Sistema Katapayadi

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El sistema Kaṭapayādi (Devanagari: कटपयादि, también conocido como Paralppēru, Malayalam: പരല്‍പ്പേര്) de notación numérica es un antiguo sistema numérico alfasilábico indio para representar letras en números para recordar fácilmente los números como palabras o versos. Al asignar más de una letra a un número y anular ciertas otras letras por carecer de valor, este sistema proporciona la flexibilidad de formar palabras significativas a partir de números que se pueden recordar fácilmente.

La evidencia más antigua disponible del uso del sistema Kaṭapayādi (sánscrito: कटपयादि) es de Grahacāraṇibandhana por Haridatta en 683 d.C. ^[1] Ha sido utilizado en Laghu·bhāskarīya·vivaraṇa escrito por Śaṅkara·nārāyaṇa en 869 EC . ^[2]

En algunos textos astronómicos populares en Kerala, las posiciones planetarias se codificaban en el sistema Kaṭapayādi. Se considera que la primera obra de este tipo es el Chandra-vakyani de Vararuci , que tradicionalmente se asigna al siglo IV d. C. Por lo tanto, una estimación razonable para el origen del sistema Kaṭapayādi es algún momento a principios del primer milenio. ^[3]

Se sabe que Aryabhata , en su tratado Ārya·bhaṭīya , utilizó un sistema similar, más complejo, para representar números astronómicos . No hay evidencia definitiva de si el sistema Ka-ṭa-pa-yā-di se originó a partir de la numeración Āryabhaṭa . ^[4]

Casi todas las evidencias del uso del sistema Ka-ṭa-pa-yā-di provienen del sur de la India , especialmente de Kerala . No se sabe mucho sobre su uso en el norte de la India. Sin embargo, en un astrolabio sánscrito descubierto en el norte de la India , los grados de altitud están marcados en el sistema Kaṭapayādi . Se conserva en la Biblioteca Sarasvati Bhavan de la Universidad Sánscrita Sampurnanand , Varanasi . ^[5]

El sistema Ka-ṭa-pa-yā-di no se limita a la India. Se han descubierto algunos cronogramas pali basados ​​en el sistema Ka-ṭa-pa-yā-di en Birmania . ^[6]

El siguiente verso que se encuentra en el Sadratnamāla de Śaṅkaravarman explica el mecanismo del sistema. ^{[7] [8]}

नञावचश्च शून्यानि संख्या: कटपयादय:।
मिश्रे तूपान्त्यहल् संख्या न च चिन्त्यो हलस् वर:॥

Transcripción:

nanyāvachaścha śūnyāni sankhyāḥ kaṭapayādayaḥ
miśre tūpāntyahal sankhyā na cha chintyo halasvaraḥ

Traducción: na (न), ña (ञ) y a (अ)-s, es decir, las vocales representan el cero . Los nueve números enteros se representan mediante el grupo de consonantes que comienza con ka , ṭa , pa , ya . En una consonante conjunta , solo contará la última de las consonantes. Una consonante sin vocal debe ignorarse.

Explicación: La asignación de letras a los números se realiza según el siguiente orden (en los alfabetos devanagari, kannada, telugu y malayalam respectivamente)

• Las consonantes tienen numerales asignados según la tabla anterior. Por ejemplo, ba (ब) siempre es 3, mientras que 5 puede representarse con nga (ङ), ṇa (ण), ma (म) o śha (श).
• A todas las vocales independientes, como a (अ) y ṛ (ऋ), se les asigna el valor cero.
• En caso de conjunción, las consonantes unidas a una no vocal carecerán de valor. Por ejemplo, kya (क्य) se forma con k (क्) + y (य्) + a (अ). La única consonante que va con una vocal es ya (य). Por lo tanto, el numeral correspondiente a kya (क्य) será 1.
• No hay forma de representar el separador decimal en el sistema.
• Los indios utilizaban el sistema de numeración hindú-arábigo , que tradicionalmente se escribía en valores posicionales crecientes de izquierda a derecha. Esto se debe a la regla "अङ्कानां वामतो गतिः", que significa que los números van de derecha a izquierda.

• La consonante ḷ (malayālam: ള, Devanāgarī: ळ, kannada: ಳ) se emplea en obras que utilizan el sistema Kaṭapayādi, como la tabla de senos de Mādhava .
• Los practicantes de finales de la Edad Media no asignan las vocales independientes a cero, pero a veces se considera que esto no tiene valor.

• La tabla de senos de Mādhava, construida por el matemático y astrónomo de Kerala del siglo XIV Mādhava de Saṅgama·grāma , emplea el sistema Kaṭapayādi para enumerar los senos trigonométricos de los ángulos.
• Karaṇa·paddhati , escrito en el siglo XV, tiene el siguiente śloka para el valor de pi (π)

അനൂനനൂന്നാനനനുന്നനിത്യൈ-

സ്സമാഹതാശ്ചക്രകലാവിഭക്താഃ

ചണ്ഡാംശുചന്ദ്രാധമകുംഭിപാലൈര്‍-

വ്യാസസ്തദര്‍ദ്ധം ത്രിഭമൗര്‍വിക സ്യാത്‌

Transcripción

anūnanūnnānananunnanityai

ssmāhatāścakra kalāvibhaktoḥ

caṇḍāṃśucandradhamakuṃbhipālair

vyāsastadarddhaṃ tribhamaurvika syāt

Da la circunferencia de un círculo de diámetro, anūnanūnnānananunnanityai (10.000.000.000) como caṇḍāṃśucandrādhamakuṃbhipālair (31415926536).

• El Sadratnamālā de Śaṅkara· varman utiliza el sistema Kaṭapayādi. El primer verso del capítulo 4 del Sadratnamālā termina con la línea: ^[9]

(स्याद्) भद्राम्बुधिसिद्धजन्मगणितश्रद्धा स् म यद् भूपगी:

Transcripción

(syād) bhadrāmbudhisiddhajanmagaṇitaśraddhā sma yad bhūpagīḥ

Al dividir las consonantes en la frase relevante se obtiene:

Invirtiendo los dígitos al uso moderno de orden descendente de decimales, obtenemos 314159265358979324 , que es el valor de pi (π) con 17 decimales, excepto que el último dígito podría redondearse a 4.

• Este verso cifra el valor de pi (π) hasta 31 decimales.

गोपीभाग्यमधुव्रात-शृङ्गिशोदधिसन्धिग॥ खलजीवितखाताव गलहालारसंधर॥

ಗೋಪೀಭಾಗ್ಯಮಧುವ್ರಾತ-ಶೃಂಗಿಶೋದಧಿಸಂಧಿಗ || ಖಲಜೀವಿತಖಾತಾವ ಗಲಹಾಲಾರಸಂಧರ ||

Este versículo produce directamente el equivalente decimal de pi dividido por 10: pi/10 = 0,31415926535897932384626433832792

గోపీభాగ్యమధువ్రాత-శృంగిశోదధిసంధిగ | ఖలజీవితఖాతావ గలహాలారసంధర ||

Tradicionalmente, en el sistema katapayadi, el orden de los dígitos se invierte para formar el número. Esta regla se viola en este sloka.

• Los ragas melakarta de la música carnática se nombran de modo que las dos primeras sílabas del nombre den su número. Este sistema a veces se denomina Ka-ta-pa-ya-di sankhya. Los swaras 'Sa' y 'Pa' son fijos, y aquí se explica cómo obtener los otros swaras a partir del número melakarta.

1. Las Melakartas 1 a 36 tienen Ma1 y las del 37 a 72 tienen Ma2.
2. Las otras notas se derivan anotando la (parte integral del) cociente y el resto cuando uno menos que el número de melakarta se divide por 6. Si el número de melakarta es mayor que 36, reste 36 del número de melakarta antes de realizar este paso.
3. Posiciones 'Ri' y 'Ga': el raga tendrá:
   • Ri1 y Ga1 si el cociente es 0
   • Ri1 y Ga2 si el cociente es 1
   • Ri1 y Ga3 si el cociente es 2
   • Ri2 y Ga2 si el cociente es 3
   • Ri2 y Ga3 si el cociente es 4
   • Ri3 y Ga3 si el cociente es 5
4. Posiciones 'Da' y 'Ni': el raga tendrá:
   • Da1 y Ni1 si el resto es 0
   • Da1 y Ni2 si el resto es 1
   • Da1 y Ni3 si el resto es 2
   • Da2 y Ni2 si el resto es 3
   • Da2 y Ni3 si el resto es 4
   • Da3 y Ni3 si el resto es 5

• Consulte swaras en la música carnática para obtener detalles sobre la notación anterior.

El esquema katapayadi asocia dha 9 y ra 2, por lo tanto, el número melakarta del raga es 29 (92 invertido). 29 menos que 36, por lo tanto, Dheerasankarabharanam tiene Ma1. Divida 28 (1 menos que 29) por 6, el cociente es 4 y el resto 4. Por lo tanto, este raga tiene Ri2, Ga3 (el cociente es 4) y Da2, Ni3 (el resto es 4). Por lo tanto, la escala de este raga es Sa Ri2 Ga3 Ma1 Pa Da2 Ni3 SA .${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$

Del esquema de codificación Ma 5, Cha 6. Por lo tanto, el número melakarta del raga es 65 (56 invertido). 65 es mayor que 36. Entonces MechaKalyani tiene Ma2. Dado que el número del raga es mayor que 36, réstale 36. 65–36=29. 28 (1 menos que 29) dividido por 6: cociente=4, resto=4. Aparece Ri2 Ga3. Aparece Da2 Ni3. Entonces MechaKalyani tiene las notas Sa Ri2 Ga3 Ma2 Pa Da2 Ni3 SA .${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$

Según el cálculo anterior, deberíamos obtener Sa 7, Ha 8, lo que daría el número 87 en lugar de 57 para Simhendramadhyamam. Lo ideal sería que fuera Sa 7, Ma 5, lo que daría el número 57. Por lo tanto, se cree que el nombre debería escribirse como Sihmendramadhyamam (como en el caso de Bra hm ana en sánscrito).${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$

Las fechas importantes se recordaban convirtiéndolas mediante el sistema Kaṭapayādi . Estas fechas se representan generalmente como el número de días desde el comienzo de Kali Yuga . A veces se lo llama kalidina sankhya .

• El calendario malayalam conocido como kollavarsham (malayalam: കൊല്ലവര്‍ഷം) fue adoptado en Kerala a partir del año 825 d.C., renovando algunos calendarios. Esta fecha se recuerda como āchārya vāgbhadā , convertida usando Kaṭapayādi en 1434160 días desde el inicio de Kali Yuga . ^[10]
• Narayaniyam , escrito por Melpathur Narayana Bhattathiri , termina con el verso āyurārogyasaukhyam (ആയുരാരോഗ്യസൌഖ്യം), que significa larga vida, salud y felicidad. ^[11]

Este número es el momento en el que se completó el trabajo representado como el número de días desde el inicio de Kali Yuga según el calendario malayalam .

• Algunas personas utilizan el sistema Kaṭapayādi para nombrar a los recién nacidos. ^{[12] [13]}
• El siguiente verso compilado en malayalam por Koduṅṅallur Kuññikkuṭṭan Taṃpurān usando Kaṭapayādi es el número de días en los meses del calendario gregoriano .

പലഹാരേ പാലു നല്ലൂ, പുലര്‍ന്നാലോ കലക്കിലാം

ഇല്ലാ പാലെന്നു ഗോപാലന്‍ – ആംഗ്ലമാസദിനം ്‍

Transcripción

palahāre pālu nallū, pularnnālo kalakkilāṃ

illā pālennu gopālan – āṃgḷamāsadinaṃ kramāl

Traducción: La leche es lo mejor para el desayuno, cuando es de mañana, hay que removerla. Pero Gopālan dice que no hay leche – el número de días de los meses ingleses en orden.

La conversión de pares de letras usando Kaṭapayādi produce: pala (പല) es 31, hāre (ഹാരേ) es 28, pālu പാലു = 31, nallū (നല്ലൂ) es 30, pular (പുലര്‍) 31, nnālo (ന്നാലോ) es 30, kala ( കല) tiene 31, kkilāṃ (ക്കിലാം) tiene 31, illā (ഇല്ലാ) tiene 30, pāle (പാലെ) es 31, nnu go (ന്നു ഗോ) es 30, pālan (പാലന്‍) es 31.

1. Kaṭapayādi Saṅkhyā, un sistema de codificación-decodificación Kaṭapayādi.

• AA Hattangadi, Exploraciones en matemáticas, Universities Press (India) Pvt. Ltd., Hyderabad (2001) ISBN 81-7371-387-1 [3]