Módulo elástico

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Un módulo elástico (también conocido como módulo de elasticidad ) es la unidad de medida de la resistencia de un objeto o sustancia a deformarse elásticamente (es decir, de manera no permanente) cuando se le aplica una tensión .

El módulo elástico de un objeto se define como la pendiente de su curva de tensión-deformación en la región de deformación elástica: ^[1] Un material más rígido tendrá un módulo elástico más alto. Un módulo elástico tiene la forma:

${\displaystyle \delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{estrés}}{\text{deformación}}}}$

donde la tensión es la fuerza que causa la deformación dividida por el área a la que se aplica la fuerza y ​​la deformación es la relación entre el cambio en algún parámetro causado por la deformación y el valor original del parámetro.

Dado que la deformación es una cantidad adimensional, las unidades de serán las mismas que las unidades de estrés. ^[2]${\estilo de visualización \delta}$

Las constantes elásticas son parámetros específicos que cuantifican la rigidez de un material en respuesta a las tensiones aplicadas y son fundamentales para definir las propiedades elásticas de los materiales. Estas constantes forman los elementos de la matriz de rigidez en notación tensorial, que relaciona la tensión con la deformación a través de ecuaciones lineales en materiales anisotrópicos . Comúnmente denotadas como C _ijkl , donde i , j , k y l son las direcciones de coordenadas, estas constantes son esenciales para comprender cómo se deforman los materiales bajo diversas cargas. ^[3]

La especificación de cómo se deben medir la tensión y la deformación, incluidas las direcciones, permite definir muchos tipos de módulos elásticos. Los cuatro principales son:

1. El módulo de Young ( E ) describe la elasticidad de tracción y compresión, o la tendencia de un objeto a deformarse a lo largo de un eje cuando se aplican fuerzas opuestas a lo largo de ese eje; se define como la relación entre la tensión de tracción y la deformación por tracción . A menudo se lo denomina simplemente módulo elástico .
2. El módulo de corte o módulo de rigidez ( G o segundo parámetro de Lamé) describe la tendencia de un objeto a cortarse (la deformación de la forma a volumen constante) cuando actúa sobre él fuerzas opuestas; se define como la tensión de corte sobre la deformación de corte . El módulo de corte es parte de la derivación de la viscosidad .${\displaystyle \mu \,}$
3. El módulo volumétrico ( K ) describe la elasticidad volumétrica, o la tendencia de un objeto a deformarse en todas las direcciones cuando se carga uniformemente en todas las direcciones; se define como la tensión volumétrica sobre la deformación volumétrica y es la inversa de la compresibilidad . El módulo volumétrico es una extensión del módulo de Young a tres dimensiones.
4. El módulo de flexión ₍ Eflex ) describe la tendencia de un objeto a flexionarse cuando actúa sobre él un momento .

Otros dos módulos elásticos son el primer parámetro de Lamé , λ, y el módulo de onda P , M , que se utilizan en la tabla de comparaciones de módulos que se incluye en las referencias que aparecen a continuación. Los materiales (sólidos) homogéneos e isótropos (similares en todas las direcciones) tienen sus propiedades elásticas (lineales) completamente descritas por dos módulos elásticos, y se puede elegir cualquier par. Dado un par de módulos elásticos, todos los demás módulos elásticos se pueden calcular de acuerdo con las fórmulas de la tabla que aparece a continuación al final de la página.

Los fluidos no viscosos tienen la particularidad de que no pueden soportar esfuerzos cortantes, lo que significa que el módulo de corte siempre es cero. Esto también implica que el módulo de Young para este grupo siempre es cero.

En algunos textos, el módulo de elasticidad se denomina constante elástica , mientras que la cantidad inversa se denomina módulo elástico .

La teoría funcional de la densidad (DFT) proporciona métodos confiables para determinar varias formas de módulos elásticos que caracterizan las distintas características de la reacción de un material a las tensiones mecánicas. Utilice software DFT como VASP , Quantum ESPRESSO o ABINIT . En general, realice pruebas para garantizar que los resultados sean independientes de los parámetros computacionales, como la densidad de la malla de puntos k, la energía de corte de la onda plana y el tamaño de la celda de simulación.

1. Módulo de Young ( E ): se aplican pequeños cambios incrementales en el parámetro de red a lo largo de un eje específico y se calcula la respuesta de tensión correspondiente utilizando DFT. El módulo de Young se calcula entonces como E = σ / ϵ , donde σ es la tensión y ϵ es la deformación. ^[4]
   1. Estructura inicial: se parte de una estructura relajada del material. Todos los átomos deben estar en un estado de energía mínima (es decir, un estado de energía mínima con cero fuerzas sobre los átomos) antes de aplicar cualquier deformación. ^[5]
   2. Deformación uniaxial incremental: aplicar pequeñas deformaciones incrementales a la red cristalina a lo largo de un eje determinado. Esta deformación suele ser uniaxial , lo que significa que estira o comprime la red en una dirección mientras mantiene las demás dimensiones constantes o periódicas.
   3. Calcular tensiones: para cada configuración deformada, ejecutar un cálculo DFT para calcular el tensor de tensión resultante ^{[ desambiguación necesaria ]} . Esto implica resolver las ecuaciones de Kohn-Sham para encontrar la densidad electrónica y la energía del estado fundamental en las condiciones deformadas.
   4. Curva de tensión-deformación : grafica la tensión calculada en función de la deformación aplicada para crear una curva de tensión-deformación. La pendiente de la parte lineal inicial de esta curva proporciona el módulo de Young. Matemáticamente, el módulo de Young E se calcula utilizando la fórmula E = σ / ϵ , donde σ es la tensión y ϵ es la deformación.
2. Módulo de corte ( G )
   1. Estructura inicial: comience con una estructura relajada del material. Todos los átomos deben estar en un estado de energía mínima sin fuerzas residuales (es decir, un estado de energía mínima con cero fuerzas sobre los átomos) antes de aplicar cualquier deformación.
   2. Aplicación de la deformación por corte: aplicar pequeños incrementos de deformación por corte al material. Las deformaciones por corte son componentes típicamente fuera de la diagonal del tensor de deformación, que afectan la forma pero no el volumen de la celda cristalina. ^[6]
   3. Cálculo de tensión: para cada configuración con deformación cortante aplicada , realice un cálculo DFT para determinar el tensor de tensión resultante.
   4. Curva de esfuerzo cortante frente a deformación cortante : grafique el esfuerzo cortante calculado frente a la deformación cortante aplicada para cada incremento. La pendiente de la curva de esfuerzo-deformación en su región lineal proporciona el módulo de esfuerzo cortante, G = τ / γ , donde τ es el esfuerzo cortante y γ es la deformación cortante aplicada.
3. Módulo volumétrico ( K )
   1. Estructura inicial: comience con una estructura relajada del material. Es fundamental que el material esté completamente optimizado, lo que garantiza que cualquier cambio en el volumen se deba únicamente a la presión aplicada.
   2. Cambios de volumen: cambia de forma incremental el volumen de la celda cristalina , ya sea comprimiéndola o expandiéndola. Esto se hace generalmente escalando de manera uniforme los parámetros de la red.
   3. Calcular la presión: para cada volumen modificado, realice un cálculo DFT para determinar la presión necesaria para mantener ese volumen. La DFT permite calcular tensores de tensión que proporcionan una medida directa de la presión interna.
   4. Curva de presión-volumen : grafica la presión aplicada frente al cambio de volumen resultante. El módulo volumétrico se puede calcular a partir de la pendiente de esta curva en la región elástica lineal. El módulo volumétrico se define como K = − VdV / dP , donde V es el volumen original, dP es el cambio de presión y dV es el cambio de volumen. ^[7]

• Hartsuijker, C.; Welleman, JW (2001). Ingeniería Mecánica . Volumen 2. Saltador. ISBN 978-1-4020-4123-5.

• De Jong, M.; Chen, Wei (2015). "Gráfico de las propiedades elásticas completas de compuestos cristalinos inorgánicos". Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode :2013NatSD...2E0009D. doi :10.1038/sdata.2015.9. PMC  4432655 . PMID  25984348.

Fórmulas de conversión
Los materiales elásticos lineales isótropos homogéneos tienen sus propiedades elásticas determinadas únicamente por cualesquiera dos módulos entre estos; por lo tanto, dados dos cualesquiera, cualquier otro de los módulos elásticos se puede calcular de acuerdo con estas fórmulas, siempre que se trate tanto de materiales 3D (primera parte de la tabla) como de materiales 2D (segunda parte).
Fórmulas 3D	${\displaystyle K=\,}$	${\estilo de visualización E=\,}$	${\displaystyle \lambda =\,}$	${\estilo de visualización G=\,}$	${\displaystyle \nu =\,}$	${\estilo de visualización M=\,}$	Notas
${\displaystyle (K,\,E)}$			${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\displaystyle (K,\,\lambda)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\estilo de visualización 3K-2\lambda \,}$
${\displaystyle (K,\,G)}$		${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$		${\displaystyle {\frac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle (K,\,\nu )}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$
${\displaystyle (K,\,M)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$
${\displaystyle (E,\,\lambda )}$	${\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$			${\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}$
${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
${\displaystyle (E,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$		${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Hay dos soluciones válidas. El signo más lleva a .${\displaystyle \nu \geq 0}$ El signo menos lleva a .${\displaystyle \nu \leq 0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$
${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	No se puede utilizar cuando${\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}$
${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$
${\displaystyle (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}$
Fórmulas 2D	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle E_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle G_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }=\,}$	Notas
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })}$			${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}$		${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$
${\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,}$
${\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	No se puede utilizar cuando${\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0}$
${\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}$