Número de Leyland

En teoría de números , un número de Leyland es un número de la forma

${\displaystyle x^{y}+y^{x}}$

donde x e y son números enteros mayores que 1. ^[1] Reciben su nombre del matemático Paul Leyland . Los primeros números de Leyland son

8 , 17 , 32 , 54 , 57 , 100 , 145 , 177 , 320 , 368 , 512 , 593 , 945 , 1124 (secuencia A076980 en la OEIS ).

El requisito de que x e y sean mayores que 1 es importante, ya que sin él todo entero positivo sería un número de Leyland de la forma x ¹ + 1 ^x . Además, debido a la propiedad conmutativa de la adición, la condición x ≥ y se suele añadir para evitar cubrir dos veces el conjunto de números de Leyland (por lo que tenemos 1 < y ≤ x ).

Un primo de Leyland es un número de Leyland que también es primo. Los primeros primos de este tipo son:

17 , 593 , 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (secuencia A094133 en la OEIS )

correspondiente a

3 ² +2 ³ , 9 ² +2 ⁹ , 15 ² +2 ¹⁵ , 21 ² +2 ²¹ , 33 ² +2 ³³ , 24 ⁵ +5 ²⁴ , 56 ³ +3 ⁵⁶ , 32 ¹⁵ +15 ³² . ^[2]

También se puede fijar el valor de y y considerar la secuencia de valores de x que da los primos de Leyland, por ejemplo x ² + 2 ^x es primo para x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ... ( OEIS : A064539 ).

En noviembre de 2012, el mayor número de Leyland que se había demostrado que era primo era 5122 ⁶⁷⁵³ + 6753 ⁵¹²² con 25050 dígitos. Desde enero de 2011 hasta abril de 2011, fue el mayor primo cuya primalidad se demostró mediante la demostración de primalidad de curva elíptica . ^[3] En diciembre de 2012, esto se mejoró al demostrar la primalidad de los dos números 3110 ⁶³ + 63 ³¹¹⁰ (5596 dígitos) y 8656 ²⁹²⁹ + 2929 ⁸⁶⁵⁶ (30008 dígitos), el último de los cuales superó el récord anterior. ^[4] En febrero de 2023, se demostró que 104824 ⁵ + 5 ¹⁰⁴⁸²⁴ (73269 dígitos) era primo, ^[5] y también fue el primo más grande demostrado usando ECPP, hasta que tres meses después se demostró un primo más grande (no de Leyland) usando ECPP. ^[6] Hay muchos primos probables más grandes conocidos , como 314738 ⁹ + 9 ³¹⁴⁷³⁸ , ^[7] pero es difícil demostrar la primalidad de números de Leyland grandes. Paul Leyland escribe en su sitio web: "Más recientemente aún, se comprendió que los números de esta forma son casos de prueba ideales para programas de demostración de primalidad de propósito general. Tienen una descripción algebraica simple pero no propiedades ciclotómicas obvias que los algoritmos de propósito especial puedan explotar".

Hay un proyecto llamado XYYXF para factorizar números de Leyland compuestos . ^[8]

Un número de Leyland del segundo tipo es un número de la forma

${\displaystyle x^{y}-y^{x}}$

donde x e y son números enteros mayores que 1. Los primeros de estos números son:

0, 1, 7 , 17 , 28 , 79 , 118 , 192 , 399 , 431 , 513, 924, 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 18954, 32543, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 175816, 255583, 261820, ... (secuencia A045575 en la OEIS )

Un primo de Leyland de segunda especie es un número de Leyland de segunda especie que también es primo. Los primeros primos de este tipo son:

7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... (secuencia A123206 en la OEIS ) También podemos considerar 145 en la forma de 4 elevado a 3 más 4 elevado a 4.

Para los números primos probables, véase Henri Lifchitz y Renaud Lifchitz, búsqueda de registros principales de PRP. ^[7]

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