Ondícula de Haar

En matemáticas, la ondícula de Haar es una secuencia de funciones "cuadradas" reescaladas que juntas forman una familia o base de ondículas . El análisis de ondículas es similar al análisis de Fourier en el sentido de que permite representar una función objetivo en un intervalo en términos de una base ortonormal . La secuencia de Haar se reconoce actualmente como la primera base de ondículas conocida y se utiliza ampliamente como ejemplo didáctico.

La sucesión de Haar fue propuesta en 1909 por Alfréd Haar . ^[1] Haar utilizó estas funciones para dar un ejemplo de un sistema ortonormal para el espacio de funciones integrables al cuadrado en el intervalo unitario  [0, 1]. El estudio de las wavelets, e incluso el término "wavelet", no llegó hasta mucho después. Como caso especial de la wavelet de Daubechies , la wavelet de Haar también se conoce como Db1 .

La wavelet de Haar es también la wavelet más simple posible. La desventaja técnica de la wavelet de Haar es que no es continua y, por lo tanto, no es diferenciable . Esta propiedad, sin embargo, puede ser una ventaja para el análisis de señales con transiciones repentinas ( señales discretas ), como la monitorización de fallos de herramientas en máquinas. ^[2]

La función wavelet madre de la ondícula de Haar se puede describir como${\displaystyle \psi(t)}$

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{en caso contrario.}}\end{cases}}}$

Su función de escalamiento se puede describir como${\displaystyle \varphi(t)}$

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{en caso contrario.}}\end{cases}}}$

Para cada par n , k de números enteros en , la función de Haar ψ _{n , k} está definida en la línea real por la fórmula${\displaystyle \mathbb {Z}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$

${\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}tk),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Esta función se apoya en el intervalo abierto por la derecha I _{n , k} = [ k 2 ^{− n} , ( k +1)2 ^{− n} ) , es decir , se anula fuera de dicho intervalo. Tiene integral 0 y norma 1 en el espacio de Hilbert L ² ( ) ,  ${\displaystyle \mathbb {R}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}$

Las funciones de Haar son ortogonales por pares ^{[ ancla rota ]} ,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},}$

donde representa la delta de Kronecker . He aquí la razón de la ortogonalidad: cuando los dos intervalos de apoyo y no son iguales, entonces son disjuntos, o bien el menor de los dos apoyos, digamos , está contenido en la mitad inferior o superior del otro intervalo, en el que la función permanece constante. En este caso se deduce que el producto de estas dos funciones de Haar es un múltiplo de la primera función de Haar, por lo tanto el producto tiene integral 0.${\displaystyle \delta _{ij}}$${\ Displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}$${\ Displaystyle I_ {n_ {2}, k_ {2}}}$${\ Displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}$${\displaystyle \psi _{n_{2},k_{2}}}$

El sistema de Haar en la recta real es el conjunto de funciones

${\displaystyle \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\en \mathbb {Z} ,\;k\en \mathbb {Z} \}.}$

Está completo en L ² ( ): El sistema de Haar en la línea es una base ortonormal en L ² ( ).${\displaystyle \mathbb {R}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$

La ondícula de Haar tiene varias propiedades notables:

En esta sección, la discusión se limita al intervalo unitario [0, 1] y a las funciones de Haar que se apoyan en [0, 1]. El sistema de funciones considerado por Haar en 1910, ^[5] llamado el sistema de Haar en [0, 1] en este artículo, consiste en el subconjunto de wavelets de Haar definidos como

${\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n,k\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},}$

con la adición de la función constante 1 en [0, 1].

En términos del espacio de Hilbert , este sistema de Haar en [0, 1] es un sistema ortonormal completo, es decir , una base ortonormal , para el espacio L ² ([0, 1]) de funciones integrables al cuadrado en el intervalo unitario.

El sistema de Haar en [0, 1] —con la función constante 1 como primer elemento, seguida de las funciones de Haar ordenadas según el orden lexicográfico de pares ( n , k ) — es además una base de Schauder monótona para el espacio L ^p ([0, 1]) cuando 1 ≤ p < ∞ . ^[6] Esta base es incondicional cuando 1 < p < ∞ . ^[7]

Existe un sistema de Rademacher relacionado que consiste en sumas de funciones de Haar,

${\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.}$

Nótese que | r _n ( t )| = 1 en [0, 1). Este es un sistema ortonormal pero no es completo. ^{[8] [9]} En el lenguaje de la teoría de la probabilidad , la secuencia de Rademacher es una instancia de una secuencia de variables aleatorias de Bernoulli independientes con media  0. La desigualdad de Khintchine expresa el hecho de que en todos los espacios L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , la secuencia de Rademacher es equivalente a la base del vector unitario en ℓ ² . ^[10] En particular, el lapso lineal cerrado de la secuencia de Rademacher en L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , es isomorfo a ℓ ² .

El sistema Faber–Schauder ^{[11] [12] [13]} es la familia de funciones continuas en [0, 1] que consiste en la función constante  1 , y en múltiplos de integrales indefinidas de las funciones en el sistema de Haar en [0, 1], elegidas para tener norma 1 en la norma máxima . Este sistema comienza con s ₀  =  1 , luego s ₁ ( t ) = t es la integral indefinida que se anula en 0 de la función  1 , primer elemento del sistema de Haar en [0, 1]. A continuación, para cada entero n ≥ 0 , las funciones s _{n , k} se definen mediante la fórmula

${\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.}$

Estas funciones s _{n , k} son continuas, lineales por partes , soportadas por el intervalo I _{n , k} que también soporta ψ _{n , k} . La función s _{n , k} es igual a 1 en el punto medio x _{n , k} del intervalo  I _{n , k} , lineal en ambas mitades de ese intervalo. Toma valores entre 0 y 1 en todas partes.

El sistema Faber-Schauder es una base de Schauder para el espacio C ([0, 1]) de funciones continuas en [0, 1]. ^[6] Para cada  f en C ([0, 1]), la suma parcial

${\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}$

de la expansión en serie de f en el sistema Faber–Schauder es la función lineal continua por partes que concuerda con  f en los 2 ⁿ + 1 puntos k 2 ^{− n} , donde 0 ≤ k ≤ 2 ⁿ . A continuación, la fórmula

${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})- f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k} s_{n,k}}$

proporciona una manera de calcular la expansión de f paso a paso. Como f es uniformemente continua , la secuencia { f _n } converge uniformemente a f . De ello se deduce que la expansión de la serie de Faber-Schauder de f converge en C ([0, 1]), y la suma de esta serie es igual a  f .

El sistema Franklin se obtiene a partir del sistema Faber–Schauder mediante el procedimiento de ortonormalización de Gram–Schmidt . ^{[14] [15]} Dado que el sistema Franklin tiene el mismo intervalo lineal que el sistema Faber–Schauder, este intervalo es denso en C ([0, 1]), por lo tanto en L ² ([0, 1]). El sistema Franklin es, por lo tanto, una base ortonormal para L ² ([0, 1]), que consiste en funciones lineales continuas por partes. P. Franklin demostró en 1928 que este sistema es una base de Schauder para C ([0, 1]). ^[16] El sistema Franklin también es una base de Schauder incondicional para el espacio L ^p ([0, 1]) cuando 1 < p < ∞ . ^[17] El sistema Franklin proporciona una base de Schauder en el álgebra de discos A ( D ). ^[17] Esto fue demostrado en 1974 por Bočkarev, después de que la existencia de una base para el álgebra de discos había permanecido abierta durante más de cuarenta años. ^[18]

La construcción de Bočkarev de una base de Schauder en A ( D ) es la siguiente:  sea f una función Lipschitz de valor complejo en [0, π]; entonces  f es la suma de una serie de cosenos con coeficientes absolutamente sumables . Sea  T ( f ) el elemento de A ( D ) definido por la serie de potencias complejas con los mismos coeficientes,

${\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.}$

La base de Bočkarev para A ( D ) está formada por las imágenes bajo  T de las funciones en el sistema de Franklin en [0, π]. La descripción equivalente de Bočkarev para la función  T comienza extendiendo f a una función de Lipschitz  par g ₁ en [−π, π], identificada con una función de Lipschitz en el círculo unitario  T . A continuación, sea g ₂ la función conjugada de  g ₁ , y definamos T ( f ) como la función en  A ( D ) cuyo valor en el límite T de  D es igual a  g ₁ + i g ₂ .

Cuando se trabaja con funciones continuas 1-periódicas, o mejor dicho con funciones continuas f en [0, 1] tales que f (0) = f (1) , se elimina la función s ₁ ( t ) = t del sistema de Faber–Schauder, para obtener el sistema periódico de Faber–Schauder . El sistema periódico de Franklin se obtiene por ortonormalización a partir del sistema periódico de Faber–Schauder. ^[19] Se puede demostrar el resultado de Bočkarev en A ( D ) demostrando que el sistema periódico de Franklin en [0, 2π] es una base para un espacio de Banach A _r isomorfo a A ( D ). ^[19] El espacio A _r consiste en funciones continuas complejas en el círculo unitario T cuya función conjugada también es continua.

La matriz Haar 2×2 que está asociada con la ondícula de Haar es

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Utilizando la transformada wavelet discreta , se puede transformar cualquier secuencia de longitud par en una secuencia de vectores de dos componentes . Si se multiplica por la derecha cada vector con la matriz , se obtiene el resultado de una etapa de la transformada wavelet de Haar rápida. Normalmente se separan las secuencias s y d y se continúa con la transformación de la secuencia s . La secuencia s se conoce a menudo como la parte de promedios , mientras que d se conoce como la parte de detalles . ^[20]${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$${\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$

Si uno tiene una secuencia de longitud múltiplo de cuatro, puede construir bloques de 4 elementos y transformarlos de manera similar con la matriz de Haar 4×4.

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}$

que combina dos etapas de la transformada rápida wavelet de Haar.

Compárese con una matriz de Walsh , que es una matriz 1/–1 no localizada.

En general, la matriz de Haar 2N×2N se puede derivar mediante la siguiente ecuación.

${\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}$

¿Dónde y es el producto Kronecker ?${\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \otimes }$

El producto de Kronecker de , donde es una matriz m×n y es una matriz p×q, se expresa como${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$

A continuación se muestra una matriz de Haar de 8 puntos no normalizada.${\displaystyle H_{8}}$

${\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que la matriz anterior es una matriz Haar no normalizada. La matriz Haar requerida por la transformada Haar debe estar normalizada.

De la definición de la matriz de Haar , se puede observar que, a diferencia de la transformada de Fourier , sólo tiene elementos reales (es decir, 1, -1 o 0) y no es simétrica.${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Tomemos como ejemplo la matriz Haar de 8 puntos . La primera fila de mide el valor promedio y la segunda fila de mide un componente de baja frecuencia del vector de entrada. Las dos filas siguientes son sensibles a la primera y segunda mitad del vector de entrada respectivamente, que corresponden a componentes de frecuencia moderada. Las cuatro filas restantes son sensibles a la cuarta sección del vector de entrada, que corresponde a componentes de alta frecuencia. ^[21]${\displaystyle H_{8}}$${\displaystyle H_{8}}$${\displaystyle H_{8}}$

La transformada de Haar es la más simple de las transformadas wavelet . Esta transformada multiplica de forma cruzada una función por la wavelet de Haar con varios desplazamientos y estiramientos, al igual que la transformada de Fourier multiplica de forma cruzada una función por una onda sinusoidal con dos fases y muchos estiramientos. ^{[22] [ aclaración necesaria ]}

La transformada de Haar es una de las funciones de transformada más antiguas, propuesta en 1910 por el matemático húngaro Alfréd Haar . Se considera eficaz en aplicaciones como la compresión de señales e imágenes en ingeniería eléctrica e informática, ya que proporciona un enfoque simple y computacionalmente eficiente para analizar los aspectos locales de una señal.

La transformación de Haar se deriva de la matriz de Haar. A continuación se muestra un ejemplo de una matriz de transformación de Haar de 4×4.

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

La transformada de Haar puede considerarse como un proceso de muestreo en el que las filas de la matriz de transformación actúan como muestras de resolución cada vez más fina.

Compárese con la transformada de Walsh , que también es 1/–1, pero no está localizada.

La transformada de Haar tiene las siguientes propiedades

1. No necesita multiplicaciones, solo requiere adiciones y hay muchos elementos con valor cero en la matriz de Haar, por lo que el tiempo de cálculo es corto. Es más rápida que la transformada de Walsh , cuya matriz está compuesta por +1 y −1.
2. La longitud de entrada y salida son iguales. Sin embargo, la longitud debe ser una potencia de 2, es decir , .${\displaystyle N=2^{k},k\in \mathbb {N} }$
3. Se puede utilizar para analizar las características localizadas de las señales. Debido a la propiedad ortogonal de la función Haar, se pueden analizar los componentes de frecuencia de la señal de entrada.

La transformada de Haar y _n de una función de n entradas x _n es

${\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}$

La matriz de la transformada de Haar es real y ortogonal. Por lo tanto, la transformada inversa de Haar se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones.

${\displaystyle H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I}$

donde es la matriz identidad. Por ejemplo, cuando n = 4${\displaystyle I}$

${\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Por tanto, la transformada de Haar inversa es

${\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}$

Los coeficientes de la transformada de Haar de una señal de 4 puntos se pueden encontrar como${\displaystyle x_{4}=[1,2,3,4]^{T}}$

${\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

La señal de entrada puede entonces reconstruirse perfectamente mediante la transformada inversa de Haar.

${\displaystyle {\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}$

• Reducción de dimensión
• Matriz de Walsh
• Transformada de Walsh
• Ondícula
• Chirrido
• Señal
• Característica similar a Haar
• Ondícula de Strömberg
• Transformación diádica

• Haar, Alfréd (1910), "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme", Mathematische Annalen , 69 (3): 331–371, doi :10.1007/BF01456326, hdl : 2027/uc1.b2619563 , S2CID  120024038
• Charles K. Chui, Introducción a las wavelets , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1 
• Traducción al inglés del artículo seminal de Haar: [1]

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la onda de Haar .

• "Sistema Haar", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Implementación gratuita del filtrado wavelet de Haar y demostración interactiva
• Eliminación de ruido de wavelets de Haar y compresión de señales con pérdida gratuitas

• Kingsbury, Nick. "La transformación de Haar". Archivado desde el original el 19 de abril de 2006.
• Eck, David (31 de enero de 2006). "Applets de demostración de Haar Transform".
• Ames, Greg (7 de diciembre de 2002). "Compresión de imágenes" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 25 de enero de 2011.
• Aaron, Anne; Hill, Michael; Srivatsa, Anand. "MOSMAT 500. Un generador de fotomosaicos. 2. Teoría". Archivado desde el original el 18 de marzo de 2008.
• Wang, Ruye (4 de diciembre de 2008). "Haar Transform". Archivado desde el original el 21 de agosto de 2012.