Sobre números y juegos

Sobre números y juegos

Primera edición
Autor	John Horton Conway
Idioma	Inglés
Género	Matemáticas
Editor	Prensa académica, Inc.
Lugar de publicación	Estados Unidos
Tipo de medio	Imprimir
Páginas	238 págs.
ISBN	0-12-186350-6

On Numbers and Games es unlibro de matemáticas de John Horton Conway publicado por primera vez en 1976. ^[1] El libro está escrito por un matemático preeminente y está dirigido a otros matemáticos. Sin embargo, el material está desarrollado de una manera lúdica y sin pretensiones y muchos capítulos son accesibles para los no matemáticos. Martin Gardner analizó el libro en profundidad, en particular la construcción de números surrealistas de Conway, en su columna Mathematical Games en Scientific American en septiembre de 1976. ^[2]

El libro se divide aproximadamente en dos secciones: la primera mitad (o Parte Cero ), sobre números , la segunda mitad (o Primera Parte ), sobre juegos . En la Parte Cero , Conway proporciona axiomas para la aritmética: suma, resta, multiplicación, división y desigualdad. Esto permite una construcción axiomática de números y aritmética ordinal , a saber, los enteros , los reales , el infinito contable y torres enteras de ordinales infinitos . El objeto al que se aplican estos axiomas toma la forma {L|R}, que puede interpretarse como un tipo especializado de conjunto ; una especie de conjunto de dos caras. Al insistir en que L<R, este conjunto de dos caras se asemeja al corte de Dedekind . La construcción resultante produce un cuerpo , ahora llamado los números surrealistas . Los ordinales están incrustados en este campo. La construcción tiene sus raíces en la teoría de conjuntos axiomáticos y está estrechamente relacionada con los axiomas de Zermelo-Fraenkel . En el libro original, Conway se refiere simplemente a este campo como "los números". El término " números surrealistas " se adopta más tarde, por sugerencia de Donald Knuth .

En la primera parte , Conway señala que, al eliminar la restricción de que L<R, los axiomas siguen aplicándose y la construcción se lleva a cabo, pero los objetos resultantes ya no pueden interpretarse como números. Pueden interpretarse como la clase de todos los juegos de dos jugadores. Los axiomas para mayor que y menor que se consideran un orden natural de los juegos, que corresponde a cuál de los dos jugadores puede ganar. El resto del libro está dedicado a explorar varios juegos de dos jugadores diferentes (no tradicionales, de inspiración matemática), como nim , hackenbush y los juegos de colorear mapas col y snort . El desarrollo incluye su puntuación, una revisión del teorema de Sprague-Grundy y las interrelaciones con los números, incluida su relación con los infinitesimales .

El libro fue publicado por primera vez por Academic Press en 1976, ISBN 0-12-186350-6 , y una segunda edición fue publicada por AK Peters en 2001 ( ISBN 1-56881-127-6 ).  

En la Parte Cero, Capítulo 0, Conway introduce una forma especializada de notación de conjuntos , que tiene la forma {L|R}, donde L y R son nuevamente de esta forma, construidas recursivamente, terminando en {|}, que debe leerse como un análogo del conjunto vacío. Dado este objeto, se pueden dar definiciones axiomáticas para la adición, la resta, la multiplicación, la división y la desigualdad. Mientras uno insista en que L<R (y esto se mantiene vacuamente cierto cuando L o R son el conjunto vacío), entonces la clase resultante de objetos puede interpretarse como números, los números surrealistas . La notación {L|R} se asemeja entonces al corte de Dedekind .

El ordinal se construye por inducción transfinita . Al igual que los ordinales convencionales, se puede definir. Gracias a la definición axiomática de la resta, también se puede definir de manera coherente: es estrictamente menor que , y obedece a la igualdad "obvia" Sin embargo, sigue siendo mayor que cualquier número natural .${\estilo de visualización \omega}$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega-1}$${\estilo de visualización \omega}$${\displaystyle (\omega -1)+1=\omega .}$

La construcción permite crear un zoológico completo de números peculiares, los surrealistas, que forman un campo . Algunos ejemplos son , , , y similares.${\displaystyle \omega /2}$${\estilo de visualización 1/\omega}$${\displaystyle {\sqrt {\omega }}=\omega ^{1/2}}$${\displaystyle \omega ^{1/\omega }}$

En la primera parte, Conway abandona la restricción de que L<R, y luego interpreta la forma {L|R} como un juego de dos jugadores: una posición en una competencia entre dos jugadores, Izquierda y Derecha . Cada jugador tiene un conjunto de juegos llamados opciones para elegir por turno. Los juegos se escriben {L|R} donde L es el conjunto de opciones de Izquierda y R es el conjunto de opciones de Derecha . ^[3] Al comienzo no hay juegos en absoluto, por lo que el conjunto vacío (es decir, el conjunto sin miembros) es el único conjunto de opciones que podemos proporcionar a los jugadores. Esto define el juego {|}, que se llama 0. Consideramos que un jugador que debe jugar un turno pero no tiene opciones ha perdido el juego. Dado este juego 0, ahora hay dos posibles conjuntos de opciones, el conjunto vacío y el conjunto cuyo único elemento es cero. El juego {0|} se llama 1, y el juego {|0} se llama -1. El juego {0|0} se llama * (estrella) , y es el primer juego que encontramos que no es un número.

Todos los números son positivos, negativos o cero , y decimos que un juego es positivo si Izquierda tiene una estrategia ganadora, negativo si Derecha tiene una estrategia ganadora o cero si el segundo jugador tiene una estrategia ganadora. Los juegos que no son números tienen una cuarta posibilidad: pueden ser difusos , es decir, que el primer jugador tiene una estrategia ganadora. * es un juego difuso. ^[4]

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