Poliedro estrellado

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En geometría , un poliedro estrellado es un poliedro que tiene cierta cualidad repetitiva de no convexidad que le confiere una calidad visual similar a la de una estrella.

Hay dos tipos generales de poliedro estrellado:

• Poliedros que se autointersecan de forma repetitiva.
• Poliedros cóncavos de un tipo particular que alternan vértices convexos y cóncavos o en silla de montar de manera repetitiva. Matemáticamente, estas figuras son ejemplos de dominios estelares .

Los estudios matemáticos de poliedros estelares suelen centrarse en poliedros regulares y uniformes , o en poliedros duales de poliedros uniformes. Todas estas estrellas son del tipo que se autointersecta.

Los poliedros estrellados regulares son poliedros que se autointersectan. Pueden tener caras que se autointersectan o figuras de vértices que se autointersectan .

Existen cuatro poliedros estrellados regulares , conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot . El símbolo de Schläfli { p , q } implica caras con p lados y figuras de vértice con q lados. Dos de ellos tienen caras pentagrammáticas {5/2} y dos tienen figuras de vértice pentagrammáticas.

Estas imágenes muestran cada forma con una sola cara coloreada de amarillo para mostrar la parte visible de esa cara.

También hay un número infinito de diedros y hosoedros estelares regulares {2, p/q } y { p/q ,2} para cualquier polígono estelar { p/q }. Si bien son degenerados en el espacio euclidiano, pueden realizarse esféricamente en forma no degenerada.

Hay muchos poliedros estelares uniformes , incluidas dos series infinitas, de prismas y de antiprismas , y sus duales .

Los poliedros uniformes y dobles en estrella también son poliedros que se autointersectan. Pueden tener caras que se autointersectan, figuras de vértices que se autointersectan o ambas.

Los poliedros estrellados uniformes tienen caras regulares o caras de polígonos estrellados regulares . Los poliedros estrellados uniformes duales tienen caras regulares o figuras de vértices de polígonos estrellados regulares .

Ejemplos de poliedros uniformes y sus duales

Poliedro uniforme	Poliedro dual
El prisma pentagrammico es un poliedro estrellado prismático . Está compuesto por dos caras de pentagrama unidas por cinco caras cuadradas que se intersecan .	La bipirámide pentagrámica es también un poliedro estrellado , que representa el dual del prisma pentagrámico. Es transitivo en sus caras , compuesto por diez triángulos isósceles que se intersecan .
El gran dodecicosaedro es un poliedro estrellado, construido a partir de una única figura de vértice de caras hexagonales y decagrámicas , {10/3}, que se intersecan .	El gran dodecicosacrón es el dual del gran dodecicosaedro . Es transitivo en sus caras y está compuesto por 60 caras cuadriláteras que se intersecan en forma de pajarita .

Más allá de las formas anteriores, existen clases ilimitadas de poliedros autointersecantes (en forma de estrella).

Dos clases importantes son las estelaciones de poliedros convexos y sus duales, las facetas de los poliedros duales.

Por ejemplo, la estelación completa del icosaedro (ilustrado) puede interpretarse como un poliedro que se autointersecta compuesto por 20 caras idénticas, cada una de ellas un polígono enrollado (9/4). A continuación se muestra una ilustración de este poliedro con una cara dibujada en amarillo.

Un politopo que se autointersecta de manera similar en cualquier número de dimensiones se llama politopo estrella .

Un politopo regular { p , q , r ,..., s , t } es un politopo estrella si su faceta { p , q ,... s } o su figura de vértice { q , r ,..., s , t } es un politopo estrella.

En cuatro dimensiones, las 10 policoras estelares regulares se denominan policoras de Schläfli–Hess . De manera análoga a los poliedros estelares regulares, estas 10 están compuestas por facetas que son uno de los cinco sólidos platónicos regulares o uno de los cuatro poliedros estelares regulares de Kepler–Poinsot .

Por ejemplo, la gran estrella de 120 celdas , proyectada ortogonalmente en el espacio tridimensional, se ve así:

No existen politopos estelares regulares en dimensiones superiores a 4 ^{[ cita requerida ]} .

Un poliedro que no se cruza consigo mismo, de modo que todo su interior puede verse desde un punto interior, es un ejemplo de dominio estelar . Las partes exteriores visibles de muchos poliedros estelares que se autointersecan forman los límites de los dominios estelares, pero a pesar de su apariencia similar, como poliedros abstractos son estructuras diferentes. Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras de pentagrama, pero el dominio estelar correspondiente tiene 60 caras de triángulos isósceles y, en consecuencia, diferentes números de vértices y aristas.

Los dominios estelares poliédricos aparecen en diversos tipos de arquitectura, generalmente de naturaleza religiosa. Por ejemplo, se ven en muchas iglesias barrocas como símbolos del Papa que construyó la iglesia, en iglesias húngaras y en otros edificios religiosos. Estas estrellas también se pueden utilizar como decoración. Las estrellas moravas se utilizan para ambos fines y se pueden construir en diversas formas.

• Polígono estrellado
• Estelación
• Compuesto poliédrico
• Lista de poliedros uniformes
• Lista de poliedros uniformes según el triángulo de Schwarz

• Coxeter, HSM , MS Longuet-Higgins y JCP Miller, Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) págs. 401–450.
• Coxeter, HSM, Regular Polytopes , 3.ª ed., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (VI. Poliedros estelares, XIV. Politopos estelares) (p. 263) [1]
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, Politopos estelares regulares, págs. 404-408) 
• Tarnai, T., Krähling, J. y Kabai, S.; "Poliedros estelares: desde la Basílica de San Marcos en Venecia hasta las iglesias protestantes húngaras", Documento ID209, Proc. of the IASS 2007, Shell and Spatial Structures: Structural Architecture-Towards the Future Looking to the Past , Universidad de IUAV, 2007. [2] Archivado el 29 de noviembre de 2010 en Wayback Machine o [3] ^{[ enlace muerto permanente ]}

• Weisstein, Eric W. "Poliedro en forma de estrella". MathWorld .