Paul Erdös

Paul Erdös
Paul Erdös en 1992
Nacido	( 26 de marzo de 1913 )26 de marzo de 1913 Budapest , Austria-Hungría
Fallecido	20 de septiembre de 1996 (20 de septiembre de 1996)(83 años) Varsovia , Polonia
Nacionalidad	húngaro
Alma máter	Universidad Real Húngara Pázmány Péter
Conocido por	Homónimos Un gran número de resultados y conjeturas (más de 1.500 artículos), y un gran número de coautores (más de 500)
Premios	Premio Wolf (1983/84) Premio AMS Cole (1951)
Carrera científica
Campos	Matemáticas puras
Instituciones	Universidad Victoria de Manchester Universidad de Princeton Universidad Purdue Universidad de Pensilvania Universidad de Notre Dame Universidad de Stanford Universidad de Siracusa Universidad Hebrea de Jerusalén Technion – Instituto Tecnológico de Israel
Asesor de doctorado	Lipót Fejér
Estudiantes de doctorado	José Kruskal George B. Purdy Alejandro Soifer Bela Bollobás [1]

Paul Erdős ( en húngaro : Erdős Pál [ˈɛrdøːʃ ˈpaːl] ; 26 de marzo de 1913 - 20 de septiembre de 1996) fue un matemático húngaro. Fue uno de los matemáticos y productores de conjeturas matemáticas más prolíficos ^[2] del siglo XX. ^[3] Erdős persiguió y propuso problemas en matemáticas discretas , teoría de grafos , teoría de números , análisis matemático , teoría de aproximación , teoría de conjuntos y teoría de probabilidad . ^[4] Gran parte de su trabajo se centró en las matemáticas discretas, resolviendo muchos problemas previamente no resueltos en el campo. Defendió y contribuyó a la teoría de Ramsey , que estudia las condiciones en las que necesariamente aparece el orden. En general, su trabajo se inclinó hacia la solución de problemas previamente abiertos , en lugar de desarrollar o explorar nuevas áreas de las matemáticas.

Erdős publicó alrededor de 1.500 artículos matemáticos durante su vida, una cifra que sigue siendo insuperable. ^[5] Creía firmemente que las matemáticas eran una actividad social, y vivía un estilo de vida itinerante con el único propósito de escribir artículos matemáticos con otros matemáticos. Era conocido tanto por su práctica social de las matemáticas, trabajando con más de 500 colaboradores, como por su estilo de vida excéntrico ; la revista Time lo llamó "El bicho raro de los bichos raros". ^[6] Dedicó sus horas de vigilia a las matemáticas, incluso en sus últimos años; de hecho, su muerte se produjo en una conferencia de matemáticas en Varsovia . ^[7] La ​​prolífica producción de Erdős con coautores impulsó la creación del número de Erdős , el número de pasos en el camino más corto entre un matemático y Erdős en términos de coautorías.

Paul Erdős nació el 26 de marzo de 1913 en Budapest , Austria-Hungría , ^[8] el único hijo sobreviviente de Anna ( née Wilhelm) y Lajos Erdős (né Engländer). ^{[9] [10]} Sus dos hermanas, de tres y cinco años, murieron de escarlatina unos días antes de que él naciera. ^[11] Sus padres, ambos judíos , eran profesores de matemáticas de secundaria. Su fascinación por las matemáticas se desarrolló temprano. Fue criado en parte por una institutriz alemana ^[12] porque su padre estuvo cautivo en Siberia como prisionero de guerra austrohúngaro durante 1914-1920, ^[10] lo que provocó que su madre tuviera que trabajar muchas horas para mantener a su familia. Su padre había aprendido inglés por su cuenta mientras estaba en cautiverio, pero pronunciaba mal muchas palabras. Cuando Lajos más tarde le enseñó a su hijo a hablar inglés, Paul aprendió la pronunciación de su padre, que continuó usando durante el resto de su vida. ^[13]

Aprendió a leer por sí mismo los textos de matemáticas que sus padres dejaban en casa. A los cinco años, dada la edad de una persona, podía calcular mentalmente cuántos segundos había vivido. ^[12] Debido a la muerte de sus hermanas, tenía una relación estrecha con su madre, y se dice que ambos compartían la misma cama hasta que él se fue a la universidad. ^{[14] [15]}

Cuando tenía 16 años, su padre le enseñó dos asignaturas que se convertirían en sus favoritas de toda la vida: las series infinitas y la teoría de conjuntos . En la escuela secundaria, Erdős se convirtió en un apasionado solucionador de los problemas que aparecían cada mes en KöMaL , la "Revista matemática y física para escuelas secundarias". ^[16]

Erdős comenzó a estudiar en la Universidad de Budapest cuando tenía 17 años después de ganar un examen nacional. En ese momento, la admisión de judíos a las universidades húngaras estaba severamente restringida bajo el numerus clausus . ^{[13] [17]} Cuando tenía 20 años, había encontrado una prueba para el teorema de Chebyshev . ^[17] En 1934, a la edad de 21 años, recibió un doctorado en matemáticas. ^[17] El asesor de tesis de Erdős fue Lipót Fejér , quien también fue asesor de tesis de John von Neumann , George Pólya y Paul (Pál) Turán . Aceptó una beca posdoctoral en Manchester , ya que los judíos en Hungría sufrían la opresión bajo el régimen autoritario . Mientras estaba allí conoció a Godfrey Harold Hardy y Stan Ulam . ^[13]

Erdős decidió que Hungría era peligrosa por ser judío y abandonó el país, trasladándose a los Estados Unidos en 1938. ^[17] Muchos miembros de la familia de Erdős, incluidas dos de sus tías, dos de sus tíos y su padre, murieron en Budapest durante la Segunda Guerra Mundial. Su madre fue la única que sobrevivió. Erdős vivía en Estados Unidos y trabajaba en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en ese momento. ^{[17] [18]} Sin embargo, su beca en Princeton solo se extendió por seis meses en lugar del año esperado debido a que Erdős no se ajustaba a los estándares del lugar; lo encontraron "grosero y poco convencional". ^[13]

Descrito por su biógrafo, Paul Hoffman, como "probablemente el matemático más excéntrico del mundo", Erdős pasó la mayor parte de su vida adulta viviendo en una maleta . ^[19] A excepción de algunos años en la década de 1950, cuando no se le permitió ingresar a los Estados Unidos debido a la acusación de que era un simpatizante comunista, su vida fue una serie continua de idas y venidas de una reunión o seminario a otro. ^[19] Durante sus visitas, Erdős esperaba que sus anfitriones lo alojaran, lo alimentaran y lavaran su ropa, junto con cualquier otra cosa que necesitara, así como también que organizaran todo lo necesario para que llegara a su próximo destino. ^[19]

Ulam dejó su puesto en la Universidad de Wisconsin-Madison en 1943 para trabajar en el Proyecto Manhattan en Los Álamos, Nuevo México, junto con otros matemáticos y físicos. Invitó a Erdős a unirse al proyecto, pero la invitación fue retirada cuando Erdős expresó su deseo de regresar a Hungría después de la guerra. ^[13]

El 20 de septiembre de 1996, a la edad de 83 años, sufrió un ataque cardíaco y murió mientras asistía a una conferencia en Varsovia . ^[20] Estas circunstancias se acercaban mucho a la forma en que quería morir. Una vez dijo:

Quiero estar dando una conferencia, terminando una prueba importante en la pizarra, cuando alguien del público grite: "¿Qué pasa con el caso general?". Me daré vuelta hacia el público y sonreiré, "Dejaré eso para la próxima generación", y luego me desplomaré. ^[20]

Erdős nunca se casó y no tuvo hijos. ^[9] Está enterrado junto a su madre y su padre en el cementerio judío de la calle Kozma en Budapest. ^[21] Para su epitafio , sugirió "Finalmente dejé de volverme más tonto". (En húngaro: "Végre nem butulok tovább" ). ^[22]

El nombre de Erdős contiene la letra húngara " ő " ("o" con doble acento agudo ), pero a menudo se escribe incorrectamente como Erdos o Erdös "por error o por necesidad tipográfica". ^[23]

En 1934, Erdős se mudó a Manchester , Inglaterra, para ser profesor invitado. En 1938, aceptó su primer puesto estadounidense como becario en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey, durante los siguientes diez años. A pesar de sus destacados trabajos con Mark Kac y Aurel Wintner sobre teoría probabilística de números , Pál Turán sobre teoría de aproximación y Witold Hurewicz sobre teoría de la dimensión, su beca no continuó y Erdős se vio obligado a aceptar puestos como académico itinerante en UPenn , Notre Dame , Purdue , Stanford y Syracuse . ^[24] No permanecería mucho tiempo en un solo lugar, sino que viajaría entre instituciones matemáticas hasta su muerte.

Como resultado del pánico rojo y el macartismo , ^{[25] [26] [27]} en 1954, el Servicio de Inmigración y Naturalización le negó a Erdős, ciudadano húngaro, una visa de reingreso a los Estados Unidos. ^[28] Erdős, que enseñaba en la Universidad de Notre Dame en ese momento, podría haber elegido quedarse en el país. En cambio, hizo las maletas y se fue, aunque solicitó una reconsideración del Servicio de Inmigración de los EE. UU. en intervalos periódicos. En algún momento se mudó a vivir a Israel, y le dieron un puesto por tres meses en la Universidad Hebrea de Jerusalén, y luego un puesto de "profesor visitante permanente" en el Technion.

Hungría estaba entonces bajo el Pacto de Varsovia con la Unión Soviética . Aunque Hungría limitaba la libertad de sus ciudadanos para entrar y salir del país, en 1956 le dio a Erdős el privilegio exclusivo de poder entrar y salir del país cuando quisiera.

En 1963, el Servicio de Inmigración de Estados Unidos le concedió un visado y Erdős reanudó sus actividades docentes y de viajes a instituciones estadounidenses. Diez años después, en 1973, Erdős, de 60 años, abandonó Hungría voluntariamente. ^[29]

Durante las últimas décadas de su vida, Erdős recibió al menos quince doctorados honorarios. Se convirtió en miembro de las academias científicas de ocho países, incluida la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos y la Royal Society del Reino Unido . ^[30] Se convirtió en miembro extranjero de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos en 1977. ^[31] Poco antes de su muerte, renunció a su título honorario de la Universidad de Waterloo por lo que consideró un trato injusto a su colega Adrian Bondy . ^{[32] [33]}

Erdős fue uno de los editores de artículos más prolíficos de la historia de las matemáticas, comparable solo con Leonhard Euler ; Erdős publicó más artículos, principalmente en colaboración con otros matemáticos, mientras que Euler publicó más páginas, principalmente por sí mismo. ^[34] Erdős escribió alrededor de 1.525 artículos matemáticos en su vida, ^[35] principalmente con coautores. Creía firmemente en las matemáticas y las practicaba como una actividad social, ^[36] teniendo 511 colaboradores diferentes en su vida. ^[37]

En su estilo matemático, Erdős era mucho más un "solucionador de problemas" que un "desarrollador de teorías" (véase "Las dos culturas de las matemáticas" ^[38] de Timothy Gowers para una discusión en profundidad de los dos estilos, y por qué los solucionadores de problemas son quizás menos apreciados). Joel Spencer afirma que "su lugar en el panteón matemático del siglo XX es un asunto de cierta controversia porque se concentró resueltamente en teoremas y conjeturas particulares a lo largo de su ilustre carrera". ^[39] Erdős nunca ganó la Medalla Fields (el premio matemático más alto disponible durante su vida), ni fue coautor de un artículo con nadie que lo hiciera, ^[40] un patrón que se extiende a otros premios. ^[41] Ganó el Premio Wolf 1983/84 , "por sus numerosas contribuciones a la teoría de números , la combinatoria , la probabilidad , la teoría de conjuntos y el análisis matemático , y por estimular personalmente a los matemáticos de todo el mundo". ^[42] En cambio, las obras de los tres ganadores posteriores fueron reconocidas como “sobresalientes”, “clásicas” y “profundas”, y las de los tres anteriores como “fundamentales” o “seminales”.

Entre sus contribuciones destacan especialmente el desarrollo de la teoría de Ramsey y la aplicación del método probabilístico . La combinatoria extrema le debe todo un enfoque, derivado en parte de la tradición de la teoría analítica de números . Erdős encontró una prueba para el postulado de Bertrand que resultó ser mucho más nítida que la original de Chebyshev . También descubrió la primera prueba elemental para el teorema de los números primos , junto con Atle Selberg . Sin embargo, las circunstancias que llevaron a las pruebas, así como los desacuerdos en la publicación, llevaron a una amarga disputa entre Erdős y Selberg. ^{[43] [44]} Erdős también contribuyó a campos en los que tenía poco interés real, como la topología , donde se le atribuye ser la primera persona en dar un ejemplo de un espacio topológico totalmente desconectado que no es cero-dimensional , el espacio de Erdős . ^[45]

Erdős tenía fama de plantear nuevos problemas y resolver los ya existentes: Ernst Strauss lo llamó "el monarca absoluto de los planteadores de problemas". ^[7] A lo largo de su carrera, Erdős ofrecía pagos por soluciones a problemas no resueltos. ^[46] Estos iban desde 25 dólares por problemas que consideraba que estaban fuera del alcance del pensamiento matemático actual (tanto el suyo como el de otros) hasta 10.000 dólares ^[47] por problemas que eran difíciles de abordar y matemáticamente significativos. Algunos de estos problemas ya se han resuelto, incluido el más lucrativo: la conjetura de Erdős sobre los huecos primos se resolvió en 2014 y se pagaron los 10.000 dólares. ^[48]

Se cree que quedan al menos mil problemas sin resolver, aunque no existe una lista oficial o exhaustiva. Las ofertas se mantuvieron activas a pesar de la muerte de Erdős; Ronald Graham era el administrador (informal) de las soluciones, y quien las resolviera podía recibir un cheque original firmado por Erdős antes de su muerte (solo como recuerdo, no se puede cobrar) o un cheque cobrable de Graham. ^{[49] [ necesita actualización ]} El matemático británico Thomas Bloom inició un sitio web dedicado a los problemas de Erdős en 2024. ^[50]

Quizás el más notable de estos problemas desde el punto de vista matemático es la conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas :

Si la suma de los recíprocos de una secuencia de números enteros diverge , entonces la secuencia contiene progresiones aritméticas de longitud arbitraria.

De ser cierto, resolvería varios otros problemas abiertos en la teoría de números (aunque una implicación principal de la conjetura, que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas, ha sido probada desde entonces de manera independiente como el teorema de Green-Tao ). El pago por la solución del problema asciende actualmente a 5.000 dólares estadounidenses. ^[51]

El problema más conocido que conlleva un premio Erdős es probablemente la conjetura de Collatz , también llamada el problema 3 N  + 1. Erdős ofreció 500 dólares por una solución.

Entre los colaboradores más frecuentes de Erdős se encuentran los matemáticos húngaros András Sárközy (62 artículos) y András Hajnal (56 artículos), y el matemático estadounidense Ralph Faudree (50 artículos). Otros colaboradores frecuentes fueron los siguientes: ^[52]

Para otros coautores de Erdős, consulte la lista de personas con el número de Erdős 1 en Lista de personas por número de Erdős .

Debido a su prolífica producción, sus amigos crearon el número de Erdős como tributo. Un número de Erdős describe el grado de separación de una persona respecto de Erdős mismo, en función de su colaboración con él o con otra persona que tenga su propio número de Erdős. Solo a Erdős se le asignó el número de Erdős de 0 (por ser él mismo), mientras que sus colaboradores inmediatos podían reclamar un número de Erdős de 1, sus colaboradores tienen un número de Erdős como máximo de 2, y así sucesivamente. Aproximadamente 200.000 matemáticos tienen un número de Erdős asignado, ^[53] y algunos han estimado que el 90 por ciento de los matemáticos activos del mundo tienen un número de Erdős menor que 8 (lo cual no sorprende a la luz del fenómeno del mundo pequeño ). Debido a las colaboraciones con matemáticos, muchos científicos en campos como la física, la ingeniería, la biología y la economía también tienen números de Erdős. ^[54]

Varios estudios han demostrado que los matemáticos más destacados tienden a tener números de Erdős particularmente bajos. ^[55] Por ejemplo, los aproximadamente 268.000 matemáticos con un número de Erdős conocido tienen un valor medio de 5. ^[56] En contraste, el número de Erdős medio de los medallistas Fields es 3. ^[57] A partir de 2015, aproximadamente 11.000 matemáticos tienen un número de Erdős de 2 o menos. ^{[58] [59]} Las distancias de colaboración aumentarán necesariamente en escalas de tiempo largas, a medida que los matemáticos con números de Erdős bajos mueran y dejen de estar disponibles para la colaboración. La American Mathematical Society proporciona una herramienta gratuita en línea para determinar el número de Erdős de cada autor matemático incluido en el catálogo de Mathematical Reviews . ^[60]

El número de Erdős fue definido por primera vez por Casper Goffman ^[61], un analista cuyo número de Erdős es 2; Goffman fue coautor junto con el matemático Richard B. Darst, quien fue coautor junto con Erdős. ^[62] Goffman publicó sus observaciones sobre la prolífica colaboración de Erdős en un artículo de 1969 titulado "¿Y cuál es tu número de Erdős?" ^[63]

Jerry Grossman ha escrito que se podría argumentar que el miembro del Salón de la Fama del Béisbol Hank Aaron puede considerarse que tiene un número de Erdős de 1 porque ambos autografiaron la misma pelota de béisbol (para Carl Pomerance ) cuando la Universidad Emory les otorgó títulos honorarios el mismo día. ^[64] También se han propuesto números de Erdős para un bebé, un caballo y varios actores. ^[65]

Las posesiones significaban poco para Erdős; la mayoría de sus pertenencias cabían en una maleta, como dictaba su estilo de vida itinerante. Los premios y otras ganancias generalmente se donaban a personas necesitadas y a diversas causas nobles. Pasó la mayor parte de su vida viajando entre conferencias científicas, universidades y las casas de colegas de todo el mundo. Ganaba lo suficiente en estipendios de universidades como profesor invitado y en varios premios matemáticos para financiar sus viajes y necesidades básicas; el dinero que le quedaba lo usaba para financiar premios en efectivo por pruebas de los "problemas de Erdős" (ver arriba). Normalmente se presentaba en la puerta de un colega y le anunciaba "mi cerebro está abierto", quedándose el tiempo suficiente para colaborar en algunos artículos antes de irse unos días después. En muchos casos, preguntaba al colaborador actual a quién visitar a continuación.

Su colega Alfréd Rényi dijo: "un matemático es una máquina para convertir el café en teoremas", ^[67] y Erdős bebió cantidades copiosas; esta cita a menudo se atribuye incorrectamente a Erdős, ^[68] pero Erdős mismo se la atribuyó a Rényi. ^[69] Después de la muerte de su madre en 1971, comenzó a tomar antidepresivos y anfetaminas, a pesar de la preocupación de sus amigos, uno de los cuales ( Ron Graham ) le apostó $ 500 a que no podría dejar de tomarlos durante un mes. Erdős ganó la apuesta, pero se quejó de que afectó su desempeño: "Me has demostrado que no soy un adicto. Pero no hice ningún trabajo. Me levantaba por la mañana y miraba una hoja de papel en blanco. No tenía ideas, como una persona común. Has retrasado las matemáticas un mes". ^[70] Después de ganar la apuesta, rápidamente reanudó su consumo de Ritalin y Benzedrine . ^[71]

Tenía su propio vocabulario idiosincrásico; aunque era un ateo agnóstico , ^{[72] [73]} hablaba de "El Libro", una visualización de un libro en el que Dios había escrito las mejores y más elegantes pruebas de los teoremas matemáticos. ^[74] En una conferencia en 1985 dijo: "No tienes que creer en Dios, pero deberías creer en El Libro ". Él mismo dudaba de la existencia de Dios. ^{[75] [76]} Lo apodó juguetonamente SF (por "Fascista Supremo"), acusándolo de esconder sus calcetines y pasaportes húngaros , y de guardarse las pruebas matemáticas más elegantes para sí mismo. Cuando veía una prueba matemática particularmente hermosa , exclamaba: "¡Ésta es del Libro !" Esto más tarde inspiró un libro titulado Pruebas del Libro .

Otros elementos idiosincrásicos del vocabulario de Erdős incluyen: ^[71]

• A los niños se les llamaba " épsilons " (porque en matemáticas, particularmente en cálculo , una cantidad positiva arbitrariamente pequeña se denota comúnmente con la letra griega (ε)).
• Las mujeres eran "jefas" que "capturaban" a los hombres como "esclavos" casándose con ellos. Los hombres divorciados eran "liberados".
• Las personas que dejaron de hacer matemáticas "murieron", mientras que las personas que murieron "se fueron".
• Las bebidas alcohólicas eran "veneno".
• La música (excepto la música clásica) era "ruido".
• Ser considerado un pirata informático equivalía a ser un "Newton".
• Dar una conferencia matemática era "predicar".
• Las conferencias de matemáticas en sí mismas eran "sermones". ^[77]
• Dar un examen oral a los estudiantes era “torturarlos”.

Le dio apodos a muchos países, por ejemplo: Estados Unidos era "samland" (en honor al Tío Sam ) ^[71] y la Unión Soviética era "joedom" (en honor a Joseph Stalin ). ^[71] Afirmó que el hindi era el mejor idioma porque las palabras para vejez ( bud̩d̩hā ) y estupidez ( buddhū ) sonaban casi igual. ^[78]

Erdős firmó con su nombre "Paul Erdos PGOM". Cuando cumplió 60 años añadió "LD", a los 65 "AD", a los 70 "LD" (de nuevo) y a los 75 "CD" ^[78].

• PGOM representó al "Pobre Gran Viejo"
• El primer LD representó a "Muertos Vivientes"
• AD representó "Descubrimiento arqueológico"
• El segundo LD representó "Legalmente muerto"
• CD representado "Condes Muertos" ^{[79] [80]}

Erdős es el tema de al menos tres libros: dos biografías ( El hombre que amaba solo los números de Hoffman y Mi cerebro está abierto de Schechter , ambas publicadas en 1998) y un libro ilustrado para niños de 2013 de Deborah Heiligman ( El niño que amaba las matemáticas: La improbable vida de Paul Erdős ). ^[81]

También es el tema del documental biográfico N is a Number: A Portrait of Paul Erdős de George Csicsery , ^[82] realizado mientras aún estaba vivo.

En 2021, el planeta menor ( asteroide ) 405571 (designado temporalmente 2005 QE87) recibió el nombre formal de "Erdőspál" para conmemorar a Erdős, y la cita lo describe como "un matemático húngaro, gran parte de cuyo trabajo se centró en las matemáticas discretas. Su trabajo se inclinó hacia la solución de problemas previamente abiertos, en lugar de desarrollar o explorar nuevas áreas de las matemáticas". ^[83] El nombre fue propuesto por "K. Sárneczky, Z. Kuli" (Kuli es el descubridor del asteroide).

• Lista de temas que llevan el nombre de Paul Erdős  , incluidas conjeturas, números, premios y teoremas
• Juego de hacer cajas
• Sistema de cobertura  : conjunto de un número finito de clases de residuos cuya unión contiene todos los números enteros.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Dimensión (teoría de grafos)  : propiedad de los grafos no dirigidos relacionada con sus representaciones en espaciosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Teorema del circuito par  : teorema que establece que un grafo de vértices 𝑛 que no tiene un ciclo simple de longitud 2𝑘 solo puede tener O(𝑛¹⁺¹ꜘᵏ) aristasPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Gráfico de amistad  : gráfico de triángulos con un vértice compartido
• Problema de superposición mínima
• Método probabilístico  – Método no constructivo para demostraciones matemáticas
• Teoría probabilística de números  – Subcampo de la teoría de números
• Los marcianos (científicos)  : grupo de destacados científicos húngaros

• Bruno, Leonard C. (2003) [1999]. Matemáticas y matemáticos: la historia de los descubrimientos matemáticos en todo el mundo . Baker, Lawrence W. Detroit, Michigan: UX L. ISBN 978-0787638139.OCLC 41497065  .
• Schechter, Bruce (1998). Mi cerebro está abierto: los viajes matemáticos de Paul Erdős. Nueva York: Simon & Schuster . ISBN 978-0-684-84635-4.
• Bollobás, Béla (diciembre de 1996). "Una vida de matemáticas: Paul Erdos, 1913-1996" (PDF) . Focus . 16 (6). Washington, DC: Mathematical Association of America : 4. Consultado el 6 de mayo de 2022 .
• Hoffman, Paul (1998). El hombre que sólo amaba los números: La historia de Paul Erdős y la búsqueda de la verdad matemática . Londres: Fourth Estate Ltd. ISBN 978-1-85702-811-9.

• Aigner, Martin ; Ziegler, Günther (2014). Pruebas de EL LIBRO . Berlín; Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-3-662-44205-0. ISBN 978-3-662-44204-3.

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Wikiquote tiene citas relacionadas con Paul Erdős .

• Perfil de Google Scholar de Erdős
• Colección de búsqueda de (casi) todos los documentos de Erdős
• Base de datos de problemas propuestos por Erdős
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Paul Erdős", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
• Paul Erdős en el Proyecto de Genealogía Matemática
• Jerry Grossman en la Universidad de Oakland. El proyecto del número de Erdös
• El hombre que sólo amaba los números: conferencia pública de Paul Hoffman en la Royal Society (vídeo)
• Radiolab: Números, con una historia sobre Paul Erdős
• Fan Chung, "Problemas abiertos de Paul Erdős en teoría de grafos"