Transformada de Fourier

En física , ingeniería y matemáticas , la transformada de Fourier ( FT ) es una transformada integral que toma una función como entrada y genera otra función que describe el grado en el que varias frecuencias están presentes en la función original. La salida de la transformada es una función de frecuencia de valor complejo . El término transformada de Fourier se refiere tanto a esta función de valor complejo como a la operación matemática . Cuando es necesario hacer una distinción, la salida de la operación a veces se denomina representación del dominio de frecuencia de la función original. La transformada de Fourier es análoga a descomponer el sonido de un acorde musical en las intensidades de sus tonos constituyentes .

Las funciones que se localizan en el dominio del tiempo tienen transformadas de Fourier que se extienden a lo largo del dominio de la frecuencia y viceversa, un fenómeno conocido como el principio de incertidumbre. El caso crítico de este principio es la función gaussiana , de importancia sustancial en la teoría de la probabilidad y la estadística , así como en el estudio de los fenómenos físicos que exhiben una distribución normal (por ejemplo, la difusión ). La transformada de Fourier de una función gaussiana es otra función gaussiana. Joseph Fourier introdujo las transformadas de seno y coseno (que corresponden a los componentes imaginarios y reales de la transformada de Fourier moderna) en su estudio de la transferencia de calor , donde las funciones gaussianas aparecen como soluciones de la ecuación del calor .

La transformada de Fourier se puede definir formalmente como una integral de Riemann impropia , lo que la convierte en una transformada integral, aunque esta definición no es adecuada para muchas aplicaciones que requieren una teoría de integración más sofisticada. ^{[nota 1]} Por ejemplo, muchas aplicaciones relativamente simples utilizan la función delta de Dirac , que se puede tratar formalmente como si fuera una función, pero la justificación requiere un punto de vista matemáticamente más sofisticado. ^{[nota 2]}

La transformada de Fourier también se puede generalizar a funciones de varias variables en el espacio euclidiano , enviando una función del 'espacio de posición' tridimensional a una función del momento tridimensional (o una función del espacio y el tiempo a una función del momento cuatridimensional ). Esta idea hace que la transformada de Fourier espacial sea muy natural en el estudio de las ondas, así como en la mecánica cuántica , donde es importante poder representar soluciones de ondas como funciones de la posición o del momento y, a veces, de ambos. En general, las funciones a las que se aplican los métodos de Fourier son de valor complejo y, posiblemente, de valor vectorial . ^{[nota 3]} Es posible una generalización aún mayor a funciones sobre grupos , que, además de la transformada de Fourier original sobre R o R ⁿ , incluye notablemente la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT, grupo = Z ), la transformada de Fourier discreta (DFT, grupo = Z mod N ) y la serie de Fourier o transformada de Fourier circular (grupo = S ¹ , el círculo unitario ≈ intervalo finito cerrado con puntos finales identificados). Este último se emplea rutinariamente para manejar funciones periódicas . La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la DFT.

La transformada de Fourier es un proceso de análisis que descompone una función de valor complejo en sus frecuencias constituyentes y sus amplitudes. El proceso inverso es la síntesis , que recrea a partir de su transformada.${\displaystyle \textstyle f(x)}$${\displaystyle \textstyle f(x)}$

Podemos empezar con una analogía, la serie de Fourier , que analiza en un intervalo acotado para algún número real positivo Las frecuencias constituyentes son un conjunto discreto de armónicos en frecuencias cuya amplitud y fase están dadas por la fórmula de análisis: La serie de Fourier real es la fórmula de síntesis: En un intervalo ilimitado, las frecuencias constituyentes son un continuo : ^{[1] [2] [3]} y se reemplaza por una función : ^[4]${\displaystyle \textstyle f(x)}$${\displaystyle \textstyle x\in [-P/2,P/2],}$${\displaystyle P.}$${\displaystyle {\tfrac {n}{P}},n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\,e^{-i2\pi {\frac {n}{P}}x}\,dx.}$$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},\quad \textstyle x\in [-P/2,P/2].}$$${\displaystyle P\to \infty ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}\to \xi \in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle c_{n}}$

Evaluando la ecuación 1 para todos los valores de se obtiene la función en el dominio de la frecuencia . La integral puede divergir en algunas frecuencias. (ver § Transformada de Fourier para funciones periódicas) Pero converge para todas las frecuencias cuando decae con todas las derivadas como : . (Ver función de Schwartz ). Por el lema de Riemann-Lebesgue , la función transformada también decae con todas las derivadas.${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f^{(n)}(x)=0,n=0,1,2,\dots }$${\displaystyle {\widehat {f}}}$

El número complejo , en coordenadas polares, transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia. La interpretación intuitiva de la ecuación 1 es que el efecto de multiplicar por es restar de cada componente de frecuencia de la función ^{[nota 4].} Solo el componente que estaba en frecuencia puede producir un valor distinto de cero de la integral infinita, porque (al menos formalmente) todos los demás componentes desplazados son oscilatorios y se integran a cero. (ver § Ejemplo)${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$${\displaystyle \xi .}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle \xi }$

La fórmula de síntesis correspondiente es:

La ecuación 2 es una representación de una suma ponderada de funciones exponenciales complejas.${\displaystyle f(x)}$

Esto también se conoce como el teorema de inversión de Fourier y se introdujo por primera vez en la teoría analítica del calor de Fourier . ^{[5] [6] [7] [8]}

Las funciones y se denominan pares de transformadas de Fourier . ^[9]   Una notación común para designar pares de transformadas es : ^[10]   por ejemplo   ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$$${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ),}$$${\displaystyle \operatorname {rect} (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \operatorname {sinc} (\xi ).}$

Hasta ahora, hemos estado tratando con funciones de Schwartz, que decaen rápidamente en el infinito, con todas las derivadas. Esto excluye muchas funciones de importancia práctica de la definición, como la función rect . Una función medible se llama (Lebesgue) integrable si la integral de Lebesgue de su valor absoluto es finita: Dos funciones mesurables son equivalentes si son iguales excepto en un conjunto de medida cero. El conjunto de todas las clases de equivalencia de funciones integrables se denota . Entonces: ^[11]${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$

La ecuación integral 1 está bien definida para todos debido al supuesto . (Se puede demostrar que la función está acotada y es uniformemente continua en el dominio de la frecuencia y, además, por el lema de Riemann-Lebesgue , es cero en el infinito).${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \|f\|_{1}<\infty }$${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C(\mathbb {R} )}$

Sin embargo, la clase de funciones integrables de Lebesgue no es ideal desde el punto de vista de la transformada de Fourier porque no existe una caracterización fácil de la imagen y, por lo tanto, no existe una caracterización fácil de la transformada inversa.

Si bien la ecuación 1 define la transformada de Fourier para funciones (de valores complejos) en , es fácil ver que no está bien definida para otras clases de integrabilidad, la más importante es . Para las funciones en , y con las convenciones de la ecuación 1 , la transformada de Fourier es un operador unitario con respecto al producto interno de Hilbert en , restringido al subespacio denso de funciones integrables. Por lo tanto, admite una extensión continua única a un operador unitario en , también llamado transformada de Fourier. Esta extensión es importante en parte porque la transformada de Fourier preserva el espacio de modo que, a diferencia del caso de , la transformada de Fourier y la transformada inversa están en el mismo pie de igualdad, siendo transformaciones del mismo espacio de funciones para sí mismo.${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{1}}$

Es importante destacar que, para las funciones en , la transformada de Fourier ya no está dada por la Ec.1 (interpretada como una integral de Lebesgue). Por ejemplo, la función está en pero no en , por lo que la integral Ec.1 diverge. En tales casos, la transformada de Fourier se puede obtener explícitamente regularizando la integral y luego pasándola a un límite. En la práctica, la integral a menudo se considera como una integral impropia en lugar de una integral de Lebesgue propiamente dicha, pero a veces para la convergencia es necesario utilizar un límite débil o un valor principal en lugar de los límites (puntuales) implícitos en una integral impropia. Titchmarsh (1986) y Dym & McKean (1985) dan cada uno tres formas rigurosas de extender la transformada de Fourier a funciones integrables al cuadrado utilizando este procedimiento.${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{1}}$

Las convenciones elegidas en este artículo son las del análisis armónico , y se caracterizan como las únicas convenciones tales que la transformada de Fourier es a la vez unitaria en L ² y un homomorfismo algebraico de L ¹ a L ^∞ , sin renormalizar la medida de Lebesgue. ^[12]

Cuando la variable independiente ( ) representa el tiempo (que suele denotarse con ), la variable de transformada ( ) representa la frecuencia (que suele denotarse con ). Por ejemplo, si el tiempo se mide en segundos , la frecuencia se mide en hercios . La transformada de Fourier también se puede escribir en términos de frecuencia angular , cuyas unidades son radianes por segundo.${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \omega =2\pi \xi ,}$

La sustitución en la ecuación 1 produce esta convención, donde la función se vuelve a etiquetar A diferencia de la definición de la ecuación 1 , la transformada de Fourier ya no es una transformación unitaria y hay menos simetría entre las fórmulas para la transformada y su inversa. Esas propiedades se restauran dividiendo el factor de manera uniforme entre la transformada y su inversa, lo que conduce a otra convención: Se pueden crear variaciones de las tres convenciones conjugando el núcleo exponencial complejo de la transformada directa y la inversa. Los signos deben ser opuestos.${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$${\displaystyle {\widehat {f_{1}}}:}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega \,x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\cdot e^{i\omega \,x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$

Resumen de formas populares de la transformada de Fourier, unidimensional

frecuencia ordinaria ξ (Hz)	unitario	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{1}}}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi \xi x}\,dx={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f_{2}}}(2\pi \xi )={\widehat {f_{3}}}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{1}}}(\xi )\,e^{i2\pi x\xi }\,d\xi \end{aligned}}}$
frecuencia angular ω (rad/s)	unitario	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f_{1}}}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f_{3}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}$
	no unitario	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f_{2}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}$

Generalización para funciones n -dimensionales

frecuencia ordinaria ξ (Hz)	unitario	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{1}}}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f_{2}}}(2\pi \xi )={\widehat {f_{3}}}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f_{1}}}(\xi )e^{i2\pi \xi \cdot x}\,d\xi \end{aligned}}}$
frecuencia angular ω (rad/s)	unitario	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f_{1}}}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f_{3}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f_{2}}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}$
	no unitario	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f_{2}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f_{3}}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}$

Para , la transformada de Fourier se puede definir mediante la interpolación de Marcinkiewicz .${\displaystyle 1<p<2}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

La transformada de Fourier se puede definir en dominios distintos de la línea real. La transformada de Fourier en el espacio euclidiano y la transformada de Fourier en grupos abelianos locales se analizan más adelante en este artículo.

La transformada de Fourier también se puede definir para distribuciones templadas , duales del espacio de funciones decrecientes rápidamente ( funciones de Schwartz ). Una función de Schwartz es una función suave que decae en el infinito, junto con todas sus derivadas. El espacio de funciones de Schwartz se denota por , y su dual es el espacio de distribuciones templadas. Es fácil ver, al derivar bajo la integral y aplicar el lema de Riemann-Lebesgue, que la transformada de Fourier de una función de Schwartz (definida por la fórmula Eq.1 ) es nuevamente una función de Schwartz. La transformada de Fourier de una distribución templada se define por dualidad:${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle \langle {\widehat {T}},\phi \rangle =\langle T,{\widehat {\phi }}\rangle ;\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$$

Existen muchas otras caracterizaciones de la transformada de Fourier. Por ejemplo, se utiliza el teorema de Stone-von Neumann : la transformada de Fourier es el único entrelazador unitario para las representaciones simpléctica y euclidiana de Schrödinger del grupo de Heisenberg .

En 1822, Fourier afirmó (véase Joseph Fourier § La teoría analítica del calor ) que cualquier función, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos. ^[13] Ese importante trabajo fue corregido y ampliado por otros para proporcionar la base para las diversas formas de la transformada de Fourier utilizadas desde entonces.

En general, los coeficientes son números complejos, que tienen dos formas equivalentes (ver fórmula de Euler ):${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$$

El producto con ( Eq.2 ) tiene estas formas:${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.\end{aligned}}}$$

Es de destacar la facilidad con la que se simplificó el producto utilizando la forma polar, y la facilidad con la que se dedujo la forma rectangular mediante una aplicación de la fórmula de Euler.

La fórmula de Euler introduce la posibilidad de negativa   Y la ecuación 1 está definida . Solo ciertas transformadas de valor complejo tienen transformadas (ver Señal analítica . Un ejemplo simple es ) Pero la frecuencia negativa es necesaria para caracterizar todas las demás transformadas de valor complejo que se encuentran en el procesamiento de señales , ecuaciones diferenciales parciales , radar , óptica no lineal , mecánica cuántica y otras.${\displaystyle \xi .}$${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} .}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0).}$${\displaystyle f(x),}$

Para una ecuación de valor real, la ecuación 1 tiene la propiedad de simetría (ver § Conjugación a continuación). Esta redundancia permite que la ecuación 2 se distinga de   Pero, por supuesto, no puede decirnos el signo real de porque y son indistinguibles solo en la línea de números reales.${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}.}$${\displaystyle \xi _{0},}$${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$

La transformada de Fourier de una función periódica no se puede definir utilizando directamente la fórmula integral. Para que la integral en la ecuación 1 se defina, la función debe ser absolutamente integrable . En su lugar, es común utilizar series de Fourier . Es posible ampliar la definición para incluir funciones periódicas al considerarlas como distribuciones templadas .

Esto permite ver una conexión entre la serie de Fourier y la transformada de Fourier para funciones periódicas que tienen una serie de Fourier convergente . Si es una función periódica , con período , que tiene una serie de Fourier convergente, entonces: donde son los coeficientes de la serie de Fourier de , y es la función delta de Dirac . En otras palabras, la transformada de Fourier es una función de peine de Dirac cuyos dientes se multiplican por los coeficientes de la serie de Fourier.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta }$

La transformada de Fourier de una función integrable se puede muestrear a intervalos regulares de longitud arbitraria. Estas muestras se pueden deducir de un ciclo de una función periódica que tiene coeficientes de serie de Fourier proporcionales a esas muestras mediante la fórmula de suma de Poisson :${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}.}$${\displaystyle f_{P}}$$${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} }$$

La integrabilidad de garantiza la convergencia de la suma periódica. Por lo tanto, las muestras se pueden determinar mediante el análisis de series de Fourier:${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)}$$${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$$

Cuando tiene un soporte compacto , tiene un número finito de términos dentro del intervalo de integración. Cuando no tiene un soporte compacto, la evaluación numérica de requiere una aproximación, como reducir o truncar el número de términos.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{P}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{P}(x)}$${\displaystyle f(x)}$

Las siguientes figuras proporcionan una ilustración visual de cómo la integral de la transformada de Fourier mide si una frecuencia está presente en una función particular. La primera imagen representa la función que es una onda coseno de 3  Hz (el primer término) formada por una función envolvente gaussiana (el segundo término) que enciende y apaga suavemente la onda. Las siguientes 2 imágenes muestran el producto que debe integrarse para calcular la transformada de Fourier a +3 Hz. La parte real del integrando tiene un valor promedio no negativo, porque los signos alternos de y oscilan a la misma velocidad y en fase, mientras que y oscilan a la misma velocidad pero con fase ortogonal. El valor absoluto de la transformada de Fourier a +3 Hz es 0,5, que es relativamente grande. Cuando se suma a la transformada de Fourier a -3 Hz (que es idéntica porque comenzamos con una señal real), encontramos que la amplitud del componente de frecuencia de 3 Hz es 1.${\displaystyle f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle f(t)e^{-i2\pi 3t},}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})}$

Sin embargo, cuando se intenta medir una frecuencia que no está presente, tanto el componente real como el imaginario de la integral varían rápidamente entre valores positivos y negativos. Por ejemplo, la curva roja busca 5 Hz. El valor absoluto de su integral es casi cero, lo que indica que casi no había ningún componente de 5 Hz en la señal. La situación general suele ser más complicada que esto, pero heurísticamente así es como la transformada de Fourier mide qué cantidad de una frecuencia individual está presente en una función.${\displaystyle f(t).}$

• 
  Partes real e imaginaria del integrando para su transformada de Fourier a +5 Hz.
• 
  Magnitud de su transformada de Fourier, con +3 y +5 Hz etiquetados.

Para reforzar un punto anterior, la razón de la respuesta en   Hz es que     y     son indistinguibles. La transformada de     tendría solo una respuesta, cuya amplitud es la integral de la envolvente suave:   mientras   que es  ${\displaystyle \xi =-3}$${\displaystyle \cos(2\pi 3t)}$${\displaystyle \cos(2\pi (-3)t)}$${\displaystyle e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}}$${\displaystyle e^{-\pi t^{2}},}$${\displaystyle \operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})}$${\displaystyle e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2.}$

Sean y representen funciones integrables Lebesgue-medibles en la recta real que satisfacen: Denotamos las transformadas de Fourier de estas funciones como y respectivamente.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .}$$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )}$

La transformada de Fourier tiene las siguientes propiedades básicas: ^[14]

$${\displaystyle a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C} }$$

$${\displaystyle f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$$El caso conduce a la propiedad de inversión temporal :${\displaystyle a=-1}$$${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$$

Cuando las partes reales e imaginarias de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay una correspondencia uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ f\quad &=\quad &f_{_{RE}}\quad &+\quad &f_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &f_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ f_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &{\widehat {f}}\quad &=\quad &{\widehat {f}}_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ {\widehat {f}}_{IO}} \quad &+\quad i\ &{\widehat {f}}_{IE}\quad &+\quad &{\widehat {f}}_{RO}\end{aligned}}}$$

De esto se desprenden diversas relaciones, por ejemplo :

• La transformada de una función de valor real es la función simétrica conjugada . Por el contrario, una transformada simétrica conjugada implica un dominio de tiempo de valor real.${\displaystyle (f_{_{RE}}+f_{_{RO}})}$${\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+i\ {\hat {f}}_{IO}.}$
• La transformada de una función de valor imaginario es la función antisimétrica conjugada y la inversa es verdadera.${\displaystyle (i\ f_{_{IE}}+i\ f_{_{IO}})}$${\displaystyle {\hat {f}}_{RO}+i\ {\hat {f}}_{IE},}$
• La transformada de una función simétrica conjugada es la función de valor real y la inversa es verdadera.${\displaystyle (f_{_{RE}}+i\ f_{_{IO}})}$${\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+{\hat {f}}_{RO},}$
• La transformada de una función antisimétrica conjugada es la función de valor imaginario y la recíproca es verdadera.${\displaystyle (f_{_{RO}}+i\ f_{_{IE}})}$${\displaystyle i\ {\hat {f}}_{IE}+i{\hat {f}}_{IO},}$

$${\displaystyle {\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}}$$(Nota: el ∗ denota conjugación compleja ).

En particular, si es real , entonces es incluso simétrica (también conocida como función hermítica ):${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.}$$

Y si es puramente imaginario, entonces es impar simétrico :${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.}$$

$${\displaystyle \operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$

Sustituyendo en la definición, obtenemos:${\displaystyle \xi =0}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.}$$

La integral de sobre su dominio se conoce como valor promedio o polarización continua de la función.${\displaystyle f}$

En condiciones adecuadas en la función , se puede recuperar a partir de su transformada de Fourier . De hecho, denotando el operador de transformada de Fourier por , por lo que , entonces para funciones adecuadas, aplicar la transformada de Fourier dos veces simplemente invierte la función: , que puede interpretarse como "tiempo invertido". Dado que el tiempo invertido es biperiódico, aplicar esto dos veces produce , por lo que el operador de transformada de Fourier es cuatriperiódico, y de manera similar, la transformada de Fourier inversa se puede obtener aplicando la transformada de Fourier tres veces: . En particular, la transformada de Fourier es invertible (en condiciones adecuadas).${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\hat {f}}}$${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\hat {f}}\right)=f}$

Más precisamente, definiendo el operador de paridad tal que , tenemos: Estas igualdades de operadores requieren una definición cuidadosa del espacio de funciones en cuestión, definiendo la igualdad de funciones (¿igualdad en cada punto? ¿igualdad casi en todas partes ?) y definiendo la igualdad de operadores – es decir, definiendo la topología en el espacio de funciones y el espacio de operadores en cuestión. Estas no son verdaderas para todas las funciones, pero son verdaderas bajo varias condiciones, que son el contenido de las varias formas del teorema de inversión de Fourier .${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$$

Esta periodicidad cuádruple de la transformada de Fourier es similar a una rotación del plano de 90°, particularmente porque la iteración doble produce una inversión, y de hecho esta analogía se puede hacer precisa. Mientras que la transformada de Fourier se puede interpretar simplemente como cambiar el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, con la transformada de Fourier inversa cambiándolos de nuevo, más geométricamente se puede interpretar como una rotación de 90° en el dominio del tiempo-frecuencia (considerando el tiempo como el eje x y la frecuencia como el eje y ), y la transformada de Fourier se puede generalizar a la transformada de Fourier fraccionaria , que implica rotaciones de otros ángulos. Esto se puede generalizar aún más a las transformaciones canónicas lineales , que se pueden visualizar como la acción del grupo lineal especial SL ₂ ( R ) en el plano de tiempo-frecuencia, con la forma simpléctica preservada correspondiente al principio de incertidumbre, a continuación. Este enfoque se estudia particularmente en el procesamiento de señales , en el análisis de tiempo-frecuencia .

La variable frecuencia debe tener unidades inversas a las unidades del dominio de la función original (normalmente denominada o ). Por ejemplo, si se mide en segundos, debe estar en ciclos por segundo o hercios . Si la escala de tiempo está en unidades de segundos, normalmente se utiliza otra letra griega para representar la frecuencia angular (donde ) en unidades de radianes por segundo. Si se utiliza para unidades de longitud, debe estar en longitud inversa, por ejemplo, números de onda . Es decir, hay dos versiones de la línea real: una que es el rango de y medido en unidades de y la otra que es el rango de y medido en unidades inversas a las unidades de Estas dos versiones distintas de la línea real no se pueden equiparar entre sí. Por tanto, la transformada de Fourier va de un espacio de funciones a un espacio de funciones diferente: funciones que tienen un dominio de definición diferente.${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle t.}$

En general, siempre debe tomarse como una forma lineal en el espacio de su dominio, es decir que la segunda recta real es el espacio dual de la primera recta real. Véase el artículo sobre álgebra lineal para una explicación más formal y para más detalles. Este punto de vista se vuelve esencial en las generalizaciones de la transformada de Fourier a grupos de simetría generales , incluido el caso de las series de Fourier.${\displaystyle \xi }$

El hecho de que no exista una única forma preferida (a menudo se dice "ninguna forma canónica") de comparar las dos versiones de la línea real que intervienen en la transformada de Fourier (fijar las unidades en una línea no fuerza la escala de las unidades en la otra) es la razón de la plétora de convenciones rivales sobre la definición de la transformada de Fourier. Las diversas definiciones resultantes de las distintas opciones de unidades difieren en varias constantes.

En otras convenciones, la transformada de Fourier tiene i en el exponente en lugar de − i , y viceversa para la fórmula de inversión. Esta convención es común en la física moderna ^[15] y es la predeterminada para Wolfram Alpha, y no significa que la frecuencia se haya vuelto negativa, ya que no existe una definición canónica de positividad para la frecuencia de una onda compleja. Simplemente significa que es la amplitud de la onda     en lugar de la onda   (la primera, con su signo menos, se ve a menudo en la dependencia del tiempo para soluciones de ondas planas sinusoidales de la ecuación de onda electromagnética , o en la dependencia del tiempo para funciones de onda cuántica ). Muchas de las identidades que involucran la transformada de Fourier siguen siendo válidas en esas convenciones, siempre que todos los términos que involucran explícitamente i lo tengan reemplazado por − i . En ingeniería eléctrica, la letra j se usa típicamente para la unidad imaginaria en lugar de i porque i se usa para corriente.${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

Al utilizar unidades adimensionales , los factores constantes podrían ni siquiera estar escritos en la definición de la transformada. Por ejemplo, en teoría de la probabilidad , la función característica Φ de la función de densidad de probabilidad f de una variable aleatoria X de tipo continuo se define sin un signo negativo en la exponencial, y como las unidades de x se ignoran, tampoco hay 2 π :$${\displaystyle \phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$$

(En teoría de probabilidad y en estadística matemática, se prefiere el uso de la transformada de Fourier-Stieltjes, porque muchas variables aleatorias no son de tipo continuo y no poseen una función de densidad, y uno debe tratar no funciones sino distribuciones , es decir, medidas que poseen "átomos".)

Desde el punto de vista más elevado de los caracteres de grupo , que es mucho más abstracto, todas estas elecciones arbitrarias desaparecen, como se explicará en la sección posterior de este artículo, que trata la noción de transformada de Fourier de una función en un grupo abeliano localmente compacto .

La transformada de Fourier puede definirse en algunos casos para funciones no integrables, pero las transformadas de Fourier de funciones integrables tienen varias propiedades importantes.

La transformada de Fourier de cualquier función integrable es uniformemente continua y ^[16]${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$$

Por el lema de Riemann-Lebesgue , ^[11]$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$$

Sin embargo, no es necesario que sean integrables. Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función rectangular , que es integrable, es la función sinc , que no es integrable según el método de Lebesgue , porque sus integrales impropias se comportan de manera análoga a las series armónicas alternas , al converger a una suma sin ser absolutamente convergentes .${\displaystyle {\hat {f}}}$

En general, no es posible escribir la transformada inversa como una integral de Lebesgue . Sin embargo, cuando tanto y son integrables, la igualdad inversa se cumple para casi todo x . Como resultado, la transformada de Fourier es inyectiva en L ¹ ( R ) .${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$$${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$$

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Sean f ( x ) y g ( x ) integrables, y sean f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) sus transformadas de Fourier. Si f ( x ) y g ( x ) también son integrables al cuadrado , entonces la fórmula de Parseval es la siguiente: ^[17]

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$$donde la barra denota conjugación compleja .

El teorema de Plancherel , que se desprende de lo anterior, establece que ^[18]$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$$

El teorema de Plancherel permite extender la transformada de Fourier, mediante un argumento de continuidad, a un operador unitario en L ² ( R ) . En L ¹ ( R ) ∩ L ² ( R ) , esta extensión concuerda con la transformada de Fourier original definida en L ¹ ( R ) , ampliando así el dominio de la transformada de Fourier a L ¹ ( R ) + L ² ( R ) (y en consecuencia a L ^p ( R ) para 1 ≤ p ≤ 2 ). El teorema de Plancherel tiene la interpretación en las ciencias de que la transformada de Fourier preserva la energía de la cantidad original. La terminología de estas fórmulas no está del todo estandarizada. El teorema de Parseval se demostró solo para series de Fourier, y fue demostrado por primera vez por Lyapunov. Pero la fórmula de Parseval también tiene sentido para la transformada de Fourier, y aunque en el contexto de la transformada de Fourier fue demostrada por Plancherel, todavía se suele hacer referencia a ella como la fórmula de Parseval, o la relación de Parseval, o incluso el teorema de Parseval.

Véase la dualidad de Pontryagin para una formulación general de este concepto en el contexto de grupos abelianos localmente compactos.

La fórmula de suma de Poisson (PSF) es una ecuación que relaciona los coeficientes de la serie de Fourier de la suma periódica de una función con los valores de la transformada de Fourier continua de la función. La fórmula de suma de Poisson dice que para funciones suficientemente regulares f ,$${\displaystyle \sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n).}$$

Tiene una variedad de formas útiles que se derivan de la básica mediante la aplicación de las propiedades de escala y desplazamiento temporal de la transformada de Fourier. La fórmula tiene aplicaciones en ingeniería, física y teoría de números . El dual en el dominio de la frecuencia de la fórmula de suma de Poisson estándar también se denomina transformada de Fourier de tiempo discreto .

La suma de Poisson se asocia generalmente con la física de los medios periódicos, como la conducción de calor en un círculo. La solución fundamental de la ecuación del calor en un círculo se llama función theta . Se utiliza en la teoría de números para demostrar las propiedades de transformación de las funciones theta, que resultan ser un tipo de forma modular , y está conectada de manera más general con la teoría de las formas automórficas donde aparece en un lado de la fórmula de traza de Selberg .

Supóngase que f ( x ) es una función diferenciable absolutamente continua, y tanto f como su derivada f′ son integrables. Entonces la transformada de Fourier de la derivada está dada por De manera más general, la transformada de Fourier de la n ésima derivada f ^{( n )} está dada por$${\displaystyle {\widehat {f'\,}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\hat {f}}(\xi ).}$$$${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\hat {f}}(\xi ).}$$

Análogamente, , por lo que${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi )\right\}=(i2\pi x)^{n}f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi ).}$

Aplicando la transformada de Fourier y utilizando estas fórmulas, algunas ecuaciones diferenciales ordinarias pueden transformarse en ecuaciones algebraicas, que son mucho más fáciles de resolver. Estas fórmulas también dan lugar a la regla general " f ( x ) es suave si y solo si f̂ ( ξ ) cae rápidamente a 0 para | ξ | → ∞ ." Utilizando las reglas análogas para la transformada de Fourier inversa, también se puede decir " f ( x ) cae rápidamente a 0 para | x | → ∞ si y solo si f̂ ( ξ ) es suave."

La transformada de Fourier se traduce entre convolución y multiplicación de funciones. Si f ( x ) y g ( x ) son funciones integrables con transformadas de Fourier f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) respectivamente, entonces la transformada de Fourier de la convolución viene dada por el producto de las transformadas de Fourier f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) (bajo otras convenciones para la definición de la transformada de Fourier puede aparecer un factor constante).

Esto significa que si: donde ∗ denota la operación de convolución, entonces:$${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$$${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\,{\hat {g}}(\xi ).}$$

En la teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) , es común interpretar g ( x ) como la respuesta al impulso de un sistema LTI con entrada f ( x ) y salida h ( x ) , ya que al sustituir el impulso unitario por f ( x ) se obtiene h ( x ) = g ( x ) . En este caso, ĝ ( ξ ) representa la respuesta en frecuencia del sistema.

Por el contrario, si f ( x ) puede descomponerse como el producto de dos funciones integrables al cuadrado p ( x ) y q ( x ) , entonces la transformada de Fourier de f ( x ) está dada por la convolución de las respectivas transformadas de Fourier p̂ ( ξ ) y q̂ ( ξ ) .

De manera análoga, se puede demostrar que si h ( x ) es la correlación cruzada de f ( x ) y g ( x ) : entonces la transformada de Fourier de h ( x ) es:$${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$$$${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,{\hat {g}}(\xi ).}$$

Como caso especial, la autocorrelación de la función f ( x ) es: para lo cual$${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$$$${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$$

La transformada de Fourier es una transformada lineal que tiene funciones propias que obedecen a${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi ,}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$

Se obtiene un conjunto de funciones propias observando que la ecuación diferencial homogénea conduce a funciones propias de la transformada de Fourier siempre que la forma de la ecuación permanezca invariable bajo la transformada de Fourier. ^{[nota 5]} En otras palabras, cada solución y su transformada de Fourier obedecen a la misma ecuación. Suponiendo la unicidad de las soluciones, cada solución debe ser, por tanto, una función propia de la transformada de Fourier. La forma de la ecuación permanece invariable bajo la transformada de Fourier si se puede expandir en una serie de potencias en la que para todos los términos el mismo factor de cualquiera de los dos surge de los factores introducidos por las reglas de diferenciación al aplicar la transformada de Fourier a la ecuación diferencial homogénea porque este factor puede entonces cancelarse. La opción más simple permitida conduce a la distribución normal estándar . ^[19]$${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle U(x)}$${\displaystyle \pm 1,\pm i}$${\displaystyle i^{n}}$${\displaystyle U(x)=x}$

De manera más general, también se encuentra un conjunto de funciones propias observando que las reglas de diferenciación implican que la ecuación diferencial ordinaria con constante y siendo una función par no constante permanece invariante en forma al aplicar la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuación. El ejemplo más simple lo proporciona que es equivalente a considerar la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico . ^[20] Las soluciones correspondientes proporcionan una elección importante de una base ortonormal para L ² ( R ) y están dadas por las funciones de Hermite del "físico" . De manera equivalente, se puede utilizar donde He _n ( x ) son los polinomios de Hermite del "probabilista" , definidos como$${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle W(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle W(x)=x^{2}}$$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$$$${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

Bajo esta convención para la transformada de Fourier, tenemos que$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$$

En otras palabras, las funciones de Hermite forman un sistema ortonormal completo de funciones propias para la transformada de Fourier en L ² ( R ) . ^{[14] [21]} Sin embargo, esta elección de funciones propias no es única. Debido a que solo hay cuatro valores propios diferentes de la transformada de Fourier (las raíces cuartas de la unidad ±1 y ± i ) y cualquier combinación lineal de funciones propias con el mismo valor propio da otra función propia. ^[22] Como consecuencia de esto, es posible descomponer L ² ( R ) como una suma directa de cuatro espacios H ₀ , H ₁ , H ₂ y H ₃ donde la transformada de Fourier actúa sobre He _k simplemente por multiplicación por i ^k .${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$

Dado que el conjunto completo de funciones de Hermite ψ _n proporciona una resolución de la identidad, diagonalizan el operador de Fourier, es decir, la transformada de Fourier se puede representar mediante una suma de términos ponderada por los valores propios anteriores, y estas sumas se pueden sumar explícitamente:$${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$$

Este enfoque para definir la transformada de Fourier fue propuesto por primera vez por Norbert Wiener . ^[23] Entre otras propiedades, las funciones de Hermite decrecen exponencialmente rápido tanto en el dominio de la frecuencia como en el del tiempo, y por lo tanto se utilizan para definir una generalización de la transformada de Fourier, a saber, la transformada de Fourier fraccionaria utilizada en el análisis de tiempo-frecuencia. ^[24] En física , esta transformada fue introducida por Edward Condon . ^[25] Este cambio de funciones de base se hace posible porque la transformada de Fourier es una transformada unitaria cuando se utilizan las convenciones correctas. En consecuencia, bajo las condiciones adecuadas se puede esperar que resulte de un generador autoadjunto a través de ^[26]${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$$

El operador es el operador numérico del oscilador armónico cuántico escrito como ^{[27] [28]}${\displaystyle N}$$${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right).}$$

Puede interpretarse como el generador de transformadas de Fourier fraccionarias para valores arbitrarios de t , y de la transformada de Fourier continua convencional para el valor particular con el núcleo de Mehler implementando la transformada activa correspondiente . Las funciones propias de son las funciones de Hermite que, por lo tanto, también son funciones propias de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle t=\pi /2,}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Al extender la transformada de Fourier a las distribuciones, el peine de Dirac también es una función propia de la transformada de Fourier.

El grupo de Heisenberg es un grupo determinado de operadores unitarios en el espacio de Hilbert L ² ( R ) de funciones complejas integrables al cuadrado f en la recta real, generadas por las traslaciones ( T _y f )( x ) = f ( x + y ) y multiplicación por e ^{i 2π ξx} , ( M _ξ f )( x ) = e ^{i 2π ξx} f ( x ) . Estos operadores no conmutan, ya que su conmutador (de grupo) es que es la multiplicación por la constante (independiente de x ) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1) (el grupo circular de números complejos de módulo unitario). Como grupo abstracto, el grupo de Heisenberg es el grupo de Lie tridimensional de ternas ( x , ξ , z ) ∈ R ² × U (1) , con la ley de grupo$${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x)}$$$${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{i2\pi \left(x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).}$$

Denotemos el grupo de Heisenberg por H ₁ . El procedimiento anterior describe no solo la estructura del grupo, sino también una representación unitaria estándar de H ₁ en un espacio de Hilbert, que denotamos por ρ  : H ₁ → B ( L ² ( R )) . Definamos el automorfismo lineal de R ² por de modo que J ² = − I . Esta J se puede extender a un automorfismo único de H ₁ :$${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$$

Según el teorema de Stone-von Neumann , las representaciones unitarias ρ y ρ ∘ j son unitariamente equivalentes, por lo que existe un entrelazador único W ∈ U ( L ² ( R )) tal que Este operador W es la transformada de Fourier.$${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$$

Muchas de las propiedades estándar de la transformada de Fourier son consecuencias inmediatas de este marco más general. ^[29] Por ejemplo, el cuadrado de la transformada de Fourier, W ² , es un entrelazador asociado con J ² = − I , y por lo tanto tenemos que ( W ² f )( x ) = f (− x ) es el reflejo de la función original f .

La integral de la transformada de Fourier se puede estudiar para valores complejos de su argumento ξ . Dependiendo de las propiedades de f , es posible que no converja fuera del eje real en absoluto, o que converja a una función analítica compleja para todos los valores de ξ = σ + iτ , o algo intermedio. ^[30]$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \xi t}f(t)\,dt}$$

El teorema de Paley-Wiener dice que f es suave (es decir, n veces diferenciable para todos los enteros positivos n ) y con soporte compacto si y solo si f̂ ( σ + iτ ) es una función holomorfa para la que existe una constante a > 0 tal que para cualquier entero n ≥ 0 , para alguna constante C . (En este caso, f se soporta en [− a , a ] .) Esto se puede expresar diciendo que f̂ es una función entera que es rápidamente decreciente en σ (para τ fijo ) y de crecimiento exponencial en τ (uniformemente en σ ). ^[31]$${\displaystyle \left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }}$$