Ecuación de onda

La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden para la descripción de ondas o campos de ondas estacionarias como ondas mecánicas (por ejemplo, ondas de agua , ondas sonoras y ondas sísmicas ) u ondas electromagnéticas (incluidas las ondas de luz ). Surge en campos como la acústica , el electromagnetismo y la dinámica de fluidos .

Este artículo se centra en las ondas en la física clásica . La física cuántica utiliza una ecuación de onda basada en operadores, a menudo como una ecuación de onda relativista .

La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial hiperbólica que describe ondas, incluidas las ondas viajeras y estacionarias ; estas últimas pueden considerarse como superposiciones lineales de ondas que viajan en direcciones opuestas. Este artículo se centra principalmente en la ecuación de onda escalar que describe ondas en escalares mediante funciones escalares u = u (x, y, z, t) de una variable de tiempo t (una variable que representa el tiempo) y una o más variables espaciales x, y, z (variables que representan una posición en un espacio en discusión). Al mismo tiempo, existen ecuaciones de onda vectoriales que describen ondas en vectores, como ondas para un campo eléctrico, un campo magnético y ondas potenciales y elásticas vectoriales magnéticas. En comparación con las ecuaciones de onda vectoriales, la ecuación de onda escalar puede verse como un caso especial de las ecuaciones de onda vectoriales; en el sistema de coordenadas cartesianas , la ecuación de onda escalar es la ecuación que debe satisfacer cada componente (para cada eje de coordenadas, como el componente x para el eje x ) de una onda vectorial sin fuentes de ondas en el dominio considerado (es decir, espacio y tiempo). Por ejemplo, en el sistema de coordenadas cartesianas, como representación de una onda de campo vectorial eléctrico en ausencia de fuentes de onda, cada componente del eje de coordenadas ( i = x , y , z ) debe satisfacer la ecuación de onda escalar. Otras soluciones de la ecuación de onda escalar u son para cantidades físicas en escalares, como la presión en un líquido o gas, o el desplazamiento a lo largo de una dirección específica de partículas de un sólido vibrante alejándose de sus posiciones de reposo (equilibrio).${\ Displaystyle (E_ {x}, E_ {y}, E_ {z})}$${\displaystyle {\vec {E}}}$$Estilo de visualización E_{i}}$

La ecuación de onda escalar es

dónde

• c es un coeficiente real fijo no negativo que representa la velocidad de propagación de la onda.
• u es un campo escalar que representa el desplazamiento o, más generalmente, la cantidad conservada (por ejemplo, presión o densidad ).
• x , y y z son las tres coordenadas espaciales y t es la coordenada temporal.

La ecuación establece que, en cualquier punto dado, la segunda derivada de con respecto al tiempo es proporcional a la suma de las segundas derivadas de con respecto al espacio, siendo la constante de proporcionalidad el cuadrado de la velocidad de la onda.${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización u}$

Usando notaciones del cálculo vectorial , la ecuación de onda se puede escribir de manera compacta como o donde el subíndice doble denota la derivada parcial de segundo orden con respecto al tiempo, es el operador de Laplace y el operador d'Alembert , definido como:$${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\Delta u,}$$$${\displaystyle \Cuadro u=0,}$$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle \Cuadro}$$${\displaystyle u_{tt}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}},\qquad \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .}$$

La solución de esta ecuación de onda (bidireccional) puede ser bastante complicada. Sin embargo, se puede analizar como una combinación lineal de soluciones simples que son ondas planas sinusoidales con distintas direcciones de propagación y longitudes de onda, pero todas con la misma velocidad de propagación c . Este análisis es posible porque la ecuación de onda es lineal y homogénea, de modo que cualquier múltiplo de una solución también es una solución, y la suma de dos soluciones cualesquiera es nuevamente una solución. Esta propiedad se denomina principio de superposición en física.

La ecuación de onda por sí sola no especifica una solución física; una solución única se obtiene generalmente planteando un problema con condiciones adicionales, como las condiciones iniciales , que prescriben la amplitud y la fase de la onda. Otra clase importante de problemas se produce en espacios cerrados especificados por condiciones de contorno , para las cuales las soluciones representan ondas estacionarias o armónicos , análogos a los armónicos de los instrumentos musicales.

La ecuación de onda en una dimensión espacial se puede escribir de la siguiente manera: Esta ecuación se describe típicamente como si tuviera solo una dimensión espacial x , porque la única otra variable independiente es el tiempo t .$${\displaystyle {\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2}}}.}$$

La ecuación de onda en una dimensión espacial se puede derivar en una variedad de situaciones físicas diferentes. El caso más conocido es el de una cuerda que vibra en un plano bidimensional, con cada uno de sus elementos siendo empujado en direcciones opuestas por la fuerza de tensión . ^[2]

Otra configuración física para la derivación de la ecuación de onda en una dimensión espacial utiliza la ley de Hooke . En la teoría de la elasticidad , la ley de Hooke es una aproximación para ciertos materiales, que establece que la cantidad en la que se deforma un cuerpo material (la deformación ) está relacionada linealmente con la fuerza que causa la deformación (la tensión ).

La ecuación de onda en el caso unidimensional se puede derivar de la ley de Hooke de la siguiente manera: imaginemos una serie de pequeñas pesas de masa m interconectadas con resortes sin masa de longitud h . Los resortes tienen una constante elástica de k :

Aquí la variable dependiente u ( x ) mide la distancia desde el equilibrio de la masa situada en x , de modo que u ( x ) mide esencialmente la magnitud de una perturbación (es decir, la deformación) que se propaga en un material elástico. La fuerza resultante ejercida sobre la masa m en la posición x + h es:$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}}$$

Al equiparar la última ecuación con

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Newton}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t),\end{aligned}}}$$

La ecuación de movimiento para el peso en la ubicación x + h se obtiene: Si el conjunto de pesas consta de N pesas espaciadas uniformemente sobre la longitud L = Nh de masa total M = Nm , y la constante de resorte total del conjunto K = k / N , podemos escribir la ecuación anterior como$${\displaystyle {\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.}$$

Tomando el límite N → ∞, h → 0 y asumiendo suavidad, se obtiene que es de la definición de una segunda derivada . KL ² / M es el cuadrado de la velocidad de propagación en este caso particular.$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},}$$

En el caso de un pulso de tensión que se propaga longitudinalmente a través de una barra, la barra actúa de forma muy similar a un número infinito de resortes en serie y puede tomarse como una extensión de la ecuación derivada de la ley de Hooke. Una barra uniforme, es decir, de sección transversal constante, hecha de un material elástico lineal tiene una rigidez K dada por donde A es el área de la sección transversal y E es el módulo de Young del material. La ecuación de onda se convierte en$${\displaystyle K={\frac {EA}{L}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {EAL}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.}$$

AL es igual al volumen de la barra, y por lo tanto donde ρ es la densidad del material. La ecuación de onda se reduce a$${\displaystyle {\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.}$$

La velocidad de una onda de tensión en una barra es por lo tanto .${\displaystyle {\sqrt {E/\rho }}}$

Para la ecuación de onda unidimensional se puede encontrar una solución general relativamente simple. Al definir nuevas variables ^[3] se cambia la ecuación de onda a la que se llega a la solución general$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=x-ct,\\\eta &=x+ct\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}(x,t)=0,}$$$${\displaystyle u(x,t)=F(\xi )+G(\eta )=F(x-ct)+G(x+ct).}$$

En otras palabras, la solución es la suma de una función que se desplaza hacia la derecha F y una función que se desplaza hacia la izquierda G. "Desplazarse" significa que la forma de estas funciones arbitrarias individuales con respecto a x permanece constante, sin embargo, las funciones se trasladan hacia la izquierda y hacia la derecha con el tiempo a la velocidad c . Esto fue deducido por Jean le Rond d'Alembert . ^[4]

Otra forma de llegar a este resultado es factorizar la ecuación de onda utilizando dos operadores diferenciales de primer orden: Luego, para nuestra ecuación original, podemos definir y encontrar que debemos tener$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.}$$$${\displaystyle v\equiv {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.}$$

Esta ecuación de advección se puede resolver interpretándola como que nos dice que la derivada direccional de v en la dirección (1, -c ) es 0. Esto significa que el valor de v es constante en líneas características de la forma x + ct = x ₀ , y por lo tanto que v debe depender sólo de x + ct , es decir, tener la forma H ( x + ct ) . Entonces, para resolver la primera ecuación (no homogénea) que relaciona v con u , podemos notar que su solución homogénea debe ser una función de la forma F ( x - ct ) , por lógica similar a la anterior. Adivinando una solución particular de la forma G ( x + ct ) , encontramos que

$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).}$$

Al expandir el lado izquierdo, reorganizar los términos y luego usar el cambio de variables s = x + ct, la ecuación se simplifica a

$${\displaystyle G'(s)={\frac {H(s)}{2c}}.}$$

Esto significa que podemos encontrar una solución particular G de la forma deseada por integración. Por lo tanto, hemos demostrado nuevamente que u obedece a u ( x , t ) = F ( x - ct ) + G ( x + ct ) . ^[5]

Para un problema de valor inicial , las funciones arbitrarias F y G se pueden determinar para satisfacer las condiciones iniciales:$${\displaystyle u(x,0)=f(x),}$$$${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}$$

El resultado es la fórmula de d'Alembert :$${\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.}$$

En el sentido clásico, si f ( x ) ∈ C ^k , y g ( x ) ∈ C ^{k −1} , entonces u ( t , x ) ∈ C ^k . Sin embargo, las formas de onda F y G también pueden ser funciones generalizadas , como la función delta. En ese caso, la solución puede interpretarse como un impulso que viaja hacia la derecha o hacia la izquierda.

La ecuación de onda básica es una ecuación diferencial lineal , por lo que se apegará al principio de superposición . Esto significa que el desplazamiento neto causado por dos o más ondas es la suma de los desplazamientos que habría causado cada onda individualmente. Además, el comportamiento de una onda se puede analizar descomponiéndola en componentes, por ejemplo, la transformada de Fourier descompone una onda en componentes sinusoidales.

Otra forma de resolver la ecuación de onda unidimensional es analizar primero sus modos propios de frecuencia . Un modo propio es una solución que oscila en el tiempo con una frecuencia angular constante bien definida ω , de modo que la parte temporal de la función de onda toma la forma e ^{− iωt} = cos( ωt ) − i sin( ωt ) , y la amplitud es una función f ( x ) de la variable espacial x , lo que da una separación de variables para la función de onda:$${\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).}$$

Esto produce una ecuación diferencial ordinaria para la parte espacial f ( x ) :$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right).}$$

Por lo tanto, que es precisamente una ecuación de valor propio para f ( x ) , de ahí el nombre de modo propio. Conocida como la ecuación de Helmholtz , tiene las conocidas soluciones de onda plana con número de onda k = ω / c .$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),}$$$${\displaystyle f(x)=Ae^{\pm ikx},}$$

La función de onda total para este modo propio es entonces la combinación lineal donde los números complejos A , B dependen en general de cualquier condición inicial y de contorno del problema.$${\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},}$$

Los modos propios son útiles para construir una solución completa a la ecuación de onda, porque cada uno de ellos evoluciona en el tiempo trivialmente con el factor de fase de modo que una solución completa puede descomponerse en una expansión de modo propio : o en términos de las ondas planas, que está exactamente en la misma forma que en el enfoque algebraico. Las funciones s _± ( ω ) se conocen como el componente de Fourier y están determinadas por condiciones iniciales y de contorno. Este es un llamado método de dominio de frecuencia , alternativo a las propagaciones directas en el dominio del tiempo , como el método FDTD , del paquete de ondas u ( x ,  t ) , que es completo para representar ondas en ausencia de dilataciones de tiempo. La completitud de la expansión de Fourier para representar ondas en presencia de dilataciones de tiempo ha sido desafiada por soluciones de ondas chirp que permiten la variación temporal de ω . ^[6] Las soluciones de ondas de chirrido parecen particularmente implicadas por residuos de radar muy grandes pero previamente inexplicables en la anomalía de sobrevuelo y difieren de las soluciones sinusoidales en que se pueden recibir a cualquier distancia solo en frecuencias y dilataciones de tiempo desplazadas proporcionalmente, correspondientes a estados de chirrido pasados ​​de la fuente.${\displaystyle e^{-i\omega t},}$$${\displaystyle u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}}$$

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La ecuación de onda vectorial (de la que se puede derivar directamente la ecuación de onda escalar) se puede obtener aplicando un equilibrio de fuerza a un elemento de volumen infinitesimal. En un continuo homogéneo (coordenada cartesiana ) con un módulo de elasticidad constante , una deflexión elástica vectorial causa el tensor de tensión . El equilibrio local de a) la fuerza de tensión debido a la deflexión y b) la fuerza inercial causada por la aceleración local se puede escribir como Al fusionar la densidad y el módulo de elasticidad, resulta la velocidad del sonido (ley material). Después de la inserción, sigue la conocida ecuación de onda gobernante para un medio homogéneo: ^[7] (Nota: en lugar de vectorial , solo se puede usar escalar , es decir, las ondas viajan solo a lo largo del eje, y la ecuación de onda escalar sigue como ).${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {T} =E\nabla \mathbf {u} }$${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {T} =\nabla \cdot (E\nabla \mathbf {u} )=E\Delta \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \rho \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}}$${\displaystyle \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}}$$${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-E\Delta \mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle E,}$${\displaystyle c={\sqrt {E/\rho }}}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta \mathbf {u} ={\boldsymbol {0}}.}$$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t),}$${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

La ecuación diferencial parcial vectorial anterior de segundo orden proporciona dos soluciones mutuamente independientes. A partir del término de velocidad cuadrática se puede ver que hay dos ondas que viajan en direcciones opuestas y son posibles, de ahí resulta la designación "ecuación de onda bidireccional". Se puede demostrar para la propagación de ondas longitudinales planas que la síntesis de dos ecuaciones de onda unidireccionales conduce a una ecuación de onda bidireccional general. Para la ecuación de dos ondas especial con el operador d'Alembert resulta: ^[8] Para esto se simplifica a Por lo tanto, la ecuación de onda unidireccional vectorial de primer orden con ondas que viajan en una dirección de propagación predefinida resulta ^[9] como${\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$${\displaystyle +c}$${\displaystyle -c}$${\displaystyle \nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,}$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )^{2}\right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$${\displaystyle \nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+c^{2}\Delta \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$${\displaystyle \mathbf {c} }$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$

A partir de la solución correspondiente para una onda esférica se puede obtener una solución del problema de valor inicial para la ecuación de onda en tres dimensiones espaciales. El resultado puede utilizarse también para obtener la misma solución en dos dimensiones espaciales.

Para obtener una solución con frecuencias constantes, se aplica la transformada de Fourier que transforma la ecuación de onda en una ecuación diferencial parcial elíptica de la forma:$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega ,}$$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.}$$

Esta es la ecuación de Helmholtz y se puede resolver mediante la separación de variables . En coordenadas esféricas, esto conduce a una separación de las variables radiales y angulares, escribiéndose la solución como: ^[10] La parte angular de la solución toma la forma de armónicos esféricos y la función radial satisface: independiente de , con . Sustituir transforma la ecuación en que es la ecuación de Bessel .$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{l,m}f_{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).}$$$${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle k^{2}=\omega ^{2}/c^{2}}$$${\displaystyle f_{l}(r)={\frac {1}{\sqrt {r}}}u_{l}(r),}$$$${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,}$$

Consideremos el caso l = 0. En ese caso, no hay dependencia angular y la amplitud depende únicamente de la distancia radial, es decir, Ψ( r , t ) → u ( r , t ) . En este caso, la ecuación de onda se reduce a ^{[ aclaración necesaria ]} o$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0,}$$$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0.}$$

Esta ecuación puede reescribirse como donde la cantidad ru satisface la ecuación de onda unidimensional. Por lo tanto, existen soluciones en la forma donde F y G son soluciones generales de la ecuación de onda unidimensional y pueden interpretarse como ondas esféricas de salida y de entrada respectivamente. La onda de salida puede generarse por una fuente puntual y hacen posible señales nítidas cuya forma se altera solo por una disminución de la amplitud a medida que r aumenta (ver una ilustración de una onda esférica en la parte superior derecha). Tales ondas existen solo en casos de espacio con dimensiones impares. ^{[ cita requerida ]}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,}$$$${\displaystyle u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),}$$

Para ver ejemplos físicos de soluciones a la ecuación de onda 3D que poseen dependencia angular, consulte radiación dipolar .

Aunque la palabra "monocromática" no es del todo precisa, ya que se refiere a luz o radiación electromagnética con frecuencia bien definida, el objetivo es descubrir el modo propio de la ecuación de onda en tres dimensiones. Siguiendo la derivación en la sección anterior sobre modos propios de ondas planas, si nuevamente restringimos nuestras soluciones a ondas esféricas que oscilan en el tiempo con una frecuencia angular constante bien definida ω , entonces la función transformada ru ( r , t ) tiene simplemente soluciones de ondas planas: o$${\displaystyle ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},}$$$${\displaystyle u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i(\omega t\pm kr)}.}$$

De esto podemos observar que la intensidad máxima de la oscilación de la onda esférica, caracterizada como la amplitud de la onda al cuadrado, cae a una tasa proporcional a 1/ r ² , un ejemplo de la ley del cuadrado inverso .$${\displaystyle I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}},}$$

La ecuación de onda es lineal en u y no se altera con las traslaciones en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, podemos generar una gran variedad de soluciones al trasladar y sumar ondas esféricas. Sea φ ( ξ , η , ζ ) una función arbitraria de tres variables independientes y sea la forma de onda esférica F una función delta . Sea una familia de ondas esféricas con centro en ( ξ , η , ζ ) , y sea r la distancia radial desde ese punto. Por lo tanto

$${\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.}$$

Si u es una superposición de tales ondas con función de ponderación φ , entonces el denominador 4 πc es una conveniencia.$${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta ;}$$

A partir de la definición de la función delta, u también puede escribirse como donde α , β y γ son coordenadas en la esfera unitaria S y ω es el elemento de área en S . Este resultado tiene la interpretación de que u ( t , x ) es t veces el valor medio de φ en una esfera de radio ct centrada en x :$${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,}$$$${\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].}$$

Resulta que$${\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).}$$

El valor medio es una función par de t , y por lo tanto, si entonces$${\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\psi ]{\big )},}$$$${\displaystyle v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.}$$

Estas fórmulas proporcionan la solución para el problema de valor inicial de la ecuación de onda. Muestran que la solución en un punto dado P , dado ( t , x , y , z ) depende únicamente de los datos sobre la esfera de radio ct que es intersectada por el cono de luz dibujado hacia atrás desde P . No depende de los datos sobre el interior de esta esfera. Por lo tanto, el interior de la esfera es una laguna para la solución. Este fenómeno se llama principio de Huygens . Solo es cierto para números impares de dimensión espacial, donde para una dimensión la integración se realiza sobre el límite de un intervalo con respecto a la medida de Dirac. ^{[11] [12]}

En dos dimensiones espaciales, la ecuación de onda es

$${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).}$$

Podemos utilizar la teoría tridimensional para resolver este problema si consideramos u como una función en tres dimensiones que es independiente de la tercera dimensión. Si

$${\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),}$$

Entonces la fórmula de la solución tridimensional se convierte en

$${\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,}$$

donde α y β son las dos primeras coordenadas de la esfera unitaria, y d ω es el elemento de área de la esfera. Esta integral puede reescribirse como una integral doble sobre el disco D con centro ( x , y ) y radio ct :

$${\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .}$$

Es evidente que la solución en ( t , x , y ) depende no sólo de los datos del cono de luz donde sino también de los datos interiores a ese cono.$${\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},}$$

Queremos encontrar soluciones para u _tt − Δ u = 0 para u  : R ⁿ × (0, ∞) → R con u ( x , 0) = g ( x ) y u _t ( x , 0) = h ( x ) . ^[13]

Supongamos que n ≥ 3 es un entero impar y g ∈ C ^{m +1} ( R ⁿ ) , h ∈ C ^m ( R ⁿ ) para m = ( n + 1)/2 . Sea γ _n = 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( n − 2) y sea

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]}$$

Entonces

• ${\displaystyle u\in C^{2}{\big (}\mathbf {R} ^{n}\times [0,\infty ){\big )}}$,
• ${\displaystyle u_{tt}-\Delta u=0}$en ,${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )}$
• ${\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})}$,
• ${\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}$.

Supongamos que n ≥ 2 es un entero par y g ∈ C ^{m +1} ( R ⁿ ) , h ∈ C ^m ( R ⁿ ) , para m = ( n + 2)/2 . Sea γ _n = 2 × 4 × ⋯ × n y sea

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]}$$

entonces

• u ∈ C ² ( R ⁿ × [0, ∞))
• u _tt − Δ u = 0 en R ⁿ × (0, ∞)
• ${\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})}$
• ${\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}$

Consideremos la ecuación de onda no homogénea en dimensiones. Al reescalar el tiempo, podemos establecer la velocidad de la onda .${\displaystyle 1+D}$$${\displaystyle (\partial _{tt}-c^{2}\nabla ^{2})u=s(t,x)}$$${\displaystyle c=1}$

Como la ecuación de onda tiene orden 2 en el tiempo, hay dos respuestas al impulso : un impulso de aceleración y un impulso de velocidad. El efecto de infligir un impulso de aceleración es cambiar repentinamente la velocidad de la onda . El efecto de infligir un impulso de velocidad es cambiar repentinamente el desplazamiento de la onda .${\displaystyle (\partial _{tt}-\nabla ^{2})u=s(t,x)}$${\displaystyle \partial _{t}u}$${\displaystyle u}$

Para el impulso de aceleración, donde es la función delta de Dirac . La solución de este caso se denomina función de Green para la ecuación de onda. ${\displaystyle s(t,x)=\delta ^{D+1}(t,x)}$${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle G}$

Para el impulso de velocidad, , entonces si resolvemos la función de Green , la solución para este caso es simplemente . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle s(t,x)=\partial _{t}\delta ^{D+1}(t,x)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \partial _{t}G}$

El uso principal de las funciones de Green es resolver problemas de valor inicial mediante el principio de Duhamel , tanto para el caso homogéneo como para el no homogéneo.

Dada la función de Green y las condiciones iniciales , la solución de la ecuación de onda homogénea es ^[14] donde el asterisco es la convolución en el espacio. Más explícitamente, para el caso no homogéneo, la solución tiene un término adicional por convolución en el espacio-tiempo:${\displaystyle G}$${\displaystyle u(0,x),\partial _{t}u(0,x)}$$${\displaystyle u=(\partial _{t}G)\ast u+G\ast \partial _{t}u}$$$${\displaystyle u(t,x)=\int (\partial _{t}G)(t,x-x')u(0,x')dx'+\int G(t,x-x')(\partial _{t}u)(0,x')dx'.}$$$${\displaystyle \iint _{t'<t}G(t-t',x-x')s(t',x')dt'dx'.}$$

Mediante una transformada de Fourier , el término puede integrarse mediante el teorema del residuo . Requeriría que perturbáramos ligeramente la integral ya sea por o por , porque es una integral impropia. Una perturbación da la solución directa y la otra la solución inversa. ^[15] La solución directa da La integral puede resolverse continuando analíticamente el núcleo de Poisson , dando ^{[14] [16]} donde es la mitad del área de superficie de una hiperesfera -dimensional . ^[16]$${\displaystyle {\hat {G}}(\omega )={\frac {1}{-\omega _{0}^{2}+\omega _{1}^{2}+\cdots +\omega _{D}^{2}}},\quad G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D+1}}}\int {\hat {G}}(\omega )e^{+i\omega _{0}t+i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d\omega _{0}d{\vec {\omega }}.}$$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle +i\epsilon }$${\displaystyle -i\epsilon }$$${\displaystyle G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int {\frac {\sin(\|{\vec {\omega }}\|t)}{\|{\vec {\omega }}\|}}e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }},\quad \partial _{t}G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int \cos(\|{\vec {\omega }}\|t)e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }}.}$$$${\displaystyle G(t,x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {C_{D}}{D-1}}\operatorname {Im} \left[\|x\|^{2}-(t-i\epsilon )^{2}\right]^{-(D-1)/2}}$$$${\displaystyle C_{D}=\pi ^{-(D+1)/2}\Gamma ((D+1)/2)}$$${\displaystyle (D+1)}$

Podemos relacionar la función de Green en dimensiones con la función de Green en dimensiones. ^[17]${\displaystyle D}$${\displaystyle D+n}$

Dada una función y una solución de una ecuación diferencial en dimensiones, podemos extenderla trivialmente a dimensiones estableciendo que las dimensiones adicionales sean constantes: Dado que la función de Green se construye a partir de y , la función de Green en dimensiones se integra a la función de Green en dimensiones:${\displaystyle s(t,x)}$${\displaystyle u(t,x)}$${\displaystyle (1+D)}$${\displaystyle (1+D+n)}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle s(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=s(t,x_{1:D}),\quad u(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=u(t,x_{1:D}).}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (1+D+n)}$${\displaystyle (1+D)}$$${\displaystyle G_{D}(t,x_{1:D})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}G_{D+n}(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})d^{n}x_{D+1:D+n}.}$$

La función de Green en dimensiones se puede relacionar con la función de Green en dimensiones. Por simetría esférica, Integrando en coordenadas polares, donde en la última igualdad hicimos el cambio de variables . Así, obtenemos la relación de recurrencia${\displaystyle D}$${\displaystyle D+2}$$${\displaystyle G_{D}(t,r)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+y^{2}+z^{2}}})dydz.}$$$${\displaystyle G_{D}(t,r)=2\pi \int _{0}^{\infty }G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+q^{2}}})qdq=2\pi \int _{r}^{\infty }G_{D+2}(t,q')q'dq',}$$${\displaystyle q'={\sqrt {r^{2}+q^{2}}}}$$${\displaystyle G_{D+2}(t,r)=-{\frac {1}{2\pi r}}\partial _{r}G_{D}(t,r).}$$

Cuando , el integrando en la transformada de Fourier es la función sinc donde es la función de signo y es la función de paso unitario . Una solución es la solución directa, la otra es la solución inversa.${\displaystyle D=1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}(t,x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\sin(|\omega |t)}{|\omega |}}e^{i\omega x}d\omega \\&={\frac {1}{2\pi }}\int \operatorname {sinc} (\omega )e^{i\omega {\frac {x}{t}}}d\omega \\&={\frac {\operatorname {sgn}(t-x)+\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}\\&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\theta (t-|x|)\quad t>0\\-{\frac {1}{2}}\theta (-t-|x|)\quad t<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \operatorname {sgn} }$${\displaystyle \theta }$

La dimensión se puede elevar para dar el caso y lo mismo para la solución inversa. Esto se puede integrar hacia abajo en una dimensión para dar el caso${\displaystyle D=3}$$${\displaystyle G_{3}(t,r)={\frac {\delta (t-r)}{4\pi r}}}$$${\displaystyle D=2}$$${\displaystyle G_{2}(t,r)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {\delta (t-r)}{4\pi {\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}dz={\frac {\theta (t-r)}{2\pi {\sqrt {t^{2}-r^{2}}}}}}$$

En este caso, la solución de la función de Green es la suma de dos frentes de onda que se mueven en direcciones opuestas.${\displaystyle D=1}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {sgn}(t-x)}{4}}+{\frac {\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}}$

En dimensiones impares, la solución directa es distinta de cero solo en . A medida que aumentan las dimensiones, la forma del frente de onda se vuelve cada vez más compleja, involucrando derivadas más altas de la función delta de Dirac. Por ejemplo, ^[17] donde , y se restablece la velocidad de onda.${\displaystyle t=r}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&G_{1}={\frac {1}{2c}}\theta (\tau )\\&G_{3}={\frac {1}{4\pi c^{2}}}{\frac {\delta (\tau )}{r}}\\&G_{5}={\frac {1}{8\pi ^{2}c^{2}}}\left({\frac {\delta (\tau )}{r^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{2}}}\right)\\&G_{7}={\frac {1}{16\pi ^{3}c^{2}}}\left(3{\frac {\delta (\tau )}{r^{4}}}+3{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime \prime }(\tau )}{c^{2}r^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle \tau =t-r}$${\displaystyle c}$

En dimensiones pares, la solución hacia delante es distinta de cero en , toda la región detrás del frente de onda se vuelve distinta de cero, llamada estela . La estela tiene la ecuación: ^[17] El frente de onda en sí también implica derivadas cada vez más altas de la función delta de Dirac.${\displaystyle r\leq t}$$${\displaystyle G_{D}(t,x)=(-1)^{1+D/2}{\frac {1}{(2\pi )^{D/2}}}{\frac {1}{c^{D}}}{\frac {\theta (t-r/c)}{\left(t^{2}-r^{2}/c^{2}\right)^{(D-1)/2}}}}$$

Esto significa que un principio general de Huygens (el desplazamiento de la onda en un punto del espacio-tiempo depende únicamente del estado en los puntos en que pasan rayos característicos ) sólo se cumple en dimensiones impares. Una interpretación física es que las señales transmitidas por ondas permanecen inalteradas en dimensiones impares, pero distorsionadas en dimensiones pares. ^{[18] : 698}${\displaystyle (t,x)}$${\displaystyle (t,x)}$

La conjetura de Hadamard afirma que este principio de Huygens generalizado sigue siendo válido en todas las dimensiones impares, incluso cuando los coeficientes de la ecuación de onda ya no son constantes. No es estrictamente correcta, pero sí lo es para ciertas familias de coeficientes ^{[18] : 765}

En el caso de una onda incidente que se propaga desde un medio (donde la velocidad de la onda es c ₁ ) a otro medio (donde la velocidad de la onda es c ₂ ), una parte de la onda se transmite al segundo medio, mientras que otra parte se refleja en la otra dirección y permanece en el primer medio. La amplitud de la onda transmitida y la onda reflejada se pueden calcular utilizando la condición de continuidad en el límite.

Consideremos el componente de la onda incidente con una frecuencia angular de ω , que tiene la forma de onda En t = 0 , la incidente alcanza el límite entre los dos medios en x = 0 . Por lo tanto, la onda reflejada correspondiente y la onda transmitida tendrán las formas de onda La condición de continuidad en el límite es Esto da las ecuaciones y tenemos la reflectividad y la transmisividad Cuando c ₂ < c ₁ , la onda reflejada tiene un cambio de fase de reflexión de 180°, ya que B / A < 0 . La conservación de la energía se puede verificar mediante La discusión anterior es válida para cualquier componente, independientemente de su frecuencia angular de ω .$${\displaystyle u^{\text{inc}}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)},\quad A\in \mathbb {C} .}$$$${\displaystyle u^{\text{refl}}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)},\quad u^{\text{trans}}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)},\quad B,C\in \mathbb {C} .}$$$${\displaystyle u^{\text{inc}}(0,t)+u^{\text{refl}}(0,t)=u^{\text{trans}}(0,t),\quad u_{x}^{\text{inc}}(0,t)+u_{x}^{\text{ref}}(0,t)=u_{x}^{\text{trans}}(0,t).}$$$${\displaystyle A+B=C,\quad A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C,}$$$${\displaystyle {\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}},\quad {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}.}$$$${\displaystyle {\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}.}$$

El caso límite de c ₂ = 0 corresponde a un "extremo fijo" que no se mueve, mientras que el caso límite de c ₂ → ∞ corresponde a un "extremo libre".

Una cuerda flexible que se estira entre dos puntos x = 0 y x = L satisface la ecuación de onda para t > 0 y 0 < x < L. En los puntos límite, u puede satisfacer una variedad de condiciones límite. Una forma general que es apropiada para las aplicaciones es

$${\displaystyle {\begin{aligned}-u_{x}(t,0)+au(t,0)&=0,\\u_{x}(t,L)+bu(t,L)&=0,\end{aligned}}}$$

donde a y b no son negativos. El caso en el que se requiere que u se anule en un punto final (es decir, "extremo fijo") es el límite de esta condición cuando a o b respectivamente tiende al infinito. El método de separación de variables consiste en buscar soluciones de este problema en la forma especial$${\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).}$$

Una consecuencia es que$${\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .}$$

El valor propio λ debe determinarse de modo que exista una solución no trivial del problema de valor límite.$${\displaystyle {\begin{aligned}v''+\lambda v=0,&\\-v'(0)+av(0)&=0,\\v'(L)+bv(L)&=0.\end{aligned}}}$$

Este es un caso especial del problema general de la teoría de Sturm-Liouville . Si a y b son positivos, los valores propios son todos positivos y las soluciones son funciones trigonométricas. Se puede obtener una solución que satisfaga las condiciones iniciales integrables al cuadrado para u y u _t a partir de la expansión de estas funciones en las series trigonométricas apropiadas.

La teoría de valores iniciales en la frontera unidimensionales puede extenderse a un número arbitrario de dimensiones espaciales. Consideremos un dominio D en un espacio x de dimensión m , con frontera B. Entonces, la ecuación de onda debe cumplirse si x está en D y t > 0. En la frontera de D , la solución u debe cumplir

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,}$$

donde n es la normal unitaria hacia afuera a B y a es una función no negativa definida en B. El caso en el que u se anula en B es un caso límite para una aproximación al infinito. Las condiciones iniciales son

$${\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),}$$

donde f y g están definidas en D . Este problema puede resolverse desarrollando f y g en las funciones propias del laplaciano en D , que satisfacen las condiciones de contorno. Por lo tanto, la función propia v satisface

$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0}$$

en D , y

$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0}$$

en B .

En el caso de dos dimensiones espaciales, las funciones propias pueden interpretarse como los modos de vibración de un parche de tambor estirado sobre el límite B. Si B es un círculo, entonces estas funciones propias tienen un componente angular que es una función trigonométrica del ángulo polar θ , multiplicado por una función de Bessel (de orden entero) del componente radial. Para más detalles, consulte la ecuación de Helmholtz .

Si el límite es una esfera en tres dimensiones espaciales, los componentes angulares de las funciones propias son armónicos esféricos y los componentes radiales son funciones de Bessel de orden semientero.

La ecuación de onda no homogénea en una dimensión es con condiciones iniciales$${\displaystyle u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)}$$$${\displaystyle u(x,0)=f(x),}$$$${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}$$

La función s ( x , t ) se suele denominar función fuente porque en la práctica describe los efectos de las fuentes de ondas en el medio que las transporta. Entre los ejemplos físicos de funciones fuente se incluyen la fuerza que impulsa una onda en una cuerda o la carga o densidad de corriente en el calibre de Lorenz del electromagnetismo .

Un método para resolver el problema de valores iniciales (con los valores iniciales como se plantearon anteriormente) es aprovechar una propiedad especial de la ecuación de onda en un número impar de dimensiones espaciales, a saber, que sus soluciones respetan la causalidad. Es decir, para cualquier punto ( x _i , t _i ) , el valor de u ( x _i , t _i ) depende solo de los valores de f ( x _i + ct _i ) y f ( x _i − ct _i ) y de los valores de la función g ( x ) entre ( x _i − ct _i ) y ( x _i + ct _i ) . Esto se puede ver en la fórmula de d'Alembert , establecida anteriormente, donde estas cantidades son las únicas que aparecen en ella. Físicamente, si la velocidad máxima de propagación es c , entonces ninguna parte de la onda que no pueda propagarse a un punto dado en un tiempo dado puede afectar la amplitud en el mismo punto y tiempo.

En términos de encontrar una solución, esta propiedad de causalidad significa que para cualquier punto dado en la línea que se está considerando, la única área que se necesita considerar es el área que abarca todos los puntos que podrían afectar causalmente al punto que se está considerando. Denotemos el área que afecta causalmente al punto ( x _i , t _i ) como R _C . Supongamos que integramos la ecuación de onda no homogénea sobre esta región:$${\displaystyle \iint _{R_{C}}{\big (}c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t){\big )}\,dx\,dt=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.}$$

Para simplificar esto en gran medida, podemos usar el teorema de Green para simplificar el lado izquierdo y obtener lo siguiente:$${\displaystyle \int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.}$$

El lado izquierdo es ahora la suma de tres integrales de línea a lo largo de los límites de la región de causalidad. Resultan bastante fáciles de calcular:$${\displaystyle \int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.}$$

En lo anterior, el término a integrar con respecto al tiempo desaparece porque el intervalo de tiempo involucrado es cero, por lo tanto dt = 0 .

Para los otros dos lados de la región, vale la pena notar que x ± ct es una constante, es decir x _i ± ct _i , donde el signo se elige apropiadamente. Usando esto, podemos obtener la relación d x ± c d t = 0 , nuevamente eligiendo el signo correcto:$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L_{1}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=\int _{L_{1}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=c\int _{L_{1}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}}$$