Norma de campo

En matemáticas , la norma (de campo) es una aplicación particular definida en la teoría de campos , que asigna elementos de un campo más grande a un subcampo.

Sea K un campo y L una extensión finita (y por tanto una extensión algebraica ) de K.

El campo L es entonces un espacio vectorial de dimensión finita sobre K.

Multiplicación por α , un elemento de L ,

${\displaystyle m_{\alpha}\colon L\to L}$

${\displaystyle m_{\alpha}(x)=\alpha x}$,

es una transformación K - lineal de este espacio vectorial en sí mismo.

La norma , N _{L / K} ( α ), se define como el determinante de esta transformación lineal . ^[1]

Si L / K es una extensión de Galois , se puede calcular la norma de α ∈ L como el producto de todos los conjugados de Galois de α :

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

donde Gal( L / K ) denota el grupo de Galois de L / K . ^[2] (Tenga en cuenta que puede haber una repetición en los términos del producto).

Para una extensión de campo general L / K , y α distinto de cero en L , sean σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) las raíces del polinomio mínimo de α sobre K (raíces enumeradas con multiplicidad y que se encuentran en algún campo de extensión de L ); entonces

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L:K(\alpha )]}}$.

Si L / K es separable , entonces cada raíz aparece sólo una vez en el producto (aunque el exponente, el grado [ L : K ( α )], todavía puede ser mayor que 1).

Uno de los ejemplos básicos de normas proviene de las extensiones de campo cuadrático donde es un entero libre de cuadrados. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$${\estilo de visualización a}$

Entonces, el mapa de multiplicación por un elemento es${\displaystyle {\sqrt {a}}}$${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

El elemento puede ser representado por el vector${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

ya que existe una descomposición de suma directa como un espacio vectorial.${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La matriz de es entonces${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

y la norma es , ya que es el determinante de esta matriz .${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}$

Consideremos el campo numérico .${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

El grupo de Galois de sobre tiene orden y está generado por el elemento que envía a . Por lo que la norma de es:${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.}$

La norma de campo también se puede obtener sin el grupo de Galois .

Fije una base de , digamos:${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$.

Luego la multiplicación por el número envía${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

1 a y${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$a .${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

Entonces el determinante de "multiplicar por " es el determinante de la matriz que envía el vector${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$(correspondiente al primer elemento base, es decir, 1) a ,${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$(correspondiente al segundo elemento base, es decir, ) a ,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}$

verbigracia.:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz es −1.

Otra clase fácil de ejemplos proviene de extensiones de campo de la forma donde la factorización prima de no contiene potencias -ésimas, para un primo impar fijo.${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

La función de multiplicación de un elemento es${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

dando la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

El determinante da la norma

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

La norma de campo de los números complejos a los números reales envía

x + iy

a

x2 + y2 ,^​​

porque el grupo de Galois de sobre tiene dos elementos,${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El elemento de identidad y
• conjugación compleja,

y tomando el producto se obtiene ( x + iy )( x − iy ) = x ² + y ² .

Sea L = GF( q ⁿ ) una extensión finita de un campo finito K = GF( q ).

Como L / K es una extensión de Galois , si α está en L , entonces la norma de α es el producto de todos los conjugados de Galois de α , es decir ^[3]

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

En esta configuración tenemos las propiedades adicionales, ^[4]

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

Varias propiedades de la función norma se cumplen para cualquier extensión finita. ^{[5] [6]}

La norma N _{L / K}  : L * → K * es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de L al grupo multiplicativo de K , es decir

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

Además, si a en K :

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.}$

Si a ∈ K entonces${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

Además, la norma se comporta bien en torres de campos :

Si M es una extensión finita de L , entonces la norma de M a K es simplemente la composición de la norma de M a L con la norma de L a K , es decir

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

La norma de un elemento en una extensión de campo arbitraria se puede reducir a un cálculo más sencillo si ya se conoce el grado de la extensión de campo . Esto es

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$^[6]

Por ejemplo, para el campo de extensión , la norma de es${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

ya que el grado de la extensión del campo es .${\displaystyle L/K(\alpha )}$${\displaystyle 2}$

Para el anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos , un elemento es una unidad si y sólo si .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$

Por ejemplo

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

dónde

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$.

Por tanto, cualquier cuerpo numérico cuyo anillo de enteros lo contenga lo tiene como unidad.${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle \zeta _{3}}$

La norma de un entero algebraico es nuevamente un entero, porque es igual (hasta el signo) al término constante del polinomio característico.

En la teoría algebraica de números se definen también normas para ideales . Esto se hace de tal manera que si I es un ideal distinto de cero de O _K , el anillo de números enteros del cuerpo de números K , N ( I ) es el número de clases de residuos en  – es decir, la cardinalidad de este anillo finito . Por lo tanto, esta norma ideal es siempre un entero positivo.${\displaystyle O_{K}/I}$

Cuando I es un ideal principal αO _K entonces N ( I ) es igual al valor absoluto de la norma a Q de α , para α un entero algebraico .

• Rastro de campo
• Norma ideal
• Forma de la norma

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Campos finitos , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 20 (segunda edición), Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4, Zbl  0866.11069
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Manual de campos finitos , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Roman, Steven (2006), Teoría de campos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 158 (segunda edición), Springer, Capítulo 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl1172.12001 ​
• Rotman, Joseph J. (2002), Álgebra moderna avanzada , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7