Modelo de neurona biológica

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Los modelos neuronales biológicos , también conocidos como modelos de neuronas en pico , ^[1] son ​​descripciones matemáticas de la conducción de señales eléctricas en las neuronas . Las neuronas (o células nerviosas) son células eléctricamente excitables dentro del sistema nervioso , capaces de disparar señales eléctricas, llamadas potenciales de acción , a través de una red neuronal. Estos modelos matemáticos describen el papel de las características biofísicas y geométricas de las neuronas en la conducción de la actividad eléctrica.

Central para estos modelos es la descripción de cómo el potencial de membrana (es decir, la diferencia en el potencial eléctrico entre el interior y el exterior de una célula biológica ) a través de la membrana celular cambia con el tiempo. En un entorno experimental, estimular las neuronas con una corriente eléctrica genera un potencial de acción (o pico), que se propaga por el axón de la neurona . Este axón puede ramificarse y conectarse a una gran cantidad de neuronas aguas abajo en sitios llamados sinapsis . En estas sinapsis, el pico puede causar la liberación de neurotransmisores , que a su vez pueden cambiar el potencial de voltaje de las neuronas aguas abajo. Este cambio puede conducir potencialmente a incluso más picos en esas neuronas aguas abajo, transmitiendo así la señal. Hasta el 85% de las neuronas en el neocórtex , la capa más externa del cerebro de los mamíferos , consisten en neuronas piramidales excitatorias , ^{[2] [3]} y cada neurona piramidal recibe decenas de miles de entradas de otras neuronas. ^[4] Por lo tanto, las neuronas activas son una unidad importante de procesamiento de información del sistema nervioso .

Un ejemplo de un modelo de neurona en pico puede ser un modelo matemático muy detallado que incluya morfología espacial . Otro puede ser un modelo de neurona basado en la conductancia que considere a las neuronas como puntos y describa la dinámica del voltaje de la membrana como una función de las corrientes transmembrana. Un modelo matemáticamente más simple de "integración y disparo" simplifica significativamente la descripción de la dinámica del canal iónico y del potencial de membrana (inicialmente estudiado por Lapique en 1907). ^{[5] [6]}

Células no espiculares, células espiculares y su medición

No todas las células del sistema nervioso producen el tipo de pico que define el alcance de los modelos de neuronas con picos. Por ejemplo, las células ciliadas cocleares , las células receptoras de la retina y las células bipolares de la retina no producen picos. Además, muchas células del sistema nervioso no se clasifican como neuronas, sino como glía .

La actividad neuronal se puede medir con diferentes técnicas experimentales, como la técnica de medición de "célula completa", que captura la actividad de disparo de una sola neurona y produce potenciales de acción de amplitud completa.

Con las técnicas de medición extracelular, se colocan uno o más electrodos en el espacio extracelular . Los picos, a menudo de varias fuentes de picos, según el tamaño del electrodo y su proximidad a las fuentes, se pueden identificar con técnicas de procesamiento de señales. La medición extracelular tiene varias ventajas:

• Es más fácil de obtener experimentalmente;
• Es robusto y dura más tiempo;
• Puede reflejar el efecto dominante, especialmente cuando se realiza en una región anatómica con muchas células similares.

Descripción general de los modelos neuronales

Los modelos neuronales se pueden dividir en dos categorías según las unidades físicas de la interfaz del modelo. Cada categoría se puede dividir a su vez según el nivel de abstracción/detalle:

1. Modelos de voltaje de entrada-salida de membrana eléctrica: estos modelos producen una predicción del voltaje de salida de membrana como una función de la estimulación eléctrica dada como entrada de corriente o voltaje. Los diversos modelos de esta categoría difieren en la relación funcional exacta entre la corriente de entrada y el voltaje de salida y en el nivel de detalle. Algunos modelos de esta categoría predicen solo el momento de ocurrencia del pico de salida (también conocido como "potencial de acción"); otros modelos son más detallados y dan cuenta de los procesos subcelulares. Los modelos de esta categoría pueden ser deterministas o probabilísticos.
2. Modelos de neuronas de entrada con estímulos naturales o farmacológicos: los modelos de esta categoría relacionan el estímulo de entrada, que puede ser farmacológico o natural, con la probabilidad de un evento de pico. La etapa de entrada de estos modelos no es eléctrica, sino que tiene unidades de concentración farmacológicas (químicas) o unidades físicas que caracterizan un estímulo externo, como la luz, el sonido u otras formas de presión física. Además, la etapa de salida representa la probabilidad de un evento de pico y no un voltaje eléctrico.

Aunque no es inusual en ciencia e ingeniería tener varios modelos descriptivos para diferentes niveles de abstracción/detalle, la cantidad de modelos neuronales biológicos diferentes, a veces contradictorios, es excepcionalmente alta. Esta situación es en parte resultado de los muchos entornos experimentales diferentes y de la dificultad de separar las propiedades intrínsecas de una sola neurona de los efectos de medición e interacciones de muchas células ( efectos de red ).

Objetivos de los modelos neuronales

En última instancia, los modelos neuronales biológicos tienen como objetivo explicar los mecanismos que subyacen al funcionamiento del sistema nervioso. Sin embargo, se pueden distinguir varios enfoques, desde modelos más realistas (por ejemplo, modelos mecanicistas) hasta modelos más pragmáticos (por ejemplo, modelos fenomenológicos). ^{[7] [ se necesita una mejor fuente ]} El modelado ayuda a analizar datos experimentales y abordar preguntas. Los modelos también son importantes en el contexto de la restauración de la funcionalidad cerebral perdida mediante dispositivos neuroprotésicos .

Los modelos de esta categoría describen la relación entre las corrientes de membrana neuronal en la etapa de entrada y el voltaje de membrana en la etapa de salida. Esta categoría incluye modelos de integración y disparo (generalizados) y modelos biofísicos inspirados en el trabajo de Hodgkin-Huxley a principios de la década de 1950, que utilizaban una configuración experimental que perforaba la membrana celular y permitía forzar un voltaje/corriente de membrana específico. ^{[8] [9] [10] [11]}

La mayoría de las interfaces neuronales eléctricas modernas aplican estimulación eléctrica extracelular para evitar la perforación de la membrana, lo que puede provocar la muerte celular y el daño tisular. Por lo tanto, no está claro hasta qué punto los modelos de neuronas eléctricas son válidos para la estimulación extracelular (véase, por ejemplo, ^[12] ).

El modelo de Hodgkin-Huxley (modelo H&H) ^{[8] [9] [10] [11]} es un modelo de la relación entre el flujo de corrientes iónicas a través de la membrana celular neuronal y el voltaje de membrana de la célula. ^{[8] [9] [10] [11]} Consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales que describen el comportamiento de los canales iónicos que permean la membrana celular del axón gigante del calamar . Hodgkin y Huxley fueron galardonados con el Premio Nobel de Fisiología o Medicina de 1963 por este trabajo.

Es importante tener en cuenta la relación voltaje-corriente, con múltiples corrientes dependientes del voltaje que cargan la membrana celular con capacidad C _m

${\displaystyle C_{\mathrm {m}}{\frac {dV(t)}{dt}}=-\sum _{i}I_{i}(t,V).}$

La ecuación anterior es la derivada temporal de la ley de capacitancia , Q = CV, donde el cambio de la carga total debe explicarse como la suma de las corrientes. Cada corriente está dada por

${\displaystyle I(t,V)=g(t,V)\cdot (V-V_{\mathrm {eq} })}$

donde g ( t , V ) es la conductancia o resistencia inversa, que se puede expandir en términos de su conductancia máxima ḡ y las fracciones de activación e inactivación m y h , respectivamente, que determinan cuántos iones pueden fluir a través de los canales de membrana disponibles. Esta expansión está dada por

${\displaystyle g(t,V)={\bar {g}}\cdot m(t,V)^{p}\cdot h(t,V)^{q}}$

y nuestras fracciones siguen la cinética de primer orden

${\displaystyle {\frac {dm(t,V)}{dt}}={\frac {m_{\infty }(V)-m(t,V)}{\tau _{\mathrm {m} }(V)}}=\alpha _{\mathrm {m} }(V)\cdot (1-m)-\beta _{\mathrm {m} }(V)\cdot m}$

con una dinámica similar para h , donde podemos usar τ y m _∞ o α y β para definir nuestras fracciones de puerta.

El modelo de Hodgkin-Huxley puede ampliarse para incluir corrientes iónicas adicionales. Por lo general, estas incluyen corrientes de entrada de Ca ²⁺ y Na ⁺ , así como diversas variedades de corrientes de salida de K ^{+ , incluida una corriente de "fuga".}

El resultado puede ser un número pequeño de 20 parámetros que se deben estimar o medir para obtener un modelo preciso. En un modelo de un sistema complejo de neuronas, la integración numérica de las ecuaciones es costosa en términos computacionales . Por lo tanto, se necesitan simplificaciones cuidadosas del modelo de Hodgkin-Huxley.

El modelo se puede reducir a dos dimensiones gracias a las relaciones dinámicas que se pueden establecer entre las variables de control. ^[13] También es posible extenderlo para tener en cuenta la evolución de las concentraciones (consideradas fijas en el modelo original). ^{[14] [15]}

Uno de los primeros modelos de neurona es el modelo de integración y disparo perfecto (también llamado integración y disparo sin fugas), investigado por primera vez en 1907 por Louis Lapicque . ^[16] Una neurona está representada por su voltaje de membrana V que evoluciona en el tiempo durante la estimulación con una corriente de entrada I(t) de acuerdo con

${\displaystyle I(t)=C{\frac {dV(t)}{dt}}}$

que es simplemente la derivada temporal de la ley de capacitancia , Q = CV . Cuando se aplica una corriente de entrada, el voltaje de la membrana aumenta con el tiempo hasta que alcanza un umbral constante V _th , momento en el que se produce un pico de función delta y el voltaje se restablece a su potencial de reposo, después de lo cual el modelo continúa ejecutándose. La frecuencia de disparo del modelo aumenta linealmente sin límite a medida que aumenta la corriente de entrada.

El modelo se puede hacer más preciso introduciendo un período refractario t _ref que limita la frecuencia de disparo de una neurona evitando que se dispare durante ese período. Para una entrada constante I(t)=I, el voltaje umbral se alcanza después de un tiempo de integración t _int = CV _thr /I después de comenzar desde cero. Después de un reinicio, el período refractario introduce un tiempo muerto de modo que el tiempo total hasta el siguiente disparo es t _ref + t _int . La frecuencia de disparo es la inversa del intervalo total entre picos (incluido el tiempo muerto). La frecuencia de disparo en función de una corriente de entrada constante es, por lo tanto,

${\displaystyle \,\!f(I)={\frac {I}{C_{\mathrm {} }V_{\mathrm {th} }+t_{\mathrm {ref} }I}}.}$

Una deficiencia de este modelo es que no describe ni la adaptación ni la fuga. Si el modelo recibe un pulso de corriente corto por debajo del umbral en algún momento, mantendrá ese aumento de voltaje para siempre, hasta que otra entrada posterior lo haga activarse. Esta característica no está en línea con el comportamiento neuronal observado. Las siguientes extensiones hacen que el modelo de integración y activación sea más plausible desde un punto de vista biológico.

El modelo de integración y disparo con fugas, que se remonta a Louis Lapicque ^[16] , contiene un término de "fuga" en la ecuación del potencial de membrana que refleja la difusión de iones a través de la membrana, a diferencia del modelo de integración y disparo sin fugas. La ecuación del modelo se ve así: ^[1]

${\displaystyle C_{\mathrm {m} }{\frac {dV_{\mathrm {m} }(t)}{dt}}=I(t)-{\frac {V_{\mathrm {m} }(t)}{R_{\mathrm {m} }}}}$

donde V _m es el voltaje a través de la membrana celular y R _m es la resistencia de la membrana. (El modelo de integración y disparo sin fugas se recupera en el límite R _m hasta el infinito, es decir, si la membrana es un aislante perfecto). La ecuación del modelo es válida para una entrada arbitraria dependiente del tiempo hasta que se alcanza un umbral V _th ; a partir de entonces, se restablece el potencial de membrana.

Para una entrada constante, la entrada mínima para alcanzar el umbral es I _th = V _th / R _m . Suponiendo un restablecimiento a cero, la frecuencia de disparo se ve así:

${\displaystyle f(I)={\begin{cases}0,&I\leq I_{\mathrm {th} }\\\left[t_{\mathrm {ref} }-R_{\mathrm {m} }C_{\mathrm {m} }\log \left(1-{\tfrac {V_{\mathrm {th} }}{IR_{\mathrm {m} }}}\right)\right]^{-1},&I>I_{\mathrm {th} }\end{cases}}}$

que converge para grandes corrientes de entrada al modelo anterior sin fugas con el período refractario. ^[17] El modelo también se puede utilizar para neuronas inhibidoras. ^{[18] [19]}

La desventaja más importante de este modelo es que no contiene adaptación neuronal, por lo que no puede describir un tren de picos medido experimentalmente en respuesta a una corriente de entrada constante. ^[20] Esta desventaja se elimina en modelos generalizados de integración y disparo que también contienen una o varias variables de adaptación y pueden predecir los tiempos de pico de las neuronas corticales bajo inyección de corriente con un alto grado de precisión. ^{[21] [22] [23]}

La adaptación neuronal se refiere al hecho de que incluso en presencia de una inyección de corriente constante en el soma, los intervalos entre los picos de salida aumentan. Un modelo neuronal de integración y disparo adaptativo combina la integración con fugas del voltaje Vcon una o varias variables de adaptación w _k (ver Capítulo 6.1. en el libro de texto Dinámica Neuronal ^[27] )

${\displaystyle \tau _{\mathrm {m} }{\frac {dV_{\mathrm {m} }(t)}{dt}}=RI(t)-[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }]-R\sum _{k}w_{k}}$

${\displaystyle \tau _{k}{\frac {dw_{k}(t)}{dt}}=-a_{k}[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }]-w_{k}+b_{k}\tau _{k}\sum _{f}\delta (t-t^{f})}$

donde es la constante de tiempo de la membrana, w _k es el número de corriente de adaptación, con índice k , es la constante de tiempo de la corriente de adaptación w _k , E _m es el potencial de reposo y t ^f es el tiempo de activación de la neurona y la delta griega denota la función delta de Dirac. Siempre que el voltaje alcanza el umbral de activación, el voltaje se restablece a un valor V _r por debajo del umbral de activación. El valor de restablecimiento es uno de los parámetros importantes del modelo. El modelo más simple de adaptación tiene solo una única variable de adaptación w${\displaystyle \tau _{m}}$${\displaystyle \tau _{k}}$y se elimina la suma sobre k. ^[28]

Las neuronas de integración y disparo con una o varias variables de adaptación pueden explicar una variedad de patrones de disparo neuronal en respuesta a una estimulación constante, incluida la adaptación, el estallido y el estallido inicial. ^{[24] [25] [26]} Además, las neuronas de integración y disparo adaptativas con varias variables de adaptación pueden predecir los tiempos de pico de las neuronas corticales bajo una inyección de corriente dependiente del tiempo en el soma. ^{[22] [23]}

Los recientes avances en el cálculo fraccional teórico y computacional han dado lugar a una nueva forma de modelo denominada integración y disparo con fugas de orden fraccional. ^{[29] [30]} Una ventaja de este modelo es que puede capturar los efectos de adaptación con una sola variable. El modelo tiene la siguiente forma: ^[30]

${\displaystyle I(t)-{\frac {V_{\mathrm {m} }(t)}{R_{\mathrm {m} }}}=C_{\mathrm {m} }{\frac {d^{\alpha }V_{\mathrm {m} }(t)}{d^{\alpha }t}}}$

Una vez que el voltaje alcanza el umbral, se restablece. La integración fraccionaria se ha utilizado para explicar la adaptación neuronal en datos experimentales. ^[29]

En el modelo exponencial de integración y disparo , ^[33] la generación de picos es exponencial, siguiendo la ecuación:

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}-{\frac {R}{\tau _{m}}}I(t)={\frac {1}{\tau _{m}}}\left[E_{m}-V+\Delta _{T}\exp \left({\frac {V-V_{T}}{\Delta _{T}}}\right)\right].}$

donde es el potencial de membrana, es el umbral del potencial de membrana intrínseco, es la constante de tiempo de membrana, es el potencial de reposo, y es la agudeza del inicio del potencial de acción, usualmente alrededor de 1 mV para neuronas piramidales corticales. ^[31] Una vez que el potencial de membrana cruza , diverge al infinito en un tiempo finito. ^[34] En la simulación numérica la integración se detiene si el potencial de membrana alcanza un umbral arbitrario (mucho mayor que ) en el cual el potencial de membrana se restablece a un valor V _r . El valor de restablecimiento de voltaje V _r es uno de los parámetros importantes del modelo. Es importante destacar que el lado derecho de la ecuación anterior contiene una no linealidad que se puede extraer directamente de los datos experimentales. ^[31] En este sentido la no linealidad exponencial está fuertemente respaldada por evidencia experimental.${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{T}}$${\displaystyle \tau _{m}}$${\displaystyle E_{m}}$${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle V_{T}}$${\displaystyle V_{T}}$

En la neurona exponencial adaptativa de integración y disparo ^[32], la no linealidad exponencial anterior de la ecuación de voltaje se combina con una variable de adaptación w

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=RI(t)+\left[E_{m}-V+\Delta _{T}\exp \left({\frac {V-V_{T}}{\Delta _{T}}}\right)\right]-Rw}$

${\displaystyle \tau {\frac {dw(t)}{dt}}=-a[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }]-w+b\tau \delta (t-t^{f})}$

donde wIndica la corriente de adaptación con escala de tiempo . Los parámetros importantes del modelo son el valor de restablecimiento de voltaje V _r , el umbral intrínseco , las constantes de tiempo y también los parámetros de acoplamiento a${\displaystyle \tau }$${\displaystyle V_{T}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{m}}$y bEl modelo exponencial adaptativo de integración y disparo hereda la no linealidad de voltaje derivada experimentalmente ^[31] del modelo exponencial de integración y disparo. Pero yendo más allá de este modelo, también puede explicar una variedad de patrones de disparo neuronal en respuesta a la estimulación constante, incluida la adaptación, el estallido y el estallido inicial. ^[26] Sin embargo, dado que la adaptación se presenta en forma de corriente, puede aparecer una hiperpolarización aberrante. Este problema se resolvió expresándolo como una conductancia. ^[35]

En este modelo, se añade una función dependiente del tiempo al umbral fijo, , después de cada pico, lo que provoca una adaptación del umbral. El potencial del umbral, , vuelve gradualmente a su valor de estado estable dependiendo de la constante de tiempo de adaptación del umbral . ^[36] Esta es una de las técnicas más simples para lograr la adaptación de la frecuencia de los picos. ^[37] La ​​expresión para el umbral adaptativo viene dada por:${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle v_{th0}}$${\displaystyle v_{th}}$${\displaystyle \tau _{\theta }}$

${\displaystyle v_{th}(t)=v_{th0}+{\frac {\sum \theta (t-t_{f})}{f}}=v_{th0}+{\frac {\sum \theta _{0}\exp \left[-{\frac {(t-t_{f})}{\tau _{\theta }}}\right]}{f}}}$

donde se define por: ${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\exp \left[-{\frac {t}{\tau _{\theta }}}\right]}$

Cuando el potencial de membrana, , alcanza un umbral, se restablece a :${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle v_{rest}}$

${\displaystyle u(t)\geq v_{th}(t)\Rightarrow v(t)=v_{\text{rest}}}$

^{En [38]} se realiza una versión más simple de esto con una única constante de tiempo en la caída del umbral con una neurona LIF para lograr redes neuronales de picos recurrentes como LSTM para lograr una precisión más cercana a las ANN en algunas tareas espaciotemporales.

El modelo de neurona DEXAT es una variante del modelo de neurona adaptativa en el que el voltaje umbral decae con una exponencial doble que tiene dos constantes de tiempo. La desintegración exponencial doble está regida por una desintegración inicial rápida y luego una desintegración más lenta durante un período de tiempo más largo. ^{[39] [40]} Esta neurona utilizada en las redes neuronales segmentarias a través de un gradiente sustituto crea una tasa de aprendizaje adaptativa que produce una mayor precisión y una convergencia más rápida, y una memoria a corto plazo flexible en comparación con las contrapartes existentes en la literatura. La dinámica del potencial de membrana se describe a través de ecuaciones y la regla de adaptación del umbral es:

${\displaystyle v_{th}(t)=b_{0}+\beta _{1}b_{1}(t)+\beta _{2}b_{2}(t)}$

La dinámica de y está dada por${\displaystyle b_{1}(t)}$${\displaystyle b_{2}(t)}$

${\displaystyle b_{1}(t+\delta t)=p_{j1}b_{1}(t)+(1-p_{j1})z(t)\delta (t)}$,

${\displaystyle b_{2}(t+\delta t)=p_{j2}b_{2}(t)+(1-p_{j2})z(t)\delta (t)}$,

donde y .${\displaystyle p_{j1}=\exp \left[-{\frac {\delta t}{\tau _{b1}}}\right]}$${\displaystyle p_{j2}=\exp \left[-{\frac {\delta t}{\tau _{b2}}}\right]}$

^{Además, en [41]} se muestra un modelo de neurona umbral adaptativo de escala de tiempo múltiple que muestra una dinámica más compleja.

Los modelos de esta categoría son modelos generalizados de integración y disparo que incluyen un cierto nivel de estocasticidad. En los experimentos, se ha descubierto que las neuronas corticales responden de manera fiable a la entrada dependiente del tiempo, aunque con un pequeño grado de variación entre un ensayo y el siguiente si se repite el mismo estímulo. ^{[42] [43]} La estocasticidad en las neuronas tiene dos fuentes importantes. En primer lugar, incluso en un experimento muy controlado en el que se inyecta una corriente de entrada directamente en el soma, los canales iónicos se abren y cierran de manera estocástica ^[44] y este ruido de canal conduce a una pequeña cantidad de variabilidad en el valor exacto del potencial de membrana y el momento exacto de los picos de salida. En segundo lugar, para una neurona integrada en una red cortical, es difícil controlar la entrada exacta porque la mayoría de las entradas provienen de neuronas no observadas en algún otro lugar del cerebro. ^[27]

La estocasticidad se ha introducido en los modelos de neuronas en picos en dos formas fundamentalmente diferentes: (i) se agrega una corriente de entrada ruidosa a la ecuación diferencial del modelo de neurona; ^[45] o (ii) el proceso de generación de picos es ruidoso. ^[46] En ambos casos, la teoría matemática se puede desarrollar para tiempo continuo, que luego, si se desea para su uso en simulaciones por computadora, se transforma en un modelo de tiempo discreto.

La relación entre el ruido en los modelos neuronales y la variabilidad de los trenes de picos y los códigos neuronales se analiza en Codificación neuronal y en el Capítulo 7 del libro de texto Dinámica neuronal. ^[27]

Una neurona integrada en una red recibe una entrada de picos de otras neuronas. Dado que los tiempos de llegada de los picos no están controlados por un experimentador, se pueden considerar estocásticos. Por lo tanto, un modelo de integración y disparo (potencialmente no lineal) con no linealidad f(v) recibe dos entradas: una entrada controlada por los experimentadores y una corriente de entrada ruidosa que describe la entrada de fondo no controlada.${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle I^{\rm {noise}}(t)}$

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=f(V)+RI(t)+RI^{\text{noise}}(t)}$

El modelo de Stein ^[45] es el caso especial de una neurona con fugas de integración y disparo y una corriente de ruido blanco estacionaria con media cero y varianza unitaria. En el régimen subumbral, estas suposiciones dan como resultado la ecuación del proceso de Ornstein-Uhlenbeck.${\displaystyle I^{\rm {noise}}(t)=\xi (t)}$

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=[E_{m}-V]+RI(t)+R\xi (t)}$

Sin embargo, a diferencia del proceso estándar de Ornstein-Uhlenbeck, el voltaje de la membrana se restablece siempre que V alcanza el umbral de disparo V _th . ^[45] El cálculo de la distribución de intervalos del modelo de Ornstein-Uhlenbeck para una entrada constante con umbral conduce a un problema de tiempo de primer paso . ^{[45] [47]} El modelo de neurona de Stein y sus variantes se han utilizado para ajustar distribuciones de intervalos entre picos de trenes de picos de neuronas reales bajo una corriente de entrada constante. ^[47]

En la literatura matemática, la ecuación anterior del proceso Ornstein-Uhlenbeck se escribe en la forma

${\displaystyle dV=[E_{m}-V+RI(t)]{\frac {dt}{\tau _{m}}}+\sigma \,dW}$

donde es la amplitud de la entrada de ruido y dW son incrementos de un proceso de Wiener. Para implementaciones de tiempo discreto con paso de tiempo dt las actualizaciones de voltaje son ^[27]${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \Delta V=[E_{m}-V+RI(t)]{\frac {\Delta t}{\tau _{m}}}+\sigma {\sqrt {\tau _{m}}}y}$

donde y se extrae de una distribución gaussiana con varianza unitaria media cero. El voltaje se restablece cuando alcanza el umbral de activación V _th .

El modelo de entrada ruidosa también se puede utilizar en modelos generalizados de integración y disparo. Por ejemplo, el modelo exponencial de integración y disparo con entrada ruidosa lee

${\displaystyle \tau _{m}{\frac {dV}{dt}}=E_{m}-V+\Delta _{T}\exp \left({\frac {V-V_{T}}{\Delta _{T}}}\right)+RI(t)+R\xi (t)}$

Para una entrada determinista constante es posible calcular la tasa de disparo media como una función de . ^[48] Esto es importante porque los experimentalistas suelen utilizar la relación frecuencia-corriente (curva fI) para caracterizar una neurona.${\displaystyle I(t)=I_{0}}$${\displaystyle I_{0}}$

La integración y disparo con fugas con entrada ruidosa se ha utilizado ampliamente en el análisis de redes de neuronas con picos. ^[49] La entrada ruidosa también se denomina "ruido difusivo" porque conduce a una difusión del potencial de membrana subumbral alrededor de la trayectoria libre de ruido (Johannesma, ^[50] La teoría de las neuronas con picos con entrada ruidosa se analiza en el Capítulo 8.2 del libro de texto Neuronal Dynamics . ^[27]

En los modelos deterministas de integración y disparo, se genera un pico si el potencial de membrana V (t)alcanza el umbral . En los modelos de salida ruidosos, el umbral estricto se reemplaza por uno ruidoso de la siguiente manera. En cada momento t, se genera un pico de forma estocástica con una intensidad estocástica instantánea o "tasa de escape" ^[27]${\displaystyle V_{th}}$

${\displaystyle \rho (t)=f(V(t)-V_{th})}$

que depende de la diferencia momentánea entre el voltaje de la membrana V (t)y el umbral . ^[46] Una opción común para la 'tasa de escape' (que es consistente con los datos biológicos ^[22] ) es${\displaystyle V_{th}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(V-V_{th})={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp[\beta (V-V_{th})]}$

donde es una constante de tiempo que describe la rapidez con la que se dispara un pico una vez que el potencial de membrana alcanza el umbral y es un parámetro de nitidez. Porque el umbral se vuelve agudo y el disparo del pico ocurre de manera determinista en el momento en que el potencial de membrana alcanza el umbral desde abajo. El valor de nitidez encontrado en los experimentos ^[22] es lo que significa que el disparo neuronal se vuelve no despreciable tan pronto como el potencial de membrana está unos pocos mV por debajo del umbral de disparo formal.${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta \to \infty }$${\displaystyle 1/\beta \approx 4mV}$

El proceso de tasa de escape a través de un umbral suave se analiza en el Capítulo 9 del libro de texto Dinámica neuronal. ^[27]

Para los modelos en tiempo discreto, se genera un pico con probabilidad

${\displaystyle P_{F}(t_{n})=F[V(t_{n})-V_{th}]}$

que depende de la diferencia momentánea entre el voltaje de la membrana Ven el tiempo y el umbral . ^[55] La función F se toma a menudo como una sigmoidea estándar con parámetro de inclinación , ^[46] similar a la dinámica de actualización en redes neuronales artificiales. Pero la forma funcional de F también se puede derivar de la intensidad estocástica en tiempo continuo introducida anteriormente como donde es la distancia umbral. ^[46]${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle V_{th}}$${\displaystyle F(x)=0.5[1+\tanh(\gamma x)]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle f}$${\displaystyle F(y_{n})\approx 1-\exp[y_{n}\Delta t]}$${\displaystyle y_{n}=V(t_{n})-V_{th}}$

Los modelos de integración y disparo con ruido de salida se pueden utilizar para predecir el histograma de tiempo de periestímulo (PSTH) de neuronas reales bajo una entrada arbitraria dependiente del tiempo. ^[22] Para neuronas de integración y disparo no adaptativas, la distribución de intervalos bajo estimulación constante se puede calcular a partir de la teoría de renovación estacionaria . ^[27]

Artículo principal : Modelo de respuesta a picos

El modelo de respuesta de pico (SRM) es un modelo lineal generalizado para el voltaje de membrana subumbral combinado con un proceso de ruido de salida no lineal para la generación de picos. ^{[46] [58] [56]} El voltaje de membrana V (t)en el momento t es

${\displaystyle V(t)=\sum _{f}\eta (t-t^{f})+\int \limits _{0}^{\infty }\kappa (s)I(t-s)\,ds+V_{\mathrm {rest} }}$

donde t ^f es el tiempo de disparo del número de picos f de la neurona, V _rest es el voltaje de reposo en ausencia de entrada, I(ts)es la corriente de entrada en el tiempo ts y es un filtro lineal (también llamado kernel) que describe la contribución de un pulso de corriente de entrada en el tiempo ts al voltaje en el tiempo t. Las contribuciones al voltaje causadas por un pico en el tiempo se describen mediante el kernel refractario . En particular, describe el reinicio después del pico y el curso temporal del potencial posterior al pico después de un pico. Por lo tanto, expresa las consecuencias de la refractariedad y la adaptación. ^{[46] [23]} El voltaje V(t) se puede interpretar como el resultado de una integración de la ecuación diferencial de un modelo de integración y disparo con fugas acoplado a un número arbitrario de variables de adaptación activadas por picos. ^[24]${\displaystyle \kappa (s)}$${\displaystyle t^{f}}$${\displaystyle \eta (t-t^{f})}$${\displaystyle \eta (t-t^{f})}$

El disparo de picos es estocástico y ocurre con una intensidad estocástica dependiente del tiempo (tasa instantánea)

${\displaystyle f(V-\vartheta (t))={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp[\beta (V-\vartheta (t))]}$

con parámetros y un umbral dinámico dado por${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \vartheta (t)}$

${\displaystyle \vartheta (t)=\vartheta _{0}+\sum _{f}\theta _{1}(t-t^{f})}$

Aquí se muestra el umbral de activación de una neurona inactiva y se describe el aumento del umbral después de un pico en el tiempo . ^{[22] [23]} En el caso de un umbral fijo, se establece . Para el proceso de umbral es determinista. ^[27]${\displaystyle \vartheta _{0}}$${\displaystyle \theta _{1}(t-t^{f})}$${\displaystyle t^{f}}$${\displaystyle \theta _{1}(t-t^{f})=0}$${\displaystyle \beta \to \infty }$

El curso temporal de los filtros que caracterizan el modelo de respuesta de pico se puede extraer directamente de los datos experimentales. ^[23] Con parámetros optimizados, el SRM describe el curso temporal del voltaje de membrana subumbral para la entrada dependiente del tiempo con una precisión de 2 mV y puede predecir el tiempo de la mayoría de los picos de salida con una precisión de 4 ms. ^{[22] [23]} El SRM está estrechamente relacionado con los modelos de cascada de Poisson lineales-no lineales (también llamados Modelo Lineal Generalizado). ^[54] La estimación de parámetros de modelos neuronales probabilísticos como el SRM utilizando métodos desarrollados para Modelos Lineales Generalizados ^[59] se analiza en el Capítulo 10 del libro de texto Neuronal Dynamics . ^[27]${\displaystyle \eta ,\kappa ,\theta _{1}}$

El nombre de modelo de respuesta a picos surge porque, en una red, la corriente de entrada para la neurona i es generada por los picos de otras neuronas, de modo que en el caso de una red la ecuación de voltaje se convierte en

${\displaystyle V_{i}(t)=\sum _{f}\eta _{i}(t-t_{i}^{f})+\sum _{j=1}^{N}w_{ij}\sum _{f'}\varepsilon _{ij}(t-t_{j}^{f'})+V_{\mathrm {rest} }}$

donde es el tiempo de disparo de la neurona j (es decir, su tren de picos); describe el curso temporal del pico y el potencial posterior al pico para la neurona i; y describe la amplitud y el curso temporal de un potencial postsináptico excitatorio o inhibidor (PSP) causado por el pico de la neurona presináptica j. El curso temporal del PSP resulta de la convolución de la corriente postsináptica causada por la llegada de un pico presináptico de la neurona j con el filtro de membrana . ^[27]${\displaystyle t_{j}^{f'}}$${\displaystyle \eta _{i}(t-t_{i}^{f})}$${\displaystyle w_{ij}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}(t-t_{j}^{f'})}$${\displaystyle t_{j}^{f'}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}(s)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle \kappa (s)}$

El SRM 0 ^{[56] [60] [61]} es un modelo de neurona estocástica relacionado con la teoría de renovación no lineal dependiente del tiempo y una simplificación del modelo de respuesta a picos (SRM). La principal diferencia con la ecuación de voltaje del SRM presentada anteriormente es que en el término que contiene el núcleo refractario no hay signo de suma sobre los picos pasados: solo importa el pico más reciente (indicado como el tiempo ). Otra diferencia es que el umbral es constante. El modelo SRM0 se puede formular en tiempo discreto o continuo. Por ejemplo, en tiempo continuo, la ecuación de neurona única es${\displaystyle \eta (s)}$${\displaystyle {\hat {t}}}$

${\displaystyle V(t)=\eta (t-{\hat {t}})+\int _{0}^{\infty }\kappa (s)I(t-s)\,ds+V_{\mathrm {rest} }}$

y las ecuaciones de red del SRM 0 son ^[56]

${\displaystyle V_{i}(t\mid {\hat {t}}_{i})=\eta _{i}(t-{\hat {t}}_{i})+\sum _{j}w_{ij}\sum _{f}\varepsilon _{ij}(t-{\hat {t}}_{i},t-t^{f})+V_{\mathrm {rest} }}$

donde es el último tiempo de disparo de la neurona i. Nótese que también se permite que el curso temporal del potencial postsináptico dependa del tiempo transcurrido desde el último pico de la neurona i para describir un cambio en la conductancia de la membrana durante la refractariedad. ^[60] La tasa de disparo instantánea (intensidad estocástica) es${\displaystyle {\hat {t}}_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$

${\displaystyle f(V-\vartheta )={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp[\beta (V-V_{th})]}$

donde es un umbral de disparo fijo. Por lo tanto, el disparo de la neurona i depende solo de su entrada y del tiempo transcurrido desde que la neurona i disparó su último pico.${\displaystyle V_{th}}$

Con el SRM 0 , la distribución de intervalo entre picos para una entrada constante se puede vincular matemáticamente a la forma del núcleo refractario . ^{[46] [56]} Además, la relación de frecuencia-corriente estacionaria se puede calcular a partir de la tasa de escape en combinación con el núcleo refractario . ^{[46] [56]} Con una elección apropiada de los núcleos, el SRM 0 aproxima la dinámica del modelo de Hodgkin-Huxley a un alto grado de precisión. ^[60] Además, se puede predecir la respuesta del PSTH a una entrada arbitraria dependiente del tiempo. ^[56]${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$

El modelo de Galves-Löcherbach ^[62] es un modelo de neurona estocástica estrechamente relacionado con el modelo de respuesta a picos SRM 0 ^{[61] [56]} y el modelo de integración y disparo con fugas. Es inherentemente estocástico y, al igual que el SRM 0 , está vinculado a la teoría de renovación no lineal dependiente del tiempo . Dadas las especificaciones del modelo, la probabilidad de que una neurona dada presente picos en un período puede describirse mediante${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Prob} } (X_{t}(i)=1\mid {\mathcal {F}}_{t-1})=\varphi _{i}{\Biggl (}\sum _{j\in I}W_{j\rightarrow i}\sum _{s=L_{t}^{i}}^{t-1}g_{j}(t-s)X_{s}(j),~~~t-L_{t}^{i}{\Biggl )},}$

donde es un peso sináptico , que describe la influencia de la neurona en la neurona , expresa la fuga y proporciona el historial de picos de la neurona antes , según${\displaystyle W_{j\rightarrow i}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle g_{j}}$${\displaystyle L_{t}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle L_{t}^{i}=\sup\{s<t:X_{s}(i)=1\}.}$

Es importante destacar que la probabilidad de pico de una neurona depende únicamente de su pico de entrada (filtrado con un kernel y ponderado con un factor ) y del momento de su pico de salida más reciente (resumido por ).${\displaystyle i}$${\displaystyle g_{j}}$${\displaystyle W_{j\to i}}$${\displaystyle t-L_{t}^{i}}$

Los modelos de esta categoría son modelos de juguete altamente simplificados que describen cualitativamente el voltaje de la membrana en función de la entrada. Se utilizan principalmente por razones didácticas en la enseñanza, pero no se consideran modelos neuronales válidos para simulaciones a gran escala o para el ajuste de datos.

FitzHugh y Nagumo introdujeron simplificaciones radicales de Hodgkin-Huxley en 1961 y 1962. Buscando describir la "autoexcitación regenerativa" mediante un voltaje de membrana de retroalimentación positiva no lineal y la recuperación mediante un voltaje de compuerta de retroalimentación negativa lineal, desarrollaron el modelo descrito por ^[63]

${\displaystyle {\begin{aligned}{rcl}{\dfrac {dV}{dt}}&=V-V^{3}/3-w+I_{\mathrm {ext} }\\\tau {\dfrac {dw}{dt}}&=V-a-bw\end{aligned}}}$

donde nuevamente tenemos un voltaje y una corriente de entrada similares a los de una membrana con un voltaje de compuerta general más lento w y parámetros determinados experimentalmente a = -0,7, b = 0,8, τ = 1/0,08 . Aunque no se puede derivar de la biología, el modelo permite una dinámica simplificada e inmediatamente disponible, sin ser una simplificación trivial. ^[64] El apoyo experimental es débil, pero el modelo es útil como herramienta didáctica para introducir la dinámica de la generación de picos a través del análisis del plano de fase . Véase el Capítulo 7 del libro de texto Métodos de modelado neuronal . ^[65]

En 1981, Morris y Lecar combinaron los modelos de Hodgkin-Huxley y FitzHugh-Nagumo en un modelo de canal de calcio dependiente de voltaje con un canal de potasio rectificador retardado representado por

${\displaystyle {\begin{aligned}C{\frac {dV}{dt}}&=-I_{\mathrm {ion} }(V,w)+I\\{\frac {dw}{dt}}&=\varphi \cdot {\frac {w_{\infty }-w}{\tau _{w}}}\end{aligned}}}$

donde . ^[17] El soporte experimental del modelo es débil, pero el modelo es útil como herramienta didáctica para introducir la dinámica de la generación de picos a través del análisis del plano de fase . Véase el Capítulo 7 ^[66] en el libro de texto Métodos de modelado neuronal . ^[65]${\displaystyle I_{\mathrm {ion} }(V,w)={\bar {g}}_{\mathrm {Ca} }m_{\infty }\cdot (V-V_{\mathrm {Ca} })+{\bar {g}}_{\mathrm {K} }w\cdot (V-V_{\mathrm {K} })+{\bar {g}}_{\mathrm {L} }\cdot (V-V_{\mathrm {L} })}$

Se puede derivar paso a paso un modelo de neurona bidimensional muy similar al modelo de Morris-Lecar a partir del modelo de Hodgkin-Huxley. Véase el capítulo 4.2 del libro de texto Neuronal Dynamics. ^[27]

Basándose en el modelo de FitzHugh-Nagumo, Hindmarsh y Rose propusieron en 1984 ^[67] un modelo de actividad neuronal descrito por tres ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y+3x^{2}-x^{3}-z+I\\{\frac {dy}{dt}}&=1-5x^{2}-y\\{\frac {dz}{dt}}&=r\cdot (4(x+{\tfrac {8}{5}})-z)\end{aligned}}}$

con r ² = x ² + y ² + z ² , y r ≈ 10 ⁻² de modo que la variable z solo cambia muy lentamente. Esta complejidad matemática adicional permite una gran variedad de comportamientos dinámicos para el potencial de membrana, descrito por la variable x del modelo, que incluye dinámica caótica. Esto hace que el modelo de neurona de Hindmarsh-Rose sea muy útil, porque sigue siendo simple y permite una buena descripción cualitativa de los muchos patrones de disparo diferentes del potencial de acción, en particular el estallido, observado en experimentos. Sin embargo, sigue siendo un modelo de juguete y no se ha ajustado a los datos experimentales. Se usa ampliamente como modelo de referencia para la dinámica del estallido. ^[67]

El modelo theta , o modelo canónico de tipo I de Ermentrout-Kopell, es matemáticamente equivalente al modelo cuadrático de integración y disparo, que a su vez es una aproximación al modelo exponencial de integración y disparo y al modelo de Hodgkin-Huxley. Se denomina modelo canónico porque es uno de los modelos genéricos para entradas constantes cercanas al punto de bifurcación, lo que significa cerca de la transición de disparo silencioso a disparo repetitivo. ^{[68] [69]}

La formulación estándar del modelo theta es ^{[27] [68] [69]}

${\displaystyle {\frac {d\theta (t)}{dt}}=(I-I_{0})[1+\cos(\theta )]+[1-\cos(\theta )]}$

La ecuación para el modelo cuadrático de integración y disparo es (ver Capítulo 5.3 en el libro de texto Neuronal Dynamics ^[27] )

${\displaystyle \tau _{\mathrm {m} }{\frac {dV_{\mathrm {m} }(t)}{dt}}=(I-I_{0})R+[V_{\mathrm {m} }(t)-E_{\mathrm {m} }][V_{\mathrm {m} }(t)-V_{\mathrm {T} }]}$

La equivalencia del modelo theta y la integración y disparo cuadráticos se analiza, por ejemplo, en el Capítulo 4.1.2.2 de modelos de neuronas en pico. ^[1]

Para entradas que cambian con el tiempo o están lejos del punto de bifurcación, es preferible trabajar con el modelo exponencial de integración y disparo (si uno quiere permanecer en la clase de modelos de neuronas unidimensionales), porque las neuronas reales exhiben la no linealidad del modelo exponencial de integración y disparo. ^[31]${\displaystyle I(t)}$

Los modelos de esta categoría se derivaron de experimentos que involucraban estimulación natural, como luz, sonido, tacto u olor. En estos experimentos, el patrón de picos resultante de la presentación de cada estímulo varía de un ensayo a otro, pero la respuesta promedio de varios ensayos a menudo converge hacia un patrón claro. En consecuencia, los modelos de esta categoría generan una relación probabilística entre el estímulo de entrada y la ocurrencia de picos. Es importante destacar que las neuronas registradas a menudo se ubican varios pasos de procesamiento después de las neuronas sensoriales, de modo que estos modelos resumen los efectos de la secuencia de pasos de procesamiento en una forma compacta.

Siebert ^{[70] [71]} modeló el patrón de disparo de picos de neuronas utilizando un modelo de proceso de Poisson no homogéneo , siguiendo experimentos que involucraban al sistema auditivo. ^{[70] [71]} Según Siebert, la probabilidad de un evento de pico en el intervalo de tiempo es proporcional a una función no negativa , donde es el estímulo bruto.:${\displaystyle [t,t+\Delta _{t}]}$${\displaystyle g[s(t)]}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle P_{\text{spike}}(t\in [t',t'+\Delta _{t}])=\Delta _{t}\cdot g[s(t)]}$

Siebert consideró varias funciones como , incluso para intensidades de estímulo bajas.${\displaystyle g[s(t)]}$${\displaystyle g[s(t)]\propto s^{2}(t)}$

La principal ventaja del modelo de Siebert es su simplicidad. El inconveniente del modelo es su incapacidad para reflejar adecuadamente los siguientes fenómenos:

• El aumento transitorio de la actividad de disparo neuronal en respuesta a un estímulo escalonado.
• La saturación de la velocidad de disparo.
• Los valores del histograma de intervalo entre picos son valores de intervalos cortos (cercanos a cero).

Estas deficiencias se abordan mediante el modelo de proceso puntual dependiente de la edad y el modelo de Markov de dos estados. ^{[72] [73] [74]}

Berry y Meister ^[75] estudiaron la refractariedad neuronal utilizando un modelo estocástico que predice picos como un producto de dos términos, una función f(s(t)) que depende del estímulo dependiente del tiempo s(t) y una función de recuperación que depende del tiempo desde el último pico.${\displaystyle w(t-{\hat {t}})}$

${\displaystyle \rho (t)=f(s(t))w(t-{\hat {t}})}$

El modelo también se denomina proceso de intervalo de Markov no homogéneo (IMI) . ^[76] Se han utilizado modelos similares durante muchos años en la neurociencia auditiva. ^{[77] [78] [79]} Dado que el modelo mantiene la memoria del último momento de pico, no es Poisson y cae en la clase de modelos de renovación dependientes del tiempo. ^[27] Está estrechamente relacionado con el modelo SRM0 con tasa de escape exponencial. ^[27] Es importante destacar que es posible ajustar los parámetros del modelo de proceso puntual dependiente de la edad para describir no solo la respuesta PSTH, sino también las estadísticas de intervalo entre picos. ^{[76] [77] [79]}

El modelo de cascada de Poisson lineal-no lineal es una cascada de un proceso de filtrado lineal seguido de un paso de generación de picos no lineal. ^[80] En el caso de que los picos de salida se retroalimenten, a través de un proceso de filtrado lineal, llegamos a un modelo que se conoce en las neurociencias como Modelo Lineal Generalizado (GLM). ^{[54] [59]} El GLM es matemáticamente equivalente al modelo de respuesta a picos (SRM) con ruido de escape; pero mientras que en el SRM las variables internas se interpretan como el potencial de membrana y el umbral de disparo, en el GLM las variables internas son cantidades abstractas que resumen el efecto neto de la entrada (y los picos de salida recientes) antes de que se generen los picos en el paso final. ^{[27] [54]}

El modelo de neurona de activación de Nossenson y Messer ^{[72] [73] [74]} produce la probabilidad de que la neurona active una activación como una función de un estímulo externo o farmacológico. ^{[72] [73] [74]} El modelo consiste en una cascada de un modelo de capa receptora y un modelo de neurona de activación, como se muestra en la Figura 4. La conexión entre el estímulo externo y la probabilidad de activación se realiza en dos pasos: primero, un modelo de célula receptora traduce el estímulo externo en bruto a concentración de neurotransmisores y, luego, un modelo de neurona de activación conecta la concentración de neurotransmisores con la tasa de activación (probabilidad de activación). Por lo tanto, el modelo de neurona de activación por sí mismo depende de la concentración de neurotransmisores en la etapa de entrada. ^{[72] [73] [74]}

Una característica importante de este modelo es la predicción del patrón de frecuencia de disparo de las neuronas, que captura, utilizando un número reducido de parámetros libres, la respuesta característica de las neuronas enfatizada en los bordes a un pulso de estímulo, como se muestra en la figura 5. La frecuencia de disparo se identifica tanto como una probabilidad normalizada de disparo de picos neuronales como una cantidad proporcional a la corriente de neurotransmisores liberados por la célula. La expresión para la frecuencia de disparo adopta la siguiente forma:

${\displaystyle R_{\text{fire}}(t)={\frac {P_{\text{spike}}(t;\Delta _{t})}{\Delta _{t}}}=[y(t)+R_{0}]\cdot P_{0}(t)}$

dónde,

• P0 es la probabilidad de que la neurona esté "armada" y lista para disparar. Se obtiene mediante la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle {\dot {P}}_{0}=-[y(t)+R_{0}+R_{1}]\cdot P_{0}(t)+R_{1}}$

P0 se puede calcular de forma recursiva utilizando el método de Euler, pero en el caso de un pulso de estímulo, produce una expresión simple de forma cerrada. ^{[72] [81]}

• y ( t ) es la entrada del modelo y se interpreta como la concentración de neurotransmisores en el entorno celular (en la mayoría de los casos, glutamato). Para un estímulo externo, se puede estimar a través del modelo de la capa receptora:

${\displaystyle y(t)\simeq g_{\text{gain}}\cdot \langle s^{2}(t)\rangle ,}$

siendo un promedio temporal corto de la potencia del estímulo (expresado en vatios u otra energía por unidad de tiempo).${\displaystyle \langle s^{2}(t)\rangle }$

• R ₀ corresponde a la tasa de disparo espontáneo intrínseco de la neurona.
• R ₁ es la tasa de recuperación de la neurona del estado refractario.

Otras predicciones de este modelo incluyen:

1) El potencial de respuesta evocada (PRE) promedio debido a la población de muchas neuronas en mediciones sin filtrar se asemeja a la tasa de disparo. ^[74]

2) La variación de voltaje de la actividad debido a la actividad neuronal múltiple se asemeja a la tasa de activación (también conocida como potencia de actividad de unidades múltiples o MUA). ^{[73] [74]}

3) La distribución de probabilidad entre intervalos de picos toma la forma de una función similar a una distribución gamma. ^{[72] [81]}

Los modelos de esta categoría producen predicciones para experimentos que involucran estimulación farmacológica.

Según el modelo de Koch y Segev, ^[17] la respuesta de una neurona a neurotransmisores individuales puede modelarse como una extensión del modelo clásico de Hodgkin-Huxley con corrientes cinéticas estándar y no estándar. Cuatro neurotransmisores influyen principalmente en el SNC. Los receptores AMPA/kainato son mediadores excitatorios rápidos, mientras que los receptores NMDA median corrientes considerablemente más lentas. Las corrientes inhibitorias rápidas pasan por los receptores GABA _A , mientras que los receptores GABA _B median por canales de potasio secundarios activados por proteína G. Este rango de mediación produce la siguiente dinámica de corriente:

• ${\displaystyle I_{\mathrm {AMPA} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {AMPA} }\cdot [O]\cdot (V(t)-E_{\mathrm {AMPA} })}$
• ${\displaystyle I_{\mathrm {NMDA} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {NMDA} }\cdot B(V)\cdot [O]\cdot (V(t)-E_{\mathrm {NMDA} })}$
• ${\displaystyle I_{\mathrm {GABA_{A}} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {GABA_{A}} }\cdot ([O_{1}]+[O_{2}])\cdot (V(t)-E_{\mathrm {Cl} })}$
• ${\displaystyle I_{\mathrm {GABA_{B}} }(t,V)={\bar {g}}_{\mathrm {GABA_{B}} }\cdot {\tfrac {[G]^{n}}{[G]^{n}+K_{\mathrm {d} }}}\cdot (V(t)-E_{\mathrm {K} })}$

donde ḡ es la conductancia máxima ^{[8] [17] (alrededor de 1} S ) y E es el potencial de equilibrio del ion o transmisor dado (AMDA, NMDA, Cl o K ), mientras que [ O ] describe la fracción de receptores abiertos. Para NMDA, hay un efecto significativo del bloqueo de magnesio que depende sigmoideamente de la concentración de magnesio intracelular por B ( V ) . Para GABA _B , [ G ] es la concentración de la proteína G y K _d describe la disociación de G en la unión a las compuertas de potasio.

La dinámica de este modelo más complicado ha sido bien estudiada experimentalmente y produce resultados importantes en términos de potenciación y depresión sináptica muy rápida , es decir, aprendizaje rápido y de corto plazo.

El modelo estocástico de Nossenson y Messer traduce la concentración de neurotransmisores en la etapa de entrada a la probabilidad de liberar neurotransmisores en la etapa de salida. ^{[72] [73] [74]} Para una descripción más detallada de este modelo, consulte la sección Modelo de Markov de dos estados más arriba.

El modelo de neuronas HTM fue desarrollado por Jeff Hawkins e investigadores de Numenta y se basa en una teoría llamada Memoria temporal jerárquica , descrita originalmente en el libro Sobre la inteligencia . Se basa en la neurociencia y en la fisiología e interacción de las neuronas piramidales en el neocórtex del cerebro humano.

Los modelos de neuronas en pico se utilizan en una variedad de aplicaciones que necesitan codificación o decodificación de trenes de picos neuronales en el contexto de neuroprótesis e interfaces cerebro-computadora como prótesis de retina : ^{[12] [99] [100] [101]} o control y sensación de miembros artificiales. ^{[102] [103] [104]} Las aplicaciones no son parte de este artículo; para obtener más información sobre este tema, consulte el artículo principal.

El modelo más básico de una neurona consiste en una entrada con un vector de peso sináptico y una función de activación o función de transferencia dentro de la neurona que determina la salida. Esta es la estructura básica que se utiliza para las neuronas artificiales, que en una red neuronal a menudo se ven así:

${\displaystyle y_{i}=\varphi \left(\sum _{j}w_{ij}x_{j}\right)}$

donde y _i es la salida de la neurona i , x _j es la señal de entrada de la neurona j , w _ij es el peso sináptico (o fuerza de conexión) entre las neuronas i y j , y φ es la función de activación . Si bien este modelo ha tenido éxito en aplicaciones de aprendizaje automático, es un modelo deficiente para neuronas reales (biológicas), porque carece de dependencia del tiempo en la entrada y la salida.

Cuando se activa una entrada en un momento t y se mantiene constante a partir de entonces, las neuronas biológicas emiten un tren de impulsos. Es importante destacar que este tren de impulsos no es regular, sino que presenta una estructura temporal caracterizada por la adaptación, la ráfaga o la ráfaga inicial seguida de impulsos regulares. Los modelos generalizados de integración y disparo, como el modelo de integración y disparo exponencial adaptativo, el modelo de respuesta a los impulsos o el modelo de integración y disparo adaptativo (lineal) pueden capturar estos patrones de disparo neuronal. ^{[24] [25] [26]}

Además, la entrada neuronal en el cerebro depende del tiempo. La entrada dependiente del tiempo se transforma mediante filtros lineales y no lineales complejos en un tren de picos en la salida. Nuevamente, el modelo de respuesta a picos o el modelo de integración y disparo adaptativo permite predecir el tren de picos en la salida para una entrada arbitraria dependiente del tiempo, ^{[22] [23]} mientras que una neurona artificial o un simple modelo de integración y disparo con fugas no lo hacen.

Si tomamos el modelo de Hodgkin-Huxley como punto de partida, se pueden derivar sistemáticamente modelos generalizados de integración y disparo mediante un procedimiento de simplificación paso a paso. Esto se ha demostrado explícitamente para el modelo exponencial de integración y disparo ^[33] y el modelo de respuesta de pico ^[60] .

En el caso de modelar una neurona biológica, se utilizan análogos físicos en lugar de abstracciones como "peso" y "función de transferencia". Una neurona está llena y rodeada de iones que contienen agua, que llevan carga eléctrica. La neurona está unida por una membrana celular aislante y puede mantener una concentración de iones cargados en cada lado que determina una capacitancia C _m . La activación de una neurona implica el movimiento de iones hacia la célula, que ocurre cuando los neurotransmisores hacen que se abran los canales iónicos en la membrana celular. Describimos esto mediante una corriente física dependiente del tiempo I ( t ) . Con esto viene un cambio en el voltaje , o la diferencia de energía potencial eléctrica entre la célula y sus alrededores, que se observa que a veces da como resultado un pico de voltaje llamado potencial de acción que viaja a lo largo de la célula y desencadena la liberación de más neurotransmisores. El voltaje, entonces, es la cantidad de interés y está dada por V _m ( t ) . ^[19]

Si la corriente de entrada es constante, la mayoría de las neuronas emiten, después de un tiempo de adaptación o de una descarga inicial, un tren de impulsos regular. La frecuencia de descarga regular en respuesta a una corriente constante I se describe mediante la relación frecuencia-corriente, que corresponde a la función de transferencia de las redes neuronales artificiales. De manera similar, para todos los modelos de neuronas con impulsos, la función de transferencia se puede calcular numéricamente (o analíticamente).${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Todos los modelos deterministas anteriores son modelos de neuronas puntuales porque no consideran la estructura espacial de una neurona. Sin embargo, la dendrita contribuye a transformar la entrada en salida. ^{[105] [65]} Los modelos de neuronas puntuales son una descripción válida en tres casos. (i) Si la corriente de entrada se inyecta directamente en el soma. (ii) Si la entrada sináptica llega predominantemente al soma o cerca de él (la proximidad se define mediante una escala de longitud que se presenta a continuación. (iii) Si la sinapsis llega a cualquier parte de la dendrita, pero la dendrita es completamente lineal. En el último caso, el cable actúa como un filtro lineal; estas propiedades de filtro lineal se pueden incluir en la formulación de modelos generalizados de integración y disparo, como el modelo de respuesta a picos .${\displaystyle \lambda }$

Las propiedades del filtro se pueden calcular a partir de una ecuación de cable .

Consideremos una membrana celular en forma de cable cilíndrico. La posición en el cable se denota por x y el voltaje a través de la membrana celular por V. El cable se caracteriza por una resistencia longitudinal por unidad de longitud y una resistencia de membrana . Si todo es lineal, el voltaje cambia en función del tiempo.${\displaystyle r_{l}}$${\displaystyle r_{m}}$

${\displaystyle {\frac {r_{m}}{r_{l}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=c_{m}r_{m}{\frac {\partial V}{\partial t}}+V}$

( 19 )

Introducimos una escala de longitud en el lado izquierdo y una constante de tiempo en el lado derecho. La ecuación del cable ahora puede escribirse en su forma quizás más conocida:${\displaystyle \lambda ^{2}={r_{m}}/{r_{l}}}$${\displaystyle \tau =c_{m}r_{m}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\tau {\frac {\partial V}{\partial t}}+V}$

( 20 )

La ecuación de cable anterior es válida para un solo cable cilíndrico.

La teoría del cable lineal describe el árbol dendrítico de una neurona como una estructura cilíndrica que experimenta un patrón regular de bifurcación , como las ramas de un árbol. Para un solo cilindro o un árbol entero, la conductancia de entrada estática en la base (donde el árbol se encuentra con el cuerpo celular o cualquier límite similar) se define como

${\displaystyle G_{in}={\frac {G_{\infty }\tanh(L)+G_{L}}{1+(G_{L}/G_{\infty })\tanh(L)}}}$,

donde L es la longitud electrotónica del cilindro, que depende de su longitud, diámetro y resistencia. Un algoritmo recursivo simple escala linealmente con el número de ramas y se puede utilizar para calcular la conductancia efectiva del árbol. Esto viene dado por

${\displaystyle \,\!G_{D}=G_{m}A_{D}\tanh(L_{D})/L_{D}}$

donde A _D = πld es la superficie total del árbol de longitud total l , y L _D es su longitud electrotónica total. Para una neurona entera en la que la conductancia del cuerpo celular es G _S y la conductancia de la membrana por unidad de área es G _md = G _m / A , encontramos la conductancia neuronal total G _N para n árboles dendríticos sumando todas las conductancias del árbol y del soma, dadas por

${\displaystyle G_{N}=G_{S}+\sum _{j=1}^{n}A_{D_{j}}F_{dga_{j}},}$

donde podemos encontrar el factor de corrección general F _dga experimentalmente observando G _D = G _md A _D F _dga .

El modelo de cable lineal realiza varias simplificaciones para dar resultados analíticos cerrados, a saber, que el árbol dendrítico debe ramificarse en pares decrecientes en un patrón fijo y que las dendritas son lineales. Un modelo compartimental ^[65] permite cualquier topología de árbol deseada con ramas y longitudes arbitrarias, así como no linealidades arbitrarias. Es esencialmente una implementación computacional discretizada de dendritas no lineales.

Cada pieza o compartimento de una dendrita está modelada por un cilindro recto de longitud arbitraria l y diámetro d que se conecta con una resistencia fija a cualquier número de cilindros ramificados. Definimos la relación de conductancia del i- ésimo cilindro como B _i = G _i / G _∞ , donde y R _i es la resistencia entre el compartimento de corriente y el siguiente. Obtenemos una serie de ecuaciones para las relaciones de conductancia dentro y fuera de un compartimento haciendo correcciones a la dinámica normal B _{out, i} = B _{in, i+1} , como${\displaystyle G_{\infty }={\tfrac {\pi d^{3/2}}{2{\sqrt {R_{i}R_{m}}}}}}$

• ${\displaystyle B_{\mathrm {out} ,i}={\frac {B_{\mathrm {in} ,i+1}(d_{i+1}/d_{i})^{3/2}}{\sqrt {R_{\mathrm {m} ,i+1}/R_{\mathrm {m} ,i}}}}}$
• ${\displaystyle B_{\mathrm {in} ,i}={\frac {B_{\mathrm {out} ,i}+\tanh X_{i}}{1+B_{\mathrm {out} ,i}\tanh X_{i}}}}$
• ${\displaystyle B_{\mathrm {out,par} }={\frac {B_{\mathrm {in,dau1} }(d_{\mathrm {dau1} }/d_{\mathrm {par} })^{3/2}}{\sqrt {R_{\mathrm {m,dau1} }/R_{\mathrm {m,par} }}}}+{\frac {B_{\mathrm {in,dau2} }(d_{\mathrm {dau2} }/d_{\mathrm {par} })^{3/2}}{\sqrt {R_{\mathrm {m,dau2} }/R_{\mathrm {m,par} }}}}+\ldots }$

donde la última ecuación se ocupa de los padres y las hijas en las ramas, y . Podemos iterar estas ecuaciones a través del árbol hasta que lleguemos al punto donde las dendritas se conectan al cuerpo celular (soma), donde la relación de conductancia es B _in,stem . Entonces nuestra conductancia neuronal total para la entrada estática está dada por${\displaystyle X_{i}={\tfrac {l_{i}{\sqrt {4R_{i}}}}{\sqrt {d_{i}R_{m}}}}}$

${\displaystyle G_{N}={\frac {A_{\mathrm {soma} }}{R_{\mathrm {m,soma} }}}+\sum _{j}B_{\mathrm {in,stem} ,j}G_{\infty ,j}.}$

Es importante destacar que la entrada estática es un caso muy especial. En biología, las entradas dependen del tiempo. Además, las dendritas no siempre son lineales.

Los modelos compartimentados permiten incluir no linealidades a través de canales iónicos ubicados en ubicaciones arbitrarias a lo largo de las dendritas. ^{[105] [106]} Para entradas estáticas, a veces es posible reducir la cantidad de compartimentos (aumentar la velocidad computacional) y aún así conservar las características eléctricas salientes. ^[107]

El esquema de detección de energía basado en neurotransmisores ^{[74] [81]} sugiere que el tejido neural ejecuta químicamente un procedimiento de detección similar al radar.

Como se muestra en la figura 6, la idea clave de la conjetura es tener en cuenta la concentración de neurotransmisores, la generación de neurotransmisores y las tasas de eliminación de neurotransmisores como las cantidades importantes en la ejecución de la tarea de detección, al tiempo que se hace referencia a los potenciales eléctricos medidos como un efecto secundario que solo en ciertas condiciones coincide con el propósito funcional de cada paso. El esquema de detección es similar a una "detección de energía" tipo radar porque incluye la cuadratura de la señal, la suma temporal y un mecanismo de conmutación de umbral, al igual que el detector de energía, pero también incluye una unidad que enfatiza los bordes del estímulo y una longitud de memoria variable (memoria variable). Según esta conjetura, el equivalente fisiológico de las estadísticas de la prueba de energía es la concentración de neurotransmisores, y la tasa de activación corresponde a la corriente de neurotransmisores. La ventaja de esta interpretación es que conduce a una explicación coherente con la unidad que permite un puente entre las mediciones electrofisiológicas, las mediciones bioquímicas y los resultados psicofísicos.

La evidencia revisada en ^{[74] [81]} sugiere la siguiente asociación entre la funcionalidad y la clasificación histológica:

1. Es probable que la cuadratura del estímulo la realicen las células receptoras.
2. El énfasis del borde del estímulo y la transducción de señales lo realizan las neuronas.
3. La acumulación temporal de neurotransmisores la realizan las células gliales. Es probable que también se produzca una acumulación a corto plazo de neurotransmisores en algunos tipos de neuronas.
4. Las células gliales realizan cambios lógicos que resultan de superar un nivel umbral de concentración de neurotransmisores. Este cruce del umbral también va acompañado de un cambio en la tasa de fuga de neurotransmisores.
5. El cambio de movimiento físico total o nulo se debe a las células musculares y es resultado de superar un cierto umbral de concentración de neurotransmisores en el entorno muscular.

Cabe señalar que, si bien las señales electrofisiológicas de la figura 6 suelen ser similares a la señal funcional (potencia de la señal/concentración de neurotransmisores/fuerza muscular), existen algunas etapas en las que la observación eléctrica difiere del propósito funcional del paso correspondiente. En particular, Nossenson et al. sugirieron que el cruce del umbral de la glía tiene una operación funcional completamente diferente en comparación con la señal electrofisiológica irradiada y que esta última podría ser solo un efecto secundario de la rotura de la glía.

• Los modelos anteriores son todavía idealizaciones. Deben hacerse correcciones por el aumento de la superficie de la membrana debido a numerosas espinas dendríticas, temperaturas significativamente más altas que los datos experimentales a temperatura ambiente y la falta de uniformidad en la estructura interna de la célula. ^[17] Ciertos efectos observados no encajan en algunos de estos modelos. Por ejemplo, el ciclo de temperatura (con un aumento neto mínimo de la temperatura) de la membrana celular durante la propagación del potencial de acción no es compatible con los modelos que se basan en modelar la membrana como una resistencia que debe disipar energía cuando la corriente fluye a través de ella. El engrosamiento transitorio de la membrana celular durante la propagación del potencial de acción tampoco es predicho por estos modelos, ni tampoco se incorporan a estos modelos la capacitancia cambiante y el pico de voltaje que resulta de este engrosamiento. La acción de algunos anestésicos como los gases inertes también es problemática para estos modelos. Nuevos modelos, como el modelo solitón, intentan explicar estos fenómenos, pero están menos desarrollados que los modelos más antiguos y aún no se han aplicado ampliamente.
• Las opiniones modernas sobre el papel del modelo científico sugieren que "todos los modelos son erróneos, pero algunos son útiles" (Box y Draper, 1987, Gribbin, 2009; Paninski et al., 2009).
• Una conjetura reciente sugiere que cada neurona podría funcionar como una colección de unidades de umbral independientes. Se sugiere que una neurona podría activarse anisotrópicamente siguiendo el origen de sus señales que llegan a la membrana, a través de sus árboles dendríticos. También se propuso que la forma de onda de la punta dependía del origen del estímulo. ^[108]

• Dinámica neuronal: de neuronas individuales a redes y modelos de cognición (W. Gerstner, W. Kistler, R. Naud, L. Paninski, Cambridge University Press, 2014) . ^[27] En particular, los capítulos 6 a 10, versión en línea html.
• Modelos de neuronas activas ^[1] (W. Gerstner y W. Kistler, Cambridge University Press, 2002)

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