Vinculación Peaucellier-Lipkin

Enlace mecánico que transforma el movimiento rotatorio en lineal

El mecanismo de Peaucellier-Lipkin (o célula de Peaucellier-Lipkin o inversor de Peaucellier-Lipkin ), inventado en 1864, fue el primer mecanismo de línea recta verdaderamente plano : el primer mecanismo de línea recta plano capaz de transformar el movimiento rotatorio en un movimiento de línea recta perfecto y viceversa. Recibe su nombre en honor a Charles-Nicolas Peaucellier (1832-1913), un oficial del ejército francés, y a Yom Tov Lipman Lipkin (1846-1876), un judío lituano e hijo del famoso rabino Israel Salanter . ^[1]^[2]

Hasta esta invención, no existía ningún método plano para convertir el movimiento rectilíneo exacto en movimiento circular, sin guías de referencia. En 1864, toda la energía provenía de las máquinas de vapor , que tenían un pistón que se movía en línea recta hacia arriba y hacia abajo en un cilindro. Este pistón necesitaba mantener un buen sellado con el cilindro para retener el medio impulsor y no perder eficiencia energética debido a fugas. El pistón hace esto permaneciendo perpendicular al eje del cilindro, reteniendo su movimiento en línea recta. Convertir el movimiento en línea recta del pistón en movimiento circular era de importancia crítica. La mayoría, si no todas, las aplicaciones de estas máquinas de vapor, eran rotativas.

Las matemáticas del enlace Peaucellier-Lipkin están directamente relacionadas con la inversión de un círculo.

Vinculación anterior de Sarrus

Existe un mecanismo de línea recta anterior, cuya historia no se conoce bien, llamado mecanismo de Sarrus . Este mecanismo es anterior al mecanismo de Peaucellier-Lipkin en 11 años y consiste en una serie de placas rectangulares articuladas, dos de las cuales permanecen paralelas pero se pueden mover normalmente entre sí. El mecanismo de Sarrus es de una clase tridimensional a veces conocida como manivela espacial, a diferencia del mecanismo de Peaucellier-Lipkin, que es un mecanismo plano.

Geometría

Diagrama geométrico de un mecanismo de Peaucellier

En el diagrama geométrico del aparato se pueden ver seis barras de longitud fija: $OA$ , $OC$ , $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ . La longitud de $OA$ es igual a la longitud de $OC$ , y las longitudes de $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ son todas iguales formando un rombo . Además, el punto $O$ es fijo. Entonces, si el punto $B$ está obligado a moverse a lo largo de un círculo (por ejemplo, uniéndolo a una barra con una longitud a mitad de camino entre $O$ y $B$ ; camino mostrado en rojo) que pasa por $O$ , entonces el punto $D$ necesariamente tendrá que moverse a lo largo de una línea recta (mostrada en azul). Por el contrario, si el punto $B$ estuviera obligado a moverse a lo largo de una línea (que no pase por $O$ ), entonces el punto $D$ necesariamente tendría que moverse a lo largo de un círculo (que pase por $O$ ).

Prueba matemática de concepto

Colinealidad

En primer lugar, se debe demostrar que los puntos $O$ , $B$ y $D$ son colineales . Esto se puede ver fácilmente observando que el enlace es simétrico respecto de la línea $OD$ , por lo que el punto $B$ debe caer sobre esa línea.

De manera más formal, los triángulos $△ BAD$ y $△ BCD$ son congruentes porque el lado $BD$ es congruente consigo mismo, el lado $BA$ es congruente con el lado $BC$ y el lado $AD$ es congruente con el lado $CD$ . Por lo tanto, los ángulos $∠ ABD$ y $∠ CBD$ son iguales.

A continuación, los triángulos $△ OBA$ y $△ OBC$ son congruentes, ya que los lados $OA$ y $OC$ son congruentes, el lado $OB$ es congruente consigo mismo y los lados $BA$ y $BC$ son congruentes. Por lo tanto, los ángulos $∠ OBA$ y $∠ OBC$ son iguales.

Finalmente, debido a que forman un círculo completo, tenemos

\ángulo OBA+\ángulo ABD+\ángulo DBC+\ángulo CBO=360^{\circ }

pero, debido a las congruencias, $∠ OBA = ∠ OBC$ y $∠ DBA = ∠ DBC$ , por lo tanto

{\begin{aligned}&2\times \ángulo OBA+2\times \ángulo DBA=360^{\circ }\\&\ángulo OBA+\ángulo DBA=180^{\circ }\end{aligned}}

Por lo tanto, los puntos $O$ , $B$ y $D$ son colineales.

Puntos inversos

Sea el punto $P$ la intersección de las rectas $AC$ y $BD$ . Entonces, como $ABCD$ es un rombo , $P$ es el punto medio de ambos segmentos de recta $BD$ y $AC$ . Por lo tanto, la longitud $BP$ = longitud $PD$ .

El triángulo $△ BPA$ es congruente con el triángulo $△ DPA$ , porque el lado $BP$ es congruente con el lado $DP$ , el lado $AP$ es congruente consigo mismo y el lado $AB$ es congruente con el lado $AD$ . Por lo tanto, el ángulo $∠ BPA$ = ángulo $∠ DPA$ . Pero como $∠ BPA + ∠ DPA = 180°$ , entonces $2 \times ∠ BPA = 180°$ , $∠ BPA = 90°$ y $∠ DPA = 90°$ .

Dejar:

{\begin{aligned}&x=\ell _{BP}=\ell _{PD}\\&y=\ell _{OB}\\&h=\ell _{AP}\end{aligned}}

Entonces:

\ell_{OB}\cdot \ell_{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy

{\ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}

(debido al teorema de Pitágoras )

{\ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}

(misma expresión expandida)

{\ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}

(Teorema de Pitágoras)

{\ell _{OA}}^{2}-{\ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}

Dado que $OA$ y $AD$ tienen longitudes fijas, entonces el producto de $OB$ y $OD$ es una constante:

\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=k^{2}

y como los puntos $O$ , $B$ , $D$ son colineales, entonces $D$ es la inversa de $B$ con respecto al círculo $(O, k)$ con centro $O$ y radio $k$ .

Geometría inversa

Así, por las propiedades de la geometría inversa , como la figura trazada por el punto $D$ es la inversa de la figura trazada por el punto $B$ , si $B$ traza un círculo que pasa por el centro de inversión $O$ , entonces $D$ está obligado a trazar una línea recta. Pero si $B$ traza una línea recta que no pasa por $O$ , entonces $D$ debe trazar un arco de círculo que pase por $O.$ QED

Un conductor típico

Los enlaces Peaucellier-Lipkin (PLL) pueden tener varias inversiones. Un ejemplo típico se muestra en la figura opuesta, en la que un balancín deslizante de cuatro barras sirve como controlador de entrada. Para ser precisos, el deslizador actúa como entrada, que a su vez activa el enlace de conexión a tierra derecho del PLL, lo que activa todo el PLL.

Notas históricas

Sylvester ( Obras completas , vol. 3, papel 2) escribe que cuando le mostró un modelo a Kelvin , “lo cuidó como si fuera su propio hijo, y cuando alguien hizo un gesto para que se lo quitara, respondió: “¡No! No he tenido suficiente de él, es lo más hermoso que he visto en mi vida”.

Referencias culturales

Una escultura a escala monumental que implementa el enlace en puntales iluminados se encuentra en exposición permanente en Eindhoven, Países Bajos . La obra de arte mide 22 por 15 por 16 metros (72 pies × 49 pies × 52 pies), pesa 6.600 kilogramos (14.600 libras) y puede operarse desde un panel de control accesible al público en general. ^[3]

Véase también

Referencias

^ "Tutorial matemático del enlace Peaucellier-Lipkin". Kmoddl.library.cornell.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2011 .
^ Taimina, Daina. "Cómo dibujar una línea recta por Daina Taimina". Kmoddl.library.cornell.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2011 .
^ "El hecho de que seas un personaje no significa que tengas carácter". Ivo Schoofs . Consultado el 14 de agosto de 2017 .

Bibliografía

Ogilvy, CS (1990), Excursiones en geometría, Dover, págs. 46-48, ISBN 0-486-26530-7
Bryant, John; Sangwin, Chris (2008). ¿Qué tan redondo es tu círculo? : donde la ingeniería y las matemáticas se encuentran . Princeton: Princeton University Press. pp. 33–38, 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4.— prueba y discusión del vínculo Peaucellier-Lipkin, modelos mecánicos matemáticos y del mundo real
Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometry Revisited . Washington : MAA . Págs. 108-111. ISBN. 978-0-88385-619-2.(y referencias citadas en el mismo)
Hartenberg, RS y J. Denavit (1964) Síntesis cinemática de vínculos, págs. 181–5, Nueva York: McGraw–Hill, enlace web desde Cornell University .
Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Mifflin ed.). Nueva York: Dover Publications. pp. 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0.
Wells D (1991). Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante. Nueva York: Penguin Books. pág. 120. ISBN 0-14-011813-6.

Enlaces externos

Cómo dibujar una línea recta, videoclips en línea de vínculos con subprogramas interactivos.
Cómo dibujar una línea recta, discusión histórica del diseño de vínculos
Applet Java interactivo con prueba.
Enlace Peaucellier–Lipkin animado en Java
Artículo de la Enciclopedia Judía sobre Lippman Lipkin y su padre Israel Salanter
El aparato Peaucellier cuenta con una aplicación interactiva
Una simulación utilizando el software Molecular Workbench
Un enlace relacionado llamado Inversor de Hart.
Enlace del brazo robótico Peaucellier modificado (video de Vex Team 1508)

[1] "Tutorial matemático del enlace Peaucellier-Lipkin". Kmoddl.library.cornell.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2011 .

[2] Taimina, Daina. "Cómo dibujar una línea recta por Daina Taimina". Kmoddl.library.cornell.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2011 .

[Schoofs-3] "El hecho de que seas un personaje no significa que tengas carácter". Ivo Schoofs . Consultado el 14 de agosto de 2017 .