Cifras significativas

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Aproximación de ajuste
Conceptos
Órdenes de aproximación Análisis de escala Notación O grande Ajuste de curvas Falsa precisión Cifras significativas
Otros fundamentos
Aproximación Error de generalización Polinomio de Taylor Modelado científico
en a mi

Las cifras significativas , también conocidas como dígitos significativos o cifras significativas , son dígitos específicos dentro de un número escrito en notación posicional que conllevan confiabilidad y necesidad para transmitir una cantidad particular. Al presentar el resultado de una medición (como longitud, presión, volumen o masa), si la cantidad de dígitos excede lo que el instrumento de medición puede resolver, solo la cantidad de dígitos dentro de la capacidad de resolución es confiable y, por lo tanto, se considera significativa.

Por ejemplo, si una medida de longitud da como resultado 114,8 mm, utilizando una regla con el intervalo más pequeño entre marcas en 1 mm, los tres primeros dígitos (1, 1 y 4, que representan 114 mm) son ciertos y constituyen cifras significativas. Además, los dígitos que son inciertos pero significativos también se incluyen en las cifras significativas. En este ejemplo, el último dígito (8, que contribuye con 0,8 mm) también se considera significativo a pesar de su incertidumbre. ^[1] Por lo tanto, esta medida contiene cuatro cifras significativas.

Otro ejemplo implica una medición de volumen de 2,98 L con una incertidumbre de ± 0,05 L. El volumen real se encuentra entre 2,93 L y 3,03 L. Incluso si ciertos dígitos no se conocen completamente, siguen siendo significativos si lo son, ya que indican el volumen real dentro de un rango aceptable de incertidumbre. En este caso, el volumen real podría ser 2,94 L o posiblemente 3,02 L, por lo que los tres dígitos se consideran significativos. ^[1] Por lo tanto, hay tres cifras significativas en este ejemplo.

Los siguientes tipos de dígitos no se consideran significativos: ^[2]

• Ceros a la izquierda . Por ejemplo, 013 kg tiene dos cifras significativas (1 y 3), mientras que el cero a la izquierda es insignificante, ya que no afecta a la indicación de masa; 013 kg equivale a 13 kg, por lo que el cero es innecesario. De manera similar, en el caso de 0,056 m, hay dos ceros a la izquierda insignificantes, ya que 0,056 m es lo mismo que 56 mm, por lo que los ceros a la izquierda no contribuyen a la indicación de longitud.
• Ceros finales cuando sirven como marcadores de posición. En la medición de 1500 m, cuando la resolución de la medición es de 100 m, los ceros finales son insignificantes ya que simplemente representan las decenas y las unidades. En este caso, 1500 m indica que la longitud es de aproximadamente 1500 m en lugar de un valor exacto de 1500 m.
• Dígitos espurios que surgen de cálculos que dan como resultado una precisión mayor que los datos originales o una medición informada con mayor precisión que la resolución del instrumento.

Un cero después de un decimal (por ejemplo, 1,0) es significativo y se debe tener cuidado al agregar un decimal de cero. Por lo tanto, en el caso de 1,0, hay dos cifras significativas, mientras que 1 (sin decimal) tiene una cifra significativa.

Entre los dígitos significativos de un número, el dígito más significativo es el que tiene el valor de exponente más alto (el dígito/cifra significativo más a la izquierda), mientras que el dígito menos significativo es el que tiene el valor de exponente más bajo (el dígito/cifra significativo más a la derecha). Por ejemplo, en el número "123", el "1" es el dígito más significativo, que representa las centenas (10 ² ), mientras que el "3" es el dígito menos significativo, que representa las unidades (10 ⁰ ).

Para evitar transmitir un nivel de precisión engañoso, los números se suelen redondear . Por ejemplo, se generaría una precisión falsa si se presentara una medida como 12,34525 kg cuando el instrumento de medición solo proporciona una precisión del gramo más cercano (0,001 kg). En este caso, las cifras significativas son los primeros cinco dígitos (1, 2, 3, 4 y 5) a partir del dígito más a la izquierda, y el número se debe redondear a estas cifras significativas, lo que da como resultado 12,345 kg como el valor exacto. El error de redondeo (en este ejemplo, 0,00025 kg = 0,25 g) se aproxima a la resolución numérica o precisión. Los números también se pueden redondear para simplificar, no necesariamente para indicar la precisión de la medición, como por razones de conveniencia en las transmisiones de noticias.

La aritmética de la significación abarca un conjunto de reglas aproximadas para preservar la significación a través de los cálculos. Las reglas científicas más avanzadas se conocen como propagación de la incertidumbre .

A continuación se asume que los números decimales tienen base 10 (véase la unidad que aparece al final para ampliar estos conceptos a otras bases).

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Para identificar las cifras significativas de un número es necesario saber qué dígitos son significativos, lo que requiere conocer la resolución con la que se mide, obtiene o procesa el número. Por ejemplo, si la masa mínima medible es 0,001 g, entonces en una medición dada como 0,00234 g el "4" no es útil y debe descartarse, mientras que el "3" sí lo es y a menudo debe conservarse. ^[3]

• Los dígitos distintos de cero dentro de la resolución de medición o informe dada son significativos .
  • 91 tiene dos cifras significativas (9 y 1) si son dígitos permitidos para la medición.
  • 123,45 tiene cinco dígitos significativos (1, 2, 3, 4 y 5) si están dentro de la resolución de la medición. Si la resolución es, por ejemplo, 0,1, entonces el 5 muestra que el valor verdadero con 4 cifras significativas tiene la misma probabilidad de ser 123,4 o 123,5.
• Los ceros entre dos dígitos significativos distintos de cero son significativos ( ceros atrapados significativos ) .
  • 101.12003 consta de ocho cifras significativas si la resolución es 0,00001.
  • 125.340006 tiene siete cifras significativas si la resolución es 0.0001: 1, 2, 5, 3, 4, 0 y 0.
• Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero ( ceros iniciales ) no son significativos .
  • Si una medida de longitud da 0,052 km, entonces 0,052 km = 52 m, por lo que 5 y 2 solo son significativos; los ceros iniciales aparecen o desaparecen según la unidad utilizada, por lo que no son necesarios para indicar la escala de medida.
  • 0,00034 tiene 2 cifras significativas (3 y 4) si la resolución es 0,00001.
• Los ceros a la derecha del último dígito distinto de cero ( ceros finales ) en un número con punto decimal son significativos si están dentro de la resolución de la medición o del informe.
  • 1.200 tiene cuatro cifras significativas (1, 2, 0 y 0) si la resolución de la medición lo permite.
  • 0.0980 tiene tres dígitos significativos (9, 8 y el último cero) si están dentro de la resolución de la medición.
  • 120.000 consta de seis cifras significativas (1, 2 y los cuatro ceros posteriores) si, como antes, están dentro de la resolución de la medición.
• Los ceros finales en un número entero pueden ser significativos o no , dependiendo de la resolución de la medición o del informe.
  • 45.600 tiene 3, 4 o 5 cifras significativas según cómo se utilicen los últimos ceros. Por ejemplo, si se informa la longitud de una carretera como 45600 m sin información sobre la resolución del informe o de la medición, entonces no está claro si la longitud de la carretera se mide con precisión como 45600 m o si es una estimación aproximada. Si es la estimación aproximada, entonces solo los primeros tres dígitos distintos de cero son significativos ya que los ceros finales no son ni confiables ni necesarios; 45600 m se puede expresar como 45,6 km o como 4,56 × 10 ⁴  m en notación científica , y ninguna expresión requiere los ceros finales.
• Un número exacto tiene un número infinito de cifras significativas.
  • Si la cantidad de manzanas en una bolsa es 4 (número exacto), entonces este número es 4.0000... (con infinitos ceros finales a la derecha del punto decimal). Como resultado, 4 no afecta la cantidad de cifras o dígitos significativos en el resultado de los cálculos realizados con él.
• Una constante matemática o física tiene cifras significativas para sus dígitos conocidos.
  • π es un número real específico con varias definiciones equivalentes. Todos los dígitos de su expansión decimal exacta 3,14159265358979323... son significativos. Aunque se conocen muchas propiedades de estos dígitos (por ejemplo, no se repiten, porque π es irracional), no se conocen todos los dígitos. A marzo de 2024, se han calculado más de 102 billones de dígitos ^[4] . Una aproximación de 102 billones de dígitos tiene 102 billones de dígitos significativos. En aplicaciones prácticas, se utilizan muchos menos dígitos. La aproximación cotidiana 3,14 tiene tres cifras significativas y 7 dígitos binarios correctos . La aproximación 22/7 tiene los mismos tres dígitos decimales correctos pero tiene 10 dígitos binarios correctos. La mayoría de las calculadoras y programas informáticos pueden manejar la expansión de 16 dígitos 3,141592653589793, que es suficiente para los cálculos de navegación interplanetaria. ^[5]
  • La constante de Planck es y se define como un valor exacto, por lo que se define más apropiadamente como . ^[6]${\displaystyle h=6.62607015\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm {s} }$${\displaystyle h=6.62607015(0)\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm {s} }$

El significado de los ceros finales en un número que no contiene un punto decimal puede ser ambiguo. Por ejemplo, puede que no siempre esté claro si el número 1300 es preciso hasta la unidad más cercana (casualmente resulta ser un múltiplo exacto de cien) o si solo se muestra hasta las centenas más cercanas debido al redondeo o a la incertidumbre. Existen muchas convenciones para abordar esta cuestión. Sin embargo, no se utilizan universalmente y solo serían efectivas si el lector está familiarizado con la convención:

• Se puede colocar una línea superior , a veces también llamada barra superior o, con menos precisión, vinculum , sobre la última cifra significativa; los ceros que siguen a esta son insignificantes. Por ejemplo, 13 0 0 tiene tres cifras significativas (y, por lo tanto, indica que el número es preciso hasta la decena más cercana).

• Con menos frecuencia, utilizando una convención estrechamente relacionada, se puede subrayar la última cifra significativa de un número ; por ejemplo, "1 3 00" tiene dos cifras significativas.

• Se puede colocar un punto decimal después del número; por ejemplo, "1300." indica específicamente que los ceros finales deben ser significativos. ^[7]

Como las convenciones anteriores no son de uso general, existen las siguientes opciones más ampliamente reconocidas para indicar el significado de un número con ceros finales:

• Elimine los ceros ambiguos o no significativos cambiando el prefijo de la unidad en un número con una unidad de medida . Por ejemplo, la precisión de la medida especificada como 1300 g es ambigua, mientras que si se indica como 1,30 kg no lo es. Del mismo modo, 0,0123 L se puede reescribir como 12,3 mL.

• Elimine los ceros ambiguos o no significativos mediante el uso de la notación científica: por ejemplo, 1300 con tres cifras significativas se convierte en1,30 × 10 ³ . Asimismo, 0,0123 se puede reescribir como1,23 × 10 ⁻² . La parte de la representación que contiene las cifras significativas (1,30 o 1,23) se conoce como mantisa o significando . Los dígitos de la base y el exponente (10 ³ o10 ⁻² ) se consideran números exactos, por lo que para estos dígitos, las cifras significativas son irrelevantes.

• Indique explícitamente el número de cifras significativas (a veces se utiliza la abreviatura sf): por ejemplo, "20 000 a 2 sf" o "20 000 (2 sf)".

• Indique la variabilidad esperada (precisión) explícitamente con un signo más-menos , como 20 000 ± 1 %. Esto también permite especificar un rango de precisión entre potencias de diez.

El redondeo a cifras significativas es una técnica más general que el redondeo a n dígitos, ya que maneja números de diferentes escalas de manera uniforme. Por ejemplo, la población de una ciudad podría conocerse solo al millar más cercano y expresarse como 52 000, mientras que la población de un país podría conocerse solo al millón más cercano y expresarse como 52 000 000. El primero podría tener un error de cientos y el segundo podría tener un error de cientos de miles, pero ambos tienen dos cifras significativas (5 y 2). Esto refleja el hecho de que la importancia del error es la misma en ambos casos, en relación con el tamaño de la cantidad que se mide.

Para redondear un número a n cifras significativas: ^{[8] [9]}

1. Si el dígito n + 1 es mayor que 5 o si 5 va seguido de otros dígitos distintos de cero, se suma 1 al dígito n . Por ejemplo, si queremos redondear 1,2459 a 3 cifras significativas, este paso da como resultado 1,25.
2. Si el dígito n + 1 es 5 y no va seguido de otros dígitos o solo de ceros, entonces el redondeo requiere una regla de desempate . Por ejemplo, para redondear 1,25 a 2 cifras significativas:
   • Redondear la mitad a partir de cero redondea hasta 1,3. Este es el método de redondeo predeterminado implícito en muchas disciplinas ^{[ cita requerida ]} si no se especifica el método de redondeo requerido.
   • Redondear la mitad al número par , que redondea al número par más próximo. Con este método, 1,25 se redondea hacia abajo a 1,2. Si este método se aplica a 1,35, se redondea hacia arriba a 1,4. Este es el método preferido por muchas disciplinas científicas porque, por ejemplo, evita sesgar hacia arriba el valor promedio de una larga lista de valores.
3. Para un número entero en redondeo, reemplace los dígitos después del dígito n con ceros. Por ejemplo, si 1254 se redondea a 2 cifras significativas, entonces 5 y 4 se reemplazan por 0 para que sea 1300. Para un número con el punto decimal en redondeo, elimine los dígitos después del dígito n . Por ejemplo, si 14.895 se redondea a 3 cifras significativas, entonces se eliminan los dígitos después del 8 para que sea 14.9.

En los cálculos financieros, un número suele redondearse a una cantidad determinada de decimales. Por ejemplo, a dos decimales después del separador decimal de muchas monedas del mundo. Esto se hace porque una mayor precisión es irrelevante y, por lo general, no es posible saldar una deuda de una cantidad inferior a la unidad monetaria más pequeña.

En las declaraciones de impuestos personales del Reino Unido, los ingresos se redondean a la libra más cercana, mientras que los impuestos pagados se calculan al centavo más cercano.

A modo de ejemplo, la cantidad decimal 12,345 se puede expresar con varias cifras significativas o decimales. Si no se dispone de suficiente precisión, el número se redondea de alguna manera para ajustarse a la precisión disponible. La siguiente tabla muestra los resultados para distintas precisiones totales con dos métodos de redondeo (N/A significa No aplicable).

Otro ejemplo para 0,012345 . (Recuerde que los ceros iniciales no son significativos).

La representación de un número x distinto de cero con una precisión de p dígitos significativos tiene un valor numérico que viene dado por la fórmula: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle 10^{n}\cdot \operatorname {round} \left({\frac {x}{10^{n}}}\right)}$

dónde

${\displaystyle n=\lfloor \log _{10}(|x|)\rfloor +1-p}$

que puede ser necesario escribir con una marca específica como se detalla anteriormente para especificar el número de ceros finales significativos.

Se recomienda que el resultado de una medición incluya la incertidumbre de la medición, como , donde x _mejor y σ _x son la mejor estimación y la incertidumbre de la medición respectivamente. ^[10] x _mejor puede ser el promedio de los valores medidos y σ _x puede ser la desviación estándar o un múltiplo de la desviación de la medición. Las reglas para escribir son: ^[11]${\displaystyle x_{best}\pm \sigma _{x}}$ ${\displaystyle x_{best}\pm \sigma _{x}}$

• Por lo general, σ _x debe citarse solo con una o dos cifras significativas, ya que es poco probable que una mayor precisión sea confiable o significativa:
  • 1,79 ± 0,06 (correcto), 1,79 ± 0,96 (correcto), 1,79 ± 1,96 (incorrecto).
• Las posiciones de los dígitos de las últimas cifras significativas en x _best y σ _x son las mismas, de lo contrario se pierde la coherencia. Por ejemplo, "1,79 ± 0,067" es incorrecto, ya que no tiene sentido tener una incertidumbre más precisa que la mejor estimación.
  • 1,79 ± 0,06 (correcto), 1,79 ± 0,96 (correcto), 1,79 ± 0,067 (incorrecto).

La incertidumbre puede estar implícita en la última cifra significativa si no se expresa explícitamente. ^[1] La incertidumbre implícita es ± la mitad de la escala mínima en la última posición de la cifra significativa. Por ejemplo, si la masa de un objeto se informa como 3,78 kg sin mencionar la incertidumbre, entonces puede estar implícita una incertidumbre de medición de ± 0,005 kg. Si la masa de un objeto se estima en 3,78 ± 0,07 kg, por lo que la masa real probablemente esté en algún lugar en el rango de 3,71 a 3,85 kg, y se desea informarla con un solo número, entonces 3,8 kg es el mejor número para informar ya que su incertidumbre implícita ± 0,05 kg da un rango de masa de 3,75 a 3,85 kg, que está cerca del rango de medición. Si la incertidumbre es un poco mayor, es decir, 3,78 ± 0,09 kg, entonces 3,8 kg sigue siendo el mejor número para citar, ya que si se informara "4 kg", se perdería mucha información.

Si es necesario escribir la incertidumbre implícita de un número, se puede escribir como incertidumbre implícita (para evitar que los lectores la reconozcan como incertidumbre de medición), donde x y σ _x son el número con un dígito cero adicional (para seguir las reglas de escritura de incertidumbre anteriores) y la incertidumbre implícita del mismo, respectivamente. Por ejemplo, 6 kg con una incertidumbre implícita de ± 0,5 kg se puede expresar como 6,0 ± 0,5 kg.${\displaystyle x\pm \sigma _{x}}$

Así como existen reglas para determinar las cifras significativas en cantidades medidas directamente , también existen pautas (no reglas) para determinar las cifras significativas en cantidades calculadas a partir de estas cantidades medidas .

Las cifras significativas en magnitudes medidas son de suma importancia para determinar las cifras significativas en magnitudes calculadas con ellas. Una constante matemática o física (p. ej., π en la fórmula para el área de un círculo con radio r como π r ² ) no tiene efecto en la determinación de las cifras significativas en el resultado de un cálculo con ella si sus dígitos conocidos son iguales o mayores que las cifras significativas en las magnitudes medidas utilizadas en el cálculo. Un número exacto como ½ en la fórmula para la energía cinética de una masa m con velocidad v como ½ mv ² no tiene relación con las cifras significativas en la energía cinética calculada ya que su número de cifras significativas es infinito (0,500000...).

Las directrices que se describen a continuación tienen por objeto evitar que el resultado del cálculo sea más preciso que las cantidades medidas, pero no garantizan que la incertidumbre implícita resultante sea lo suficientemente cercana a las incertidumbres medidas. Este problema se puede observar en la conversión de unidades. Si las directrices dan la incertidumbre implícita demasiado alejada de las medidas, puede ser necesario decidir dígitos significativos que den una incertidumbre comparable.

Para las cantidades creadas a partir de cantidades medidas mediante multiplicación y división , el resultado calculado debe tener tantas cifras significativas como el menor número de cifras significativas entre las cantidades medidas utilizadas en el cálculo. ^[12] Por ejemplo,

• 1,234 × 2 = 2 ,468 ≈ 2
• 1,234 × 2,0 = 2,4 68 ≈ 2,5
• 0,01234 × 2 = 0,0 2 468 ≈ 0,02

con una , dos y una cifras significativas respectivamente. (Aquí se supone que 2 no es un número exacto). Para el primer ejemplo, el primer factor de multiplicación tiene cuatro cifras significativas y el segundo tiene una cifra significativa. El factor con menos cifras significativas es el segundo con solo una, por lo que el resultado calculado final también debe tener una cifra significativa.

Para la conversión de unidades, la incertidumbre implícita del resultado puede ser insatisfactoriamente más alta que la de la unidad anterior si se sigue esta directriz de redondeo; por ejemplo, 8 pulgadas tiene una incertidumbre implícita de ± 0,5 pulgadas = ± 1,27 cm. Si se convierte a la escala de centímetros y se sigue la directriz de redondeo para la multiplicación y la división, entonces 2 0,32 cm ≈ 20 cm con una incertidumbre implícita de ± 5 cm. Si se considera que esta incertidumbre implícita es demasiado sobreestimada, entonces los dígitos significativos más adecuados en el resultado de la conversión de unidades pueden ser 2 0 ,32 cm ≈ 20. cm con una incertidumbre implícita de ± 0,5 cm.

Otra excepción a la aplicación de la directriz de redondeo anterior es multiplicar un número por un entero, como 1,234 × 9. Si se sigue la directriz anterior, el resultado se redondea a 1,234 × 9,000... = 11,1 0 6 ≈ 11,11. Sin embargo, esta multiplicación consiste esencialmente en sumar 1,234 a sí mismo 9 veces, como 1,234 + 1,234 + … + 1,234, por lo que la directriz de redondeo para la suma y la resta que se describe a continuación es un enfoque de redondeo más adecuado. ^[13] Como resultado, la respuesta final es 1,234 + 1,234 + … + 1,234 = 11,10 6 = 11,106 (un aumento de un dígito significativo).

Para las cantidades creadas a partir de cantidades medidas mediante suma y resta , la última posición de la cifra significativa (por ejemplo, centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas, etc.) en el resultado calculado debe ser la misma que la posición del dígito más a la izquierda o más grande entre las últimas cifras significativas de las cantidades medidas en el cálculo. Por ejemplo,

• 1,234 + 2 = 3 .234 ≈ 3
• 1,234 + 2,0 = 3,234 ≈ 3,2
• 0,01234 + 2 = 2 .01234 ≈ 2
• 12000 + 77 = 1 2 077 ≈ 12000

con las últimas cifras significativas en el lugar de las unidades , las décimas , las unidades y los millares respectivamente. (Aquí se supone que 2 no es un número exacto). Para el primer ejemplo, el primer término tiene su última cifra significativa en el lugar de las milésimas y el segundo término tiene su última cifra significativa en el lugar de las unidades . La posición del dígito más a la izquierda o más grande entre las últimas cifras significativas de estos términos es el lugar de las unidades, por lo que el resultado calculado también debe tener su última cifra significativa en el lugar de las unidades.

La regla para calcular cifras significativas para la multiplicación y la división no es la misma que la regla para la suma y la resta. Para la multiplicación y la división, solo importa el número total de cifras significativas en cada uno de los factores del cálculo; la posición del dígito de la última cifra significativa en cada factor es irrelevante. Para la suma y la resta, solo importa la posición del dígito de la última cifra significativa en cada uno de los términos del cálculo; el número total de cifras significativas en cada término es irrelevante. ^{[ cita requerida ]} Sin embargo, a menudo se obtendrá una mayor precisión si se mantienen algunos dígitos no significativos en los resultados intermedios que se utilizan en los cálculos posteriores. ^{[ cita requerida ]}

El logaritmo en base 10 de un número normalizado (es decir, a × 10 ^b con 1 ≤ a < 10 y b como un entero), se redondea de modo que su parte decimal (llamada mantisa ) tenga tantas cifras significativas como las cifras significativas del número normalizado.

• log ₁₀ (3,000 × 10 ⁴ ) = log ₁₀ (10 ⁴ ) + log ₁₀ (3,000) = 4,000000... (número exacto por lo que hay infinitos dígitos significativos) + 0,477 1 212547... = 4,477 1 212547 ≈ 4,4771.

Al tomar el antilogaritmo de un número normalizado, el resultado se redondea para tener tantas cifras significativas como cifras significativas haya en la parte decimal del número al que se va a hacer el antilogaritmo.

• 10 ^4,4771 = 299 9 8,5318119... = 30000 = 3,000 × 10 ⁴ .

Si una función trascendental (por ejemplo, la función exponencial , el logaritmo y las funciones trigonométricas ) es diferenciable en su elemento de dominio 'x', entonces su número de cifras significativas (denotadas como "cifras significativas de ") está aproximadamente relacionado con el número de cifras significativas en x (denotadas como "cifras significativas de x ") por la fórmula${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\rm {(significant~figures~of~f(x))}}\approx {\rm {(significant~figures~of~x)}}-\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \right)}$,

¿Dónde está el número de condición ?${\displaystyle \left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert }$

Al realizar cálculos en varias etapas, no redondee los resultados de los cálculos de la etapa intermedia; mantenga tantos dígitos como sea posible (al menos un dígito más de lo que permite la regla de redondeo por etapa) hasta el final de todos los cálculos para evitar errores de redondeo acumulativos al rastrear o registrar las cifras significativas en cada resultado intermedio. Luego, redondee el resultado final, por ejemplo, al menor número de cifras significativas (para multiplicación o división) o al último dígito significativo más a la izquierda (para suma o resta) entre las entradas en el cálculo final. ^[14]

• (2,3494 + 1,345) × 1,2 = 3,69 4 4 × 1,2 = 4, 4 3328 ≈ 4,4.
• (2,3494 × 1,345) + 1,2 = 3,15 9 943 + 1,2 = 4,3 59943 ≈ 4,4.

Al utilizar una regla, utilice inicialmente la marca más pequeña como el primer dígito estimado. Por ejemplo, si la marca más pequeña de una regla es 0,1 cm y se lee 4,5 cm, entonces es 4,5 (±0,1 cm) o 4,4 cm a 4,6 cm como el intervalo de marca más pequeño. Sin embargo, en la práctica, una medición generalmente se puede estimar a simple vista con una precisión menor que el intervalo entre la marca más pequeña de la regla, por ejemplo, en el caso anterior podría estimarse entre 4,51 cm y 4,53 cm. ^[15]

También es posible que la longitud total de una regla no sea precisa en el grado de la marca más pequeña, y que las marcas estén espaciadas de manera imperfecta dentro de cada unidad. Sin embargo, suponiendo que se trate de una regla de buena calidad, debería ser posible estimar décimas entre las dos marcas más cercanas para lograr un decimal adicional de precisión. ^[16] Si no se hace esto, el error en la lectura de la regla se suma a cualquier error en la calibración de la misma.

Al estimar la proporción de individuos que poseen alguna característica particular en una población, a partir de una muestra aleatoria de esa población, el número de cifras significativas no debe exceder la precisión máxima permitida por ese tamaño de muestra.

Tradicionalmente, en diversos campos técnicos, la "exactitud" se refiere a la proximidad de una medida dada a su valor verdadero; la "precisión" se refiere a la estabilidad de esa medida cuando se repite muchas veces. Por lo tanto, es posible estar "precisamente equivocado". Con la esperanza de reflejar la forma en que el término "exactitud" se utiliza realmente en la comunidad científica, existe una norma reciente, ISO 5725, que mantiene la misma definición de precisión pero define el término "veracidad" como la proximidad de una medida dada a su valor verdadero y utiliza el término "exactitud" como la combinación de veracidad y precisión. (Véase el artículo sobre exactitud y precisión para una discusión completa.) En cualquier caso, el número de cifras significativas corresponde aproximadamente a la precisión , no a la exactitud o al concepto más nuevo de veracidad.

Las representaciones informáticas de números de punto flotante utilizan una forma de redondeo a cifras significativas (aunque normalmente no se lleva un registro de cuántas), en general con números binarios . El número de cifras significativas correctas está estrechamente relacionado con la noción de error relativo (que tiene la ventaja de ser una medida más precisa de precisión y es independiente del radix , también conocido como base, del sistema numérico utilizado).

Las calculadoras electrónicas que admiten un modo de visualización de cifras significativas específico son relativamente raras.

Entre las calculadoras que admiten funciones relacionadas se encuentran la Commodore M55 Mathematician (1976) ^[17] y la S61 Statistician (1976), ^[18] que admiten dos modos de visualización, donde + DISPdará nn dígitos significativos en total, mientras que + dará n decimales.DISP.n

Las familias de calculadoras gráficas TI-83 Plus (1999) y TI-84 Plus (2004) de Texas Instruments admiten un modo de calculadora Sig-Fig en el que la calculadora evaluará el recuento de dígitos significativos de los números ingresados ​​y los mostrará entre corchetes detrás del número correspondiente. Los resultados de los cálculos se ajustarán para mostrar también solo los dígitos significativos. ^[19]

Para las calculadoras desarrolladas por la comunidad WP 34S (2011) y WP 31S (2014) basadas en HP 20b / 30b, los modos de visualización de cifras significativas + y + (con relleno de ceros) están disponibles como una opción de tiempo de compilación . ^{[20] [21]} Las calculadoras desarrolladas por la comunidad SwissMicros DM42 WP 43C (2019) ^[22]  / C43 (2022) / C47 (2023) también admiten un modo de visualización de cifras significativas.SIGnSIG0n

• Delury, DB (1958). "Cálculos con números aproximados". The Mathematics Teacher . 51 (7): 521–30. doi :10.5951/MT.51.7.0521. JSTOR  27955748.
• Bond, EA (1931). "Dígitos significativos en el cálculo con números aproximados". The Mathematics Teacher . 24 (4): 208–12. doi :10.5951/MT.24.4.0208. JSTOR  27951340.
• ASTM E29-06b, Práctica estándar para el uso de dígitos significativos en datos de prueba para determinar la conformidad con las especificaciones

• Vídeo de cifras significativas de Khan Academy
• Preguntas frecuentes sobre aritmética decimal: ¿La aritmética decimal es aritmética de «significado»?
• Métodos avanzados para el manejo de la incertidumbre y algunas explicaciones de las deficiencias de la aritmética de significancia y las cifras significativas.
• Calculadora de cifras significativas: muestra un número con la cantidad deseada de dígitos significativos.
• Mediciones e incertidumbres versus dígitos significativos o cifras significativas: métodos adecuados para expresar la incertidumbre, incluido un análisis detallado de los problemas con cualquier noción de dígitos significativos.