas , que son conceptos centrales en álgebra y geometría algebraica .

La palabra polinomio une dos raíces diversas : la griega poly , que significa "muchos", y la latina nomen , o "nombre". Se derivó del término binomio al reemplazar la raíz latina bi- por la griega poly- . Es decir, significa una suma de muchos términos (muchos monomios ). La palabra polinomio se utilizó por primera vez en el siglo XVII. ^[6]

La x que aparece en un polinomio se denomina comúnmente variable o indeterminada . Cuando el polinomio se considera como una expresión, x es un símbolo fijo que no tiene ningún valor (su valor es "indeterminado"). Sin embargo, cuando se considera la función definida por el polinomio, entonces x representa el argumento de la función y, por lo tanto, se denomina "variable". Muchos autores utilizan estas dos palabras indistintamente.

Un polinomio P en el indeterminado x se denota comúnmente como P o como P ( x ). Formalmente, el nombre del polinomio es P , no P ( x ), pero el uso de la notación funcional P ( x ) data de una época en la que la distinción entre un polinomio y la función asociada no estaba clara. Además, la notación funcional suele ser útil para especificar, en una sola frase, un polinomio y su indeterminado. Por ejemplo, "sea P ( x ) un polinomio" es una abreviatura de "sea P un polinomio en el indeterminado x ". Por otro lado, cuando no es necesario enfatizar el nombre del indeterminado, muchas fórmulas son mucho más simples y fáciles de leer si el nombre o los nombres del indeterminado o los indeterminados no aparecen en cada aparición del polinomio.

La ambigüedad de tener dos notaciones para un único objeto matemático puede resolverse formalmente considerando el significado general de la notación funcional para polinomios. Si a denota un número, una variable, otro polinomio o, de manera más general, cualquier expresión, entonces P ( a ) denota, por convención, el resultado de sustituir a por x en P . Por lo tanto, el polinomio P define la función que es la función polinómica asociada a P . Con frecuencia, cuando se utiliza esta notación, se supone que a es un número. Sin embargo, se puede utilizar en cualquier dominio donde se definan la adición y la multiplicación (es decir, cualquier anillo ). En particular, si a es un polinomio, entonces P ( a ) también es un polinomio.$${\displaystyle a\mapsto P(a),}$$

Más concretamente, cuando a es la indeterminada x , entonces la imagen de x por esta función es el propio polinomio P (sustituir x por x no cambia nada). En otras palabras, lo que justifica formalmente la existencia de dos notaciones para el mismo polinomio.$${\displaystyle P(x)=P,}$$

Una expresión polinómica es una expresión que se puede construir a partir de constantes y símbolos llamados variables o indeterminados mediante la adición , multiplicación y potenciación a una potencia entera no negativa . Las constantes son generalmente números , pero pueden ser cualquier expresión que no involucre a los indeterminados, y representen objetos matemáticos que se pueden sumar y multiplicar. Se considera que dos expresiones polinómicas definen el mismo polinomio si se pueden transformar, una en la otra, aplicando las propiedades habituales de conmutatividad , asociatividad y distributividad de la adición y la multiplicación. Por ejemplo y son dos expresiones polinómicas que representan el mismo polinomio; por lo tanto, una tiene la igualdad .${\displaystyle (x-1)(x-2)}$$Estilo de visualización x^{2}-3x+2$ ${\displaystyle (x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2}$

Un polinomio en una sola indeterminación x siempre se puede escribir (o reescribir) en la forma donde son constantes que se llaman coeficientes del polinomio, y es el indeterminado. ^[7] La ​​palabra "indeterminado" significa que no representa ningún valor en particular, aunque se puede sustituir por cualquier valor. La aplicación que asocia el resultado de esta sustitución al valor sustituido es una función , llamada función polinómica .$${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}$$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

Esto se puede expresar de forma más concisa utilizando la notación de suma : es decir, un polinomio puede ser cero o puede escribirse como la suma de un número finito de términos distintos de cero . Cada término consiste en el producto de un número, llamado coeficiente del término ^[a]  , y un número finito de indeterminados, elevado a potencias enteras no negativas.$${\displaystyle \suma _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$$

El exponente de un indeterminado en un término se llama grado de ese indeterminado en ese término; el grado del término es la suma de los grados de los indeterminados en ese término, y el grado de un polinomio es el grado más grande de cualquier término con coeficiente distinto de cero. ^[8] Como x = x ¹ , el grado de un indeterminado sin un exponente escrito es uno.

Un término sin indeterminaciones y un polinomio sin indeterminaciones se denominan, respectivamente, término constante y polinomio constante . ^[b] El grado de un término constante y de un polinomio constante distinto de cero es 0. El grado del polinomio cero 0 (que no tiene términos en absoluto) generalmente se trata como no definido (pero véase más abajo). ^[9]

Por ejemplo: es un término. El coeficiente es −5 , las indeterminadas son x e y , el grado de x es dos, mientras que el grado de y es uno. El grado de todo el término es la suma de los grados de cada indeterminada que contiene, por lo que en este ejemplo el grado es 2 + 1 = 3 .$$Estilo de visualización -5x^{2}y$$

La suma de varios términos da como resultado un polinomio. Por ejemplo, el siguiente es un polinomio: Consta de tres términos: el primero es de grado dos, el segundo es de grado uno y el tercero es de grado cero.$${\displaystyle \underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {término} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {término} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {término} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.}$$

A los polinomios de grado pequeño se les han dado nombres específicos. Un polinomio de grado cero es un polinomio constante o simplemente una constante . Los polinomios de grado uno, dos o tres son respectivamente polinomios lineales, polinomios cuadráticos y polinomios cúbicos . ^[8] Para grados superiores, los nombres específicos no se usan comúnmente, aunque a veces se usan polinomio cuártico (para grado cuatro) y polinomio quíntico (para grado cinco). Los nombres de los grados se pueden aplicar al polinomio o a sus términos. Por ejemplo, el término 2 x en x ² + 2 x + 1 es un término lineal en un polinomio cuadrático.

El polinomio 0, que puede considerarse que no tiene términos en absoluto, se llama polinomio cero . A diferencia de otros polinomios constantes, su grado no es cero. En cambio, el grado del polinomio cero se deja explícitamente sin definir o se define como negativo (ya sea −1 o −∞). ^[10] El polinomio cero también es único en el sentido de que es el único polinomio en una indeterminada que tiene un número infinito de raíces . El gráfico del polinomio cero, f ( x ) = 0 , es el eje x .

En el caso de polinomios con más de una indeterminación, un polinomio se llama homogéneo de grado n si todos sus términos no nulos tienen grado n . El polinomio cero es homogéneo y, como polinomio homogéneo, su grado es indefinido. ^[c] Por ejemplo, x ³ y ² + 7 x ² y ³ − 3 x ⁵ es homogéneo de grado 5. Para más detalles, véase Polinomio homogéneo .

La ley conmutativa de la adición se puede utilizar para reorganizar términos en cualquier orden preferido. En polinomios con un indeterminado, los términos suelen ordenarse según el grado, ya sea en "potencias descendentes de x ", con el término de mayor grado primero, o en "potencias ascendentes de x ". El polinomio 3 x ² − 5 x + 4 se escribe en potencias descendentes de x . El primer término tiene coeficiente 3 , indeterminado x y exponente 2 . En el segundo término, el coeficiente es −5 . El tercer término es una constante. Debido a que el grado de un polinomio distinto de cero es el mayor grado de cualquier término, este polinomio tiene grado dos. ^[11]

Dos términos con las mismas indeterminadas elevadas a las mismas potencias se denominan "términos similares" o "términos iguales", y pueden combinarse, utilizando la ley distributiva , en un solo término cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los términos que se combinaron. Puede suceder que esto haga que el coeficiente sea 0. ^[12] Los polinomios se pueden clasificar por el número de términos con coeficientes distintos de cero, de modo que un polinomio de un término se llama monomio , ^[d] un polinomio de dos términos se llama binomio y un polinomio de tres términos se llama trinomio .

Un polinomio real es un polinomio con coeficientes reales . Cuando se utiliza para definir una función , el dominio no está tan restringido. Sin embargo, una función polinómica real es una función de números reales a números reales que está definida por un polinomio real. De manera similar, un polinomio entero es un polinomio con coeficientes enteros y un polinomio complejo es un polinomio con coeficientes complejos .

Un polinomio en un indeterminado se llama polinomio univariante , un polinomio en más de un indeterminado se llama polinomio multivariante . Un polinomio con dos indeterminados se llama polinomio bivariante . ^[7] Estas nociones se refieren más al tipo de polinomios con los que uno generalmente está trabajando que a polinomios individuales; por ejemplo, cuando se trabaja con polinomios univariados, no se excluyen los polinomios constantes (que pueden resultar de la resta de polinomios no constantes), aunque estrictamente hablando, los polinomios constantes no contienen ningún indeterminado en absoluto. Es posible clasificar además los polinomios multivariados como bivariados , trivariados , etc., de acuerdo con el número máximo de indeterminados permitidos. Nuevamente, para que el conjunto de objetos en consideración sea cerrado bajo sustracción, un estudio de polinomios trivariados generalmente permite polinomios bivariados, y así sucesivamente. También es común decir simplemente "polinomios en x , y y z ", enumerando los indeterminados permitidos.

Los polinomios se pueden sumar utilizando la ley asociativa de la adición (agrupando todos sus términos en una sola suma), posiblemente seguida de reordenamiento (utilizando la ley conmutativa ) y combinación de términos iguales. ^{[12] [13]} Por ejemplo, si y entonces la suma se puede reordenar y reagrupar como y luego simplificar a Cuando se suman polinomios, el resultado es otro polinomio. ^[14]$$Estilo de visualización P=3x^{2}-2x+5xy-2}$$$${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$$$Estilo de visualización P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$$${\displaystyle P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$$$${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.}$$

La resta de polinomios es similar.

Los polinomios también se pueden multiplicar. Para expandir el producto de dos polinomios en una suma de términos, se aplica repetidamente la ley distributiva, lo que da como resultado que cada término de un polinomio se multiplique por cada término del otro. ^[12] Por ejemplo, si entonces Realizar la multiplicación en cada término produce Combinar términos similares da como resultado que se puede simplificar a Como en el ejemplo, el producto de polinomios siempre es un polinomio. ^{[14] [9]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\color {Rojo}P&\color {Rojo}{=2x+3y+5}\\\color {Azul}Q&\color {Azul}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Rojo}{P}}{\color {Azul}{Q}}&{=}&&({\color {Rojo}{2x}}\cdot {\color {Azul}{2x}})&+&({\color {Rojo}{2x}}\cdot {\color {Azul}{5y}})&+&({\color {Rojo}{2x}}\cdot {\color {Azul}{xy}})&+&({\color {Rojo}{2x}}\cdot {\color {Azul}{1}})\\&&+&({\color {Rojo}{3y}}\cdot {\color {Azul}{2x}})&+&({\color {Rojo}{3y}}\cdot {\color {Azul}{5y}})&+&({\color {Rojo}{3y}}\cdot {\color {Azul}{xy}})&+&({\color {Rojo}{3y}}\cdot {\color {Azul}{1}})\\&&+&({\color {Rojo}{5}}\cdot {\color {Azul}{2x}})&+&({\color {Rojo}{5}}\cdot {\color {Azul}{5y}})&+&({\color {Rojo}{5}}\cdot {\color {Azul}{xy}})&+&({\color {Rojo}{5}}\cdot {\color {Azul}{1}})\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rccrccrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}}$$$${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$$

Dado un polinomio de una sola variable y otro polinomio g de cualquier número de variables, la composición se obtiene sustituyendo cada copia de la variable del primer polinomio por el segundo polinomio. ^[9] Por ejemplo, si y entonces Una composición puede expandirse a una suma de términos utilizando las reglas de multiplicación y división de polinomios. La composición de dos polinomios es otro polinomio. ^[15]${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x}$${\displaystyle g(x)=3x+2}$$${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).}$$

La división de un polinomio por otro no es típicamente un polinomio. En cambio, tales razones son una familia más general de objetos, llamados fracciones racionales , expresiones racionales o funciones racionales , dependiendo del contexto. ^[16] Esto es análogo al hecho de que la razón de dos números enteros es un número racional , no necesariamente un entero. ^{[17] [18]} Por ejemplo, la fracción 1/( x ² + 1) no es un polinomio, y no puede escribirse como una suma finita de potencias de la variable x .

Para los polinomios de una variable, existe una noción de división euclidiana de polinomios , que generaliza la división euclidiana de números enteros. ^[e] Esta noción de la división a ( x )/ b ( x ) da como resultado dos polinomios, un cociente q ( x ) y un residuo r ( x ) , tales que a = b q + r y grado( r ) < grado( b ) . El cociente y el residuo pueden calcularse mediante cualquiera de varios algoritmos, incluida la división larga de polinomios y la división sintética . ^[19]

Cuando el denominador b ( x ) es mónico y lineal, es decir, b ( x ) = x − c para alguna constante c , entonces el teorema del resto polinomial afirma que el resto de la división de a ( x ) por b ( x ) es la evaluación a ( c ) . ^[18] En este caso, el cociente puede calcularse mediante la regla de Ruffini , un caso especial de división sintética. ^[20]

Todos los polinomios con coeficientes en un dominio de factorización único (por ejemplo, los enteros o un cuerpo ) también tienen una forma factorizada en la que el polinomio se escribe como un producto de polinomios irreducibles y una constante. Esta forma factorizada es única hasta el orden de los factores y su multiplicación por una constante invertible. En el caso del cuerpo de números complejos , los factores irreducibles son lineales. Sobre los números reales , tienen el grado uno o dos. Sobre los números enteros y los números racionales los factores irreducibles pueden tener cualquier grado. ^[21] Por ejemplo, la forma factorizada de es sobre los enteros y los reales, y sobre los números complejos.$${\displaystyle 5x^{3}-5}$$$${\displaystyle 5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}$$$${\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$$

El cálculo de la forma factorizada, llamada factorización , es, en general, demasiado difícil de realizar a mano. Sin embargo, existen algoritmos eficientes de factorización de polinomios en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional .

Calcular derivadas e integrales de polinomios es particularmente simple, en comparación con otros tipos de funciones. La derivada del polinomio con respecto a x es el polinomio De manera similar, la antiderivada general (o integral indefinida) de es donde c es una constante arbitraria. Por ejemplo, las antiderivadas de x ² + 1 tienen la forma ⁠$${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$$${\displaystyle na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.}$$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}}$$1/3⁠ x3 + x + c .^​

Para polinomios cuyos coeficientes provienen de configuraciones más abstractas (por ejemplo, si los coeficientes son números enteros módulo algún número primo p , o elementos de un anillo arbitrario), la fórmula para la derivada todavía puede interpretarse formalmente, entendiendo por coeficiente ka _k la suma de k copias de a _k . Por ejemplo, sobre los números enteros módulo p , la derivada del polinomio x ^p + x es el polinomio 1 . ^[22]

Una función polinómica es una función que se puede definir evaluando un polinomio. Más precisamente, una función f de un argumento de un dominio dado es una función polinómica si existe un polinomio que evalúa a para todo x en el dominio de f (aquí, n es un entero no negativo y a ₀ , a ₁ , a ₂ , ..., a _n son coeficientes constantes). ^[23] Generalmente, a menos que se especifique lo contrario, las funciones polinómicas tienen coeficientes, argumentos y valores complejos . En particular, un polinomio, restringido a tener coeficientes reales, define una función de los números complejos a los números complejos. Si el dominio de esta función también está restringido a los reales, la función resultante es una función real que mapea reales a reales.$${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$$${\displaystyle f(x)}$

Por ejemplo, la función f , definida por es una función polinómica de una variable. Las funciones polinómicas de varias variables se definen de manera similar, utilizando polinomios en más de una indeterminada, como en Según la definición de funciones polinómicas, puede haber expresiones que obviamente no son polinomios pero que, sin embargo, definen funciones polinómicas. Un ejemplo es la expresión que toma los mismos valores que el polinomio en el intervalo , y por lo tanto, ambas expresiones definen la misma función polinómica en este intervalo.$${\displaystyle f(x)=x^{3}-x,}$$$${\displaystyle f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.}$$${\displaystyle \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},}$${\displaystyle 1-x^{2}}$${\displaystyle [-1,1]}$

Toda función polinómica es continua , suave y entera .

La evaluación de un polinomio es el cálculo de la función polinómica correspondiente, es decir, la evaluación consiste en sustituir un valor numérico a cada indeterminado y realizar las multiplicaciones y sumas indicadas.

Para polinomios en uno indeterminado, la evaluación suele ser más eficiente (menor número de operaciones aritméticas a realizar) utilizando el método de Horner , que consiste en reescribir el polinomio como$${\displaystyle (((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.}$$

Una función polinómica en una variable real se puede representar mediante una gráfica .

• La gráfica del polinomio cero
  f ( x ) = 0
  es el eje x .
• La gráfica de un polinomio de grado 0
  f ( x ) = a ₀ , donde a ₀ ≠ 0 ,
  es una línea horizontal con intersección en y a ₀
• La gráfica de un polinomio de grado 1 (o función lineal)
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x , donde a ₁ ≠ 0 ,
  es una línea oblicua con intersección en y a ₀ y pendiente a ₁ .
• La gráfica de un polinomio de grado 2
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² , donde a ₂ ≠ 0
  es una parábola .
• La gráfica de un polinomio de grado 3
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³ , donde a ₃ ≠ 0
  es una curva cúbica .
• La gráfica de cualquier polinomio de grado 2 o mayor
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n x ⁿ , donde a _n ≠ 0 y n ≥ 2
  es una curva continua no lineal.

Una función polinómica no constante tiende a infinito cuando la variable crece indefinidamente (en valor absoluto ). Si el grado es mayor que uno, la gráfica no tiene asíntota . Tiene dos ramas parabólicas con dirección vertical (una rama para x positiva y otra para x negativa ).

Los gráficos polinomiales se analizan en cálculo utilizando intersecciones, pendientes, concavidad y comportamiento final.

Una ecuación polinomial , también llamada ecuación algebraica , es una ecuación de la forma ^[24] Por ejemplo, es una ecuación polinomial.$${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$$$${\displaystyle 3x^{2}+4x-5=0}$$

Al considerar ecuaciones, las indeterminadas (variables) de los polinomios también se denominan incógnitas , y las soluciones son los posibles valores de las incógnitas para las que la igualdad es verdadera (en general, puede existir más de una solución). Una ecuación polinómica contrasta con una identidad polinómica como ( x + y )( x − y ) = x ² − y ² , donde ambas expresiones representan el mismo polinomio en formas diferentes y, como consecuencia, cualquier evaluación de ambos miembros da una igualdad válida.

En álgebra elemental , se enseñan métodos como la fórmula cuadrática para resolver todas las ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado en una variable. También existen fórmulas para las ecuaciones cúbicas y cuárticas . Para grados superiores, el teorema de Abel-Ruffini afirma que no puede existir una fórmula general en radicales. Sin embargo, se pueden utilizar algoritmos de búsqueda de raíces para encontrar aproximaciones numéricas de las raíces de una expresión polinómica de cualquier grado.

El número de soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes reales no puede ser mayor que el grado, y es igual al grado cuando las soluciones complejas se cuentan con su multiplicidad . Este hecho se llama teorema fundamental del álgebra .

Una raíz de un polinomio univariante distinto de cero P es un valor a de x tal que P ( a ) = 0 . En otras palabras, una raíz de P es una solución de la ecuación polinómica P ( x ) = 0 o un cero de la función polinómica definida por P . En el caso del polinomio cero, cada número es un cero de la función correspondiente y el concepto de raíz rara vez se considera.

Un número a es raíz de un polinomio P si y solo si el polinomio lineal x − a divide a P , es decir si hay otro polinomio Q tal que P = ( x − a ) Q . Puede suceder que una potencia (mayor que 1 ) de x − a divida a P ; en este caso, a es una raíz múltiple de P , y en caso contrario a es una raíz simple de P . Si P es un polinomio distinto de cero, existe una potencia máxima m tal que ( x − a ) ^m divide a P , que se llama multiplicidad de a como raíz de P . El número de raíces de un polinomio distinto de cero P , contadas con sus respectivas multiplicidades, no puede superar el grado de P , ^[25] y es igual a este grado si se consideran todas las raíces complejas (esto es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra ). Los coeficientes de un polinomio y sus raíces están relacionados mediante las fórmulas de Vieta .

Algunos polinomios, como x ² + 1 , no tienen raíces entre los números reales . Sin embargo, si el conjunto de soluciones aceptadas se expande a los números complejos , cada polinomio no constante tiene al menos una raíz; este es el teorema fundamental del álgebra . Al dividir sucesivamente los factores x − a , se ve que cualquier polinomio con coeficientes complejos puede escribirse como una constante (su coeficiente principal) por un producto de dichos factores polinómicos de grado 1; como consecuencia, el número de raíces (complejas) contadas con sus multiplicidades es exactamente igual al grado del polinomio.

Puede haber varios significados de "resolver una ecuación" . Uno puede querer expresar las soluciones como números explícitos; por ejemplo, la única solución de 2 x − 1 = 0 es 1/2 . Esto es, en general, imposible para ecuaciones de grado mayor que uno, y, desde la antigüedad, los matemáticos han buscado expresar las soluciones como expresiones algebraicas ; por ejemplo, la proporción áurea es la única solución positiva de En la antigüedad, tuvieron éxito solo para los grados uno y dos. Para las ecuaciones cuadráticas , la fórmula cuadrática proporciona tales expresiones de las soluciones. Desde el siglo XVI, se conocen fórmulas similares (que utilizan raíces cúbicas además de raíces cuadradas), aunque mucho más complicadas, para ecuaciones de grado tres y cuatro (ver ecuación cúbica y ecuación cuártica ). Pero las fórmulas para el grado 5 y superior eludieron a los investigadores durante varios siglos. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el sorprendente resultado de que existen ecuaciones de grado 5 cuyas soluciones no pueden expresarse mediante una fórmula (finita), que involucra solo operaciones aritméticas y radicales (véase el teorema de Abel-Ruffini ). En 1830, Évariste Galois demostró que la mayoría de las ecuaciones de grado superior a cuatro no pueden resolverse mediante radicales, y mostró que para cada ecuación, uno puede decidir si es solucionable mediante radicales y, si lo es, resolverla. Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois y la teoría de grupos , dos ramas importantes del álgebra moderna . El propio Galois señaló que los cálculos implicados por su método eran impracticables. Sin embargo, se han publicado fórmulas para ecuaciones resolubles de grados 5 y 6 (véase función quíntica y ecuación séxtica ).${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$${\displaystyle x^{2}-x-1=0.}$

Cuando no existe una expresión algebraica para las raíces, y cuando dicha expresión algebraica existe pero es demasiado complicada para ser útil, la única forma de resolverla es calcular aproximaciones numéricas de las soluciones. ^[26] Hay muchos métodos para eso; algunos están restringidos a polinomios y otros pueden aplicarse a cualquier función continua . Los algoritmos más eficientes permiten resolver fácilmente (en una computadora ) ecuaciones polinómicas de grado superior a 1000 (ver Algoritmo de búsqueda de raíces ).

Para polinomios con más de una indeterminación, las combinaciones de valores para las variables para las que la función polinómica toma el valor cero se denominan generalmente ceros en lugar de "raíces". El estudio de los conjuntos de ceros de polinomios es objeto de la geometría algebraica . Para un conjunto de ecuaciones polinómicas con varias incógnitas, existen algoritmos para decidir si tienen un número finito de soluciones complejas y, si este número es finito, para calcular las soluciones. Véase Sistema de ecuaciones polinómicas .

El caso especial en el que todos los polinomios son de grado uno se denomina sistema de ecuaciones lineales , para el que existe otra gama de métodos de solución diferentes , incluida la clásica eliminación gaussiana .

Una ecuación polinómica para la que sólo se está interesado en las soluciones que son números enteros se llama ecuación diofántica . Resolver ecuaciones diofánticas es generalmente una tarea muy difícil. Se ha demostrado que no puede haber ningún algoritmo general para resolverlas, o incluso para decidir si el conjunto de soluciones está vacío (véase el décimo problema de Hilbert ). Algunos de los problemas más famosos que se han resuelto durante los últimos cincuenta años están relacionados con ecuaciones diofánticas, como el Último Teorema de Fermat .

A menudo se consideran polinomios en los que se sustituyen indeterminados por otros objetos matemáticos, y a veces tienen un nombre especial.

Un polinomio trigonométrico es una combinación lineal finita de funciones sin( nx ) y cos( nx ) con n tomando los valores de uno o más números naturales . ^[27] Los coeficientes pueden tomarse como números reales, para funciones de valores reales.

Si sen( nx ) y cos( nx ) se desarrollan en términos de sen( x ) y cos( x ), un polinomio trigonométrico se convierte en un polinomio en las dos variables sen( x ) y cos( x ) (usando Lista de identidades trigonométricas#Fórmulas de ángulos múltiples ). Por el contrario, cada polinomio en sen( x ) y cos( x ) se puede convertir, con Identidades de producto a suma , en una combinación lineal de funciones sen( nx ) y cos( nx ). Esta equivalencia explica por qué las combinaciones lineales se llaman polinomios.

Para coeficientes complejos , no hay diferencia entre dicha función y una serie de Fourier finita .

Los polinomios trigonométricos se utilizan ampliamente, por ejemplo, en la interpolación trigonométrica aplicada a la interpolación de funciones periódicas . También se utilizan en la transformada de Fourier discreta .

Un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. ^[28] Dado un polinomio ordinario de valor escalar, este polinomio evaluado en una matriz A es donde I es la matriz identidad . ^[29]$${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$$$${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$$

Una ecuación polinómica matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales, que se cumple para las matrices específicas en cuestión. Una identidad polinómica matricial es una ecuación polinómica matricial que se cumple para todas las matrices A en un anillo de matrices especificado M _n ( R ).

Un polinomio bivariado donde la segunda variable se sustituye por una función exponencial aplicada a la primera variable, por ejemplo P ( x , e ^x ) , puede llamarse polinomio exponencial .

Una fracción racional es el cociente ( fracción algebraica ) de dos polinomios. Cualquier expresión algebraica que pueda reescribirse como fracción racional es una función racional .

Mientras que las funciones polinómicas se definen para todos los valores de las variables, una función racional se define solo para los valores de las variables para las cuales el denominador no es cero.

Las fracciones racionales incluyen los polinomios de Laurent, pero no limitan los denominadores a potencias de un indeterminado.

Los polinomios de Laurent son como polinomios, pero permiten que ocurran potencias negativas de las variables.

Las series de potencias formales son como los polinomios, pero permiten que aparezcan una cantidad infinita de términos distintos de cero, por lo que no tienen un grado finito. A diferencia de los polinomios, en general no se pueden escribir de forma explícita y completa (al igual que los números irracionales ), pero las reglas para manipular sus términos son las mismas que para los polinomios. Las series de potencias no formales también generalizan polinomios, pero la multiplicación de dos series de potencias puede no converger.

Un polinomio f sobre un anillo conmutativo R es un polinomio cuyos coeficientes pertenecen todos a R. Es sencillo verificar que los polinomios en un conjunto dado de indeterminados sobre R forman un anillo conmutativo, llamado anillo polinomial en estos indeterminados, denotado en el caso univariado y en el caso multivariado.${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Así pues, la mayor parte de la teoría del caso multivariado se puede reducir a un caso univariante iterado.$${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]\right)[x_{n}].}$$

La función de R en R [ x ] que envía r a sí mismo considerado como un polinomio constante es un homomorfismo de anillo inyectivo , por el cual R se considera un subanillo de R [ x ] . En particular, R [ x ] es un álgebra sobre R .

Se puede pensar en el anillo R [ x ] como si surgiese de R añadiendo un nuevo elemento x a R , y extendiéndose de forma mínima a un anillo en el que x no satisface otras relaciones que las obligatorias, más la conmutación con todos los elementos de R (es decir xr = rx ). Para ello, hay que sumar también todas las potencias de x y sus combinaciones lineales.

La formación del anillo polinómico, junto con la formación de anillos de factores mediante la factorización de ideales , son herramientas importantes para construir nuevos anillos a partir de los ya conocidos. Por ejemplo, el anillo (de hecho, el campo) de números complejos, que se puede construir a partir del anillo polinómico R [ x ] sobre los números reales mediante la factorización del ideal de múltiplos del polinomio x ² + 1 . Otro ejemplo es la construcción de campos finitos , que procede de manera similar, comenzando con el campo de números enteros módulo algún número primo como el anillo de coeficientes R (véase aritmética modular ).

Si R es conmutativo, entonces se puede asociar a cada polinomio P en R [ x ] una función polinómica f con dominio y rango iguales a R . (De manera más general, se puede tomar dominio y rango como cualquier álgebra asociativa unitaria sobre R .) Se obtiene el valor f ( r ) mediante la sustitución del valor r por el símbolo x en P . Una razón para distinguir entre polinomios y funciones polinómicas es que, sobre algunos anillos, diferentes polinomios pueden dar lugar a la misma función polinómica (véase el pequeño teorema de Fermat para un ejemplo donde R son los enteros módulo p ). Este no es el caso cuando R son los números reales o complejos, por lo que los dos conceptos no siempre se distinguen en el análisis . Una razón aún más importante para distinguir entre polinomios y funciones polinomiales es que muchas operaciones con polinomios (como la división euclidiana ) requieren observar de qué se compone un polinomio como expresión en lugar de evaluarlo en algún valor constante para x .

Si R es un dominio entero y f y g son polinomios en R [ x ] , se dice que f divide a g o f es divisor de g si existe un polinomio q en R [ x ] tal que f q = g . Si entonces a es una raíz de f si y solo divide a f . En este caso, el cociente se puede calcular utilizando la división larga de polinomios . ^{[30] [31]}${\displaystyle a\in R,}$${\displaystyle x-a}$

Si F es un cuerpo y f y g son polinomios en F [ x ] con g ≠ 0 , entonces existen polinomios únicos q y r en F [ x ] con y tales que el grado de r es menor que el grado de g (usando la convención de que el polinomio 0 tiene un grado negativo). Los polinomios q y r están determinados de forma única por f y g . Esto se llama división euclidiana , división con resto o división larga de polinomios y muestra que el anillo F [ x ] es un dominio euclidiano .$${\displaystyle f=q\,g+r}$$

Análogamente, los polinomios primos (más correctamente, polinomios irreducibles ) pueden definirse como polinomios distintos de cero que no pueden factorizarse en el producto de dos polinomios no constantes . En el caso de coeficientes en un anillo, "no constante" debe reemplazarse por "no constante o no unidad " (ambas definiciones coinciden en el caso de coeficientes en un cuerpo). Cualquier polinomio puede descomponerse en el producto de una constante invertible por un producto de polinomios irreducibles. Si los coeficientes pertenecen a un cuerpo o un dominio de factorización único, esta descomposición es única hasta el orden de los factores y la multiplicación de cualquier factor no unitario por una unidad (y la división del factor unidad por la misma unidad). Cuando los coeficientes pertenecen a números enteros, números racionales o un cuerpo finito, existen algoritmos para probar la irreducibilidad y calcular la factorización en polinomios irreducibles (ver Factorización de polinomios ). Estos algoritmos no son factibles para cálculos escritos a mano, pero están disponibles en cualquier sistema de álgebra computacional . El criterio de Eisenstein también se puede utilizar en algunos casos para determinar la irreducibilidad.

En los sistemas de numeración posicional modernos, como el sistema decimal , los dígitos y sus posiciones en la representación de un entero, por ejemplo, 45, son una notación abreviada para un polinomio en la base , en este caso, 4 × 10 ¹ + 5 × 10 ⁰ . Como otro ejemplo, en la base 5, una cadena de dígitos como 132 denota el número (decimal) 1 × 5 ² + 3 × 5 ¹ + 2 × 5 ⁰ = 42. Esta representación es única. Sea b un entero positivo mayor que 1. Entonces, cada entero positivo a se puede expresar de forma única en la forma

$${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$$donde m es un entero no negativo y los r' son enteros tales que

0 < r _m < b y 0 ≤ r _i < b para i = 0, 1, . . . , m − 1 . ^[32]

La estructura simple de las funciones polinómicas las hace muy útiles para analizar funciones generales mediante aproximaciones polinómicas. Un ejemplo importante en cálculo es el teorema de Taylor , que establece aproximadamente que toda función diferenciable se parece localmente a una función polinómica, y el teorema de Stone-Weierstrass , que establece que toda función continua definida en un intervalo compacto del eje real puede aproximarse en todo el intervalo con la precisión deseada mediante una función polinómica. Los métodos prácticos de aproximación incluyen la interpolación polinómica y el uso de splines . ^[33]

Los polinomios se utilizan con frecuencia para codificar información sobre algún otro objeto. El polinomio característico de una matriz o un operador lineal contiene información sobre los valores propios del operador . El polinomio mínimo de un elemento algebraico registra la relación algebraica más simple satisfecha por ese elemento. El polinomio cromático de un gráfico cuenta el número de coloraciones propias de ese gráfico.

El término "polinomio", como adjetivo, también se puede utilizar para cantidades o funciones que se pueden escribir en forma polinómica. Por ejemplo, en la teoría de la complejidad computacional, la frase tiempo polinómico significa que el tiempo que lleva completar un algoritmo está limitado por una función polinómica de alguna variable, como el tamaño de la entrada.

Determinar las raíces de polinomios, o "resolver ecuaciones algebraicas", es uno de los problemas más antiguos de las matemáticas. Sin embargo, la notación elegante y práctica que utilizamos hoy en día recién se desarrolló a principios del siglo XV. Antes de eso, las ecuaciones se escribían con palabras. Por ejemplo, un problema de álgebra de la Aritmética china en nueve secciones , c.  200 a. C. , comienza así: "Tres gavillas de buena cosecha, dos gavillas de cosecha mediocre y una gavilla de cosecha mala se venden por 29 dou". Escribiríamos 3 x + 2 y + z = 29 .

El uso más antiguo conocido del signo igual se encuentra en The Whetstone of Witte (La piedra de afilar de Witte) , de Robert Recorde (1557). Los signos + para la suma, − para la resta y el uso de una letra para una incógnita aparecen en Arithemetica integra (Arithemetica integra) , de Michael Stifel ( 1544) . René Descartes , en La géometrie (1637), introdujo el concepto de gráfico de una ecuación polinómica. Popularizó el uso de letras del principio del alfabeto para denotar constantes y letras del final del alfabeto para denotar variables, como se puede ver arriba, en la fórmula general para un polinomio de una variable, donde a s denota constantes y x denota una variable. Descartes introdujo también el uso de superíndices para denotar exponentes. ^[34]

• Lista de temas sobre polinomios

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• Markushevich, AI (2001) [1994], "Polinomio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Investigaciones de Euler sobre las raíces de las ecuaciones". Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2012.