Número épsilon

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En matemáticas , los números épsilon son una colección de números transfinitos cuya propiedad definitoria es que son puntos fijos de una función exponencial . En consecuencia, no son alcanzables desde 0 mediante una serie finita de aplicaciones de la función exponencial elegida y de operaciones "más débiles" como la suma y la multiplicación. Los números épsilon originales fueron introducidos por Georg Cantor en el contexto de la aritmética ordinal ; son los números ordinales ε que satisfacen la ecuación

${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,}$

en el que ω es el ordinal infinito más pequeño.

El ordinal menor de este tipo es ε ₀ (pronunciado epsilon nought (principalmente británico), epsilon nought (principalmente estadounidense) o epsilon zero ), que puede verse como el "límite" obtenido por recursión transfinita a partir de una secuencia de ordinales límite más pequeños:

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup \left\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \right\}\,,}$

donde sup es el supremo , lo que equivale a la unión de conjuntos en el caso de la representación de von Neumann de ordinales.

Los puntos fijos ordinales más grandes del mapa exponencial están indexados por subíndices ordinales, lo que da como resultado . ^[1] El ordinal ε ₀ sigue siendo contable , al igual que cualquier número épsilon cuyo índice sea contable. También existen ordinales incontables , junto con números épsilon incontables cuyo índice es un ordinal incontable.${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots \zeta _{0}=\varphi _{2}(0)}$

El número épsilon más pequeño ε ₀ aparece en muchas demostraciones de inducción , porque para muchos propósitos la inducción transfinita solo se requiere hasta ε ₀ (como en la demostración de consistencia de Gentzen y la demostración del teorema de Goodstein ). Su uso por Gentzen para demostrar la consistencia de la aritmética de Peano , junto con el segundo teorema de incompletitud de Gödel , muestra que la aritmética de Peano no puede demostrar el fundamento de este ordenamiento (de hecho, es el menos ordinal con esta propiedad y, como tal, en el análisis ordinal de la teoría de la demostración , se utiliza como una medida de la fuerza de la teoría de la aritmética de Peano).

Se pueden definir muchos números épsilon más grandes utilizando la función Veblen .

John Horton Conway y Donald Knuth han identificado una clase más general de números épsilon en el sistema de números surrealistas , que consiste en todos los surrealistas que son puntos fijos de la función exponencial base ω x → ω ^x .

Hessenberg (1906) definió los números gamma (ver ordinal aditivamente indecomponible ) como números γ > 0 tales que α + γ = γ siempre que α < γ , y los números delta (ver ordinal multiplicativamente indecomponible ) como números δ > 1 tales que αδ = δ siempre que 0 < α < δ , y los números épsilon como números ε > 2 tales que α ^ε = ε siempre que 1 < α < ε . Sus números gamma son aquellos de la forma ω ^β , y sus números delta son aquellos de la forma ω ^{ω β} .

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La definición estándar de exponenciación ordinal con base α es:

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1\,,}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\alpha ^{\beta -1}\cdot \alpha \,,}$cuando tiene un predecesor inmediato .${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta -1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\sup \lbrace \alpha ^{\delta }\mid 0<\delta <\beta \rbrace }$, siempre que sea un ordinal límite .${\displaystyle \beta }$

De esta definición se deduce que para cualquier ordinal fijo α > 1 , la aplicación es una función normal , por lo que tiene puntos fijos arbitrariamente grandes según el lema del punto fijo para funciones normales . Cuando , estos puntos fijos son precisamente los números ordinales épsilon.${\displaystyle \beta \mapsto \alpha ^{\beta }}$${\displaystyle \alpha =\omega }$

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup \left\lbrace 1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \right\rbrace \,,}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\lbrace {\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}}},\ldots \right\rbrace \,,}$cuando tiene un predecesor inmediato .${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta -1}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace \varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \rbrace }$, siempre que sea un ordinal límite.${\displaystyle \beta }$

Porque

${\displaystyle \omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\omega ^{\varepsilon _{0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega \,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot \omega )}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{\omega }=\varepsilon _{0}^{\omega }\,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,,}$

una secuencia diferente con el mismo supremo, , se obtiene comenzando desde 0 y exponenciando con base ε ₀ en su lugar:${\displaystyle \varepsilon _{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup \left\{1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\ldots \right\}.}$

Generalmente, el número épsilon indexado por cualquier ordinal que tiene un predecesor inmediato se puede construir de manera similar.${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \beta -1}$

${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\{1,\varepsilon _{\beta -1},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}}},\dots \right\}.}$

En particular, el hecho de que el índice β sea o no un ordinal límite es un punto fijo no sólo de la exponenciación de base ω sino también de la exponenciación de base δ para todos los ordinales .${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle 1<\delta <\varepsilon _{\beta }}$

Dado que los números épsilon son una subclase ilimitada de los números ordinales, se enumeran utilizando los propios números ordinales. Para cualquier número ordinal , es el menor número épsilon (punto fijo de la función exponencial) que no se encuentra ya en el conjunto . Puede parecer que este es el equivalente no constructivo de la definición constructiva que utiliza la exponenciación iterada; pero las dos definiciones son igualmente no constructivas en los pasos indexados por ordinales límite, que representan una recursión transfinita de un orden superior al de tomar el supremo de una serie exponencial.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \{\varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \}}$

Los siguientes hechos sobre los números épsilon son fáciles de demostrar:

• Aunque es un número bastante grande, sigue siendo contable , al ser una unión contable de ordinales contables; de hecho, es contable si y sólo si es contable.${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \beta }$
• La unión (o supremo) de cualquier conjunto no vacío de números épsilon es un número épsilon; por lo tanto, por ejemplo es un número épsilon. Por lo tanto, la aplicación es una función normal.$${\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}}$$${\displaystyle \beta \mapsto \varepsilon _{\beta }}$
• El ordinal inicial de cualquier cardinal incontable es un número épsilon.$${\displaystyle \alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha }\,.}$$

Cualquier número épsilon ε tiene forma normal de Cantor , lo que significa que la forma normal de Cantor no es muy útil para los números épsilon. Los ordinales menores que ε ₀ , sin embargo, pueden describirse de manera útil mediante sus formas normales de Cantor, lo que conduce a una representación de ε ₀ como el conjunto ordenado de todos los árboles finitos con raíz , de la siguiente manera. Cualquier ordinal tiene forma normal de Cantor donde k es un número natural y son ordinales con , determinados de manera única por . Cada uno de los ordinales a su vez tiene una forma normal de Cantor similar. Obtenemos el árbol finito con raíz que representa α uniendo las raíces de los árboles que representan a una nueva raíz. (Esto tiene como consecuencia que el número 0 se representa por una sola raíz mientras que el número se representa por un árbol que contiene una raíz y una sola hoja.) Un orden en el conjunto de árboles finitos con raíces se define recursivamente: primero ordenamos los subárboles unidos a la raíz en orden decreciente, y luego usamos el orden lexicográfico en estas secuencias ordenadas de subárboles. De esta manera, el conjunto de todos los árboles finitos con raíces se convierte en un conjunto bien ordenado que es de orden isomorfo a ε ₀ .${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }}$${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}}$${\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}}$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$${\displaystyle 1=\omega ^{0}}$

Esta representación está relacionada con la prueba del teorema de la hidra , que representa secuencias decrecientes de ordinales como un juego de teoría de grafos .

Los puntos fijos de la "función épsilon" forman una función normal, cuyos puntos fijos forman una función normal; esto se conoce como la jerarquía de Veblen (las funciones de Veblen con base φ ₀ ( α ) = ω ^α ). En la notación de la jerarquía de Veblen, la función épsilon es φ ₁ , y sus puntos fijos se enumeran por φ ₂ .${\displaystyle x\mapsto \varepsilon _{x}}$

Continuando en esta línea, se pueden definir aplicaciones φ _α para ordinales α progresivamente mayores (incluyendo, por esta forma enrarecida de recursión transfinita, ordinales límite), con puntos fijos mínimos progresivamente mayores φ _{α +1} (0) . El ordinal mínimo no alcanzable desde 0 por este procedimiento—es decir, el ordinal mínimo α para el cual φ _α (0) = α , o equivalentemente el primer punto fijo de la aplicación —es el ordinal de Feferman–Schütte Γ ₀ . En una teoría de conjuntos donde se puede demostrar que existe tal ordinal, se tiene una aplicación Γ que enumera los puntos fijos Γ ₀ , Γ ₁ , Γ ₂ , ... de ; todos ellos siguen siendo números épsilon, ya que se encuentran en la imagen de φ _β para cada β ≤ Γ ₀ , incluido el mapa φ ₁ que enumera los números épsilon.${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$

En On Numbers and Games , la exposición clásica sobre los números surrealistas , John Horton Conway proporcionó una serie de ejemplos de conceptos que tenían extensiones naturales de los ordinales a los surrealistas. Una de esas funciones es la función -map ; esta función se generaliza naturalmente para incluir todos los números surrealistas en su dominio , lo que a su vez proporciona una generalización natural de la forma normal de Cantor para los números surrealistas.${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n\mapsto \omega ^{n}}$

Es natural considerar cualquier punto fijo de esta función expandida como un número épsilon, independientemente de que sea estrictamente un número ordinal o no. Algunos ejemplos de números épsilon no ordinales son

${\displaystyle \varepsilon _{-1}=\left\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \right\}}$

y

${\displaystyle \varepsilon _{1/2}=\left\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \right\}.}$

Existe una forma natural de definir para cada número surrealista n , y la función sigue conservando el orden . Conway continúa definiendo una clase más amplia de números surrealistas "irreducibles" que incluye los números épsilon como una subclase particularmente interesante.${\displaystyle \varepsilon _{n}}$

• Aritmética ordinal
• Ordinal contable grande