Catalán sólido

Los sólidos catalanes son el poliedro dual de los sólidos arquimedianos , un conjunto de trece poliedros con formas altamente simétricas: poliedros semirregulares en los que dos o más de sus caras poligonales se encuentran en un vértice. ^[1] Un poliedro puede tener un dual por los vértices correspondientes a las caras del otro poliedro, y las aristas entre pares de vértices de uno corresponden a las aristas entre pares de caras del otro. ^[2] Una forma de construir los sólidos catalanes es mediante el método de construcción de Luke de Dorman . ^[3]

Estos sólidos son transitivos por las caras o isoedros porque sus caras son transitivas entre sí, pero no son transitivos por los vértices porque sus vértices no son transitivos entre sí. Su dual, los sólidos arquimedianos, son transitivos por los vértices pero no por las caras. Tienen ángulos diedros constantes , lo que significa que el ángulo entre dos de sus caras es el mismo. ^[1] Además, ambos sólidos Catalans, el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico , son transitivos por las aristas , lo que significa que hay una transitividad entre las aristas que preserva su simetría. ^{[ cita requerida ]} Estos sólidos también fueron descubiertos por Johannes Kepler durante el estudio de los zonoedros , hasta que Eugene Catalan completó por primera vez la lista de los trece sólidos en 1865. ^[4] El icositetraedro pentagonal y el hexecontaedro pentagonal son quirales porque son duales del cubo romo y del dodecaedro romo respectivamente, que son quirales. Dicho esto, estos dos sólidos no son idénticos cuando se reflejan en espejo.

Once de los trece sólidos catalanes tienen la propiedad de Rupert (una copia del mismo sólido o de una forma más grande puede pasarse a través de un agujero en el sólido). ^[5]

Los trece sólidos catalanes

Nombre	Imagen	Caras	Bordes	Vértices	Ángulo diedro [6]	Grupo de puntos
triakis tetraedro		12 triángulos isósceles	18	8	129.521°	T.D.​
dodecaedro rómbico		12 rombos	24	14	120°	Oh​
triakis octaedro		24 triángulos isósceles	36	14	147.350°	Oh​
tetrakis hexaedro		24 triángulos isósceles	36	14	143.130°	Oh​
icositetraedro deltoidal		24 cometas	48	26	138.118°	Oh​
Dodecaedro de Disdyakis		48 triángulos escalenos	72	26	155.082°	Oh​
icositetraedro pentagonal		24 pentágonos	60	38	136.309°	Oh
triacontaedro rómbico		30 rombos	60	32	144°	Yo h
triakisicosaedro		60 triángulos isósceles	90	32	160.613°	Yo h
Dodecaedro pentakis		60 triángulos isósceles	90	32	156.719°	Yo h
hexecontaedro deltoidal		60 cometas	120	62	154.121°	Yo h
Triacontaedro de Disdyakis		120 triángulos escalenos	180	62	164.888°	Yo h
hexecontaedro pentagonal		60 pentágonos	150	92	153.179°	I

• Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modelos matemáticos (2.ª ed.), Oxford: Clarendon Press, MR  0124167.
• Diudea, MV (2018), Cúmulos poliédricos de múltiples capas, Springer , doi :10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN 978-3-319-64123-2.
• Fredriksson, Albin (2024), "Optimización para la propiedad de Rupert", The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi :10.1080/00029890.2023.2285200.
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Dualidad de poliedros", Revista internacional de educación matemática en ciencia y tecnología , 36 (6): 617–642, doi :10.1080/00207390500064049, S2CID  120818796.
• Heil, E.; Martil, H. (1993), "Cuerpos convexos especiales", en Gruber, PM; Wills, JM (eds.), Handbook of Convex Geometry, Holanda Septentrional
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Sr.  0730208
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Sólidos catalanes .

• Weisstein, Eric W. "Sólidos Catalanes". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Isoedro". MathWorld .
• Sólidos Catalanes – en Visual Polyhedra
• Duales de Arquímedes – en Virtual Reality Polyhedra
• Sólido Catalán Interactivo en Java
• Enlace de descarga de la publicación original de Catalán de 1865 (con bellas figuras) en formato PDF