Exponente de Lyapunov

En matemáticas , el exponente de Lyapunov o exponente característico de Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza la tasa de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas . Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio de fases con vector de separación inicial divergen (siempre que la divergencia pueda tratarse dentro de la aproximación linealizada) a una tasa dada por${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _ {0}}$

$${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|}$$

¿Dónde está el exponente de Lyapunov?${\estilo de visualización \lambda}$

La tasa de separación puede ser diferente para distintas orientaciones del vector de separación inicial. Por lo tanto, existe un espectro de exponentes de Lyapunov , igual en número a la dimensionalidad del espacio de fases. Es común referirse al mayor como el exponente máximo de Lyapunov (MLE), porque determina una noción de predictibilidad para un sistema dinámico. Un MLE positivo suele tomarse como una indicación de que el sistema es caótico (siempre que se cumplan otras condiciones, por ejemplo, la compacidad del espacio de fases). Nótese que un vector de separación inicial arbitrario normalmente contendrá algún componente en la dirección asociada con el MLE, y debido a la tasa de crecimiento exponencial, el efecto de los otros exponentes se eliminará con el tiempo.

El exponente lleva el nombre de Aleksandr Lyapunov .

El exponente máximo de Lyapunov se puede definir de la siguiente manera:$${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{|\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}}$$

El límite asegura la validez de la aproximación lineal en cualquier momento. ^[1]${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} _ {0}|\to 0}$

Para un sistema de tiempo discreto (mapas o iteraciones de punto fijo) , para una órbita que comienza con esto se traduce en:${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$$estilo de visualización x_{0}}$$${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|}$$

Para un sistema dinámico con ecuación de evolución en un espacio de fases n -dimensional, el espectro de exponentes de Lyapunov en general, depende del punto de partida . Sin embargo, normalmente nos interesará el atractor (o atractores) de un sistema dinámico, y normalmente habrá un conjunto de exponentes asociados a cada atractor. La elección del punto de partida puede determinar en qué atractor termina el sistema, si hay más de uno. (Para los sistemas hamiltonianos, que no tienen atractores, esto no es una preocupación). Los exponentes de Lyapunov describen el comportamiento de los vectores en el espacio tangente del espacio de fases y se definen a partir de la matriz jacobiana. Esta jacobiana define la evolución de los vectores tangentes, dada por la matriz , a través de la ecuación con la condición inicial . La matriz describe cómo un pequeño cambio en el punto se propaga al punto final . El límite define una matriz (las condiciones para la existencia del límite están dadas por el teorema de Oseledets ). Los exponentes de Lyapunov se definen por los valores propios de .${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f_{i}(x)}$$${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\}\,,}$$$estilo de visualización x_{0}}$$${\displaystyle J_{ij}(t)=\left.{\frac {df_{i}(x)}{dx_{j}}}\right|_{x(t)}}$$${\estilo de visualización Y}$$${\displaystyle {\punto {Y}}=JY}$$${\displaystyle Y_{ij}(0)=\delta _{ij}}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización x(0)}$${\estilo de visualización x(t)}$$${\displaystyle \Lambda =\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{2t}}\log(Y(t)Y^{T}(t))}$$${\estilo de visualización \Lambda}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\estilo de visualización \Lambda}$

El conjunto de exponentes de Lyapunov será el mismo para casi todos los puntos de partida de un componente ergódico del sistema dinámico.

Para introducir el exponente de Lyapunov, considere una matriz fundamental (por ejemplo, para la linealización a lo largo de una solución estacionaria en un sistema continuo), la matriz fundamental consiste en las soluciones linealmente independientes de la aproximación de primer orden del sistema. Los valores singulares de la matriz son las raíces cuadradas de los valores propios de la matriz . El exponente de Lyapunov más grande es el siguiente ^[2] Lyapunov demostró que si el sistema de la primera aproximación es regular (por ejemplo, todos los sistemas con coeficientes constantes y periódicos son regulares) y su exponente de Lyapunov más grande es negativo, entonces la solución del sistema original es asintóticamente estable de Lyapunov . Más tarde, O. Perron afirmó que el requisito de regularidad de la primera aproximación es sustancial.${\estilo de visualización X(t)}$$estilo de visualización x_{0}}$${\displaystyle \exp \left(\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}t\right)}$${\displaystyle \{\alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}\}_{1}^{n}}$${\estilo de visualización X(t)}$${\displaystyle X(t)^{*}X(t)}$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }}$$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }=\max \limits _{j}\limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{t}}\ln \alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}.}$$

En 1930, O. Perron construyó un ejemplo de un sistema de segundo orden, donde la primera aproximación tiene exponentes de Lyapunov negativos a lo largo de una solución cero del sistema original pero, al mismo tiempo, esta solución cero del sistema no lineal original es inestable a Lyapunov. Además, en un cierto entorno de esta solución cero casi todas las soluciones del sistema original tienen exponentes de Lyapunov positivos. También es posible construir un ejemplo inverso en el que la primera aproximación tiene exponentes de Lyapunov positivos a lo largo de una solución cero del sistema original pero, al mismo tiempo, esta solución cero del sistema no lineal original es estable a Lyapunov. ^{[3] [4]} El efecto de la inversión de signos de los exponentes de Lyapunov de las soluciones del sistema original y del sistema de primera aproximación con los mismos datos iniciales se denominó posteriormente efecto Perron. ^{[3] [4]}

El contraejemplo de Perron muestra que un exponente de Lyapunov máximo negativo no indica, en general, estabilidad, y que un exponente de Lyapunov máximo positivo no indica, en general, caos.

Por lo tanto, la linealización variable en el tiempo requiere una justificación adicional. ^[4]

Si el sistema es conservativo (es decir, no hay disipación ), un elemento de volumen del espacio de fases permanecerá constante a lo largo de una trayectoria. Por lo tanto, la suma de todos los exponentes de Lyapunov debe ser cero. Si el sistema es disipativo, la suma de los exponentes de Lyapunov es negativa.

Si el sistema es un flujo y la trayectoria no converge a un único punto, un exponente siempre es cero: el exponente de Lyapunov correspondiente al valor propio de con un vector propio en la dirección del flujo.${\displaystyle L}$

El espectro de Lyapunov se puede utilizar para dar una estimación de la tasa de producción de entropía, de la dimensión fractal y de la dimensión de Hausdorff del sistema dinámico considerado . ^[5] En particular, a partir del conocimiento del espectro de Lyapunov es posible obtener la llamada dimensión de Lyapunov (o dimensión de Kaplan-Yorke ) , que se define de la siguiente manera: donde es el entero máximo tal que la suma de los exponentes más grandes sigue siendo no negativa. representa un límite superior para la dimensión de información del sistema. ^[6] Además, la suma de todos los exponentes positivos de Lyapunov da una estimación de la entropía de Kolmogorov-Sinai de acuerdo con el teorema de Pesin. ^[7] Junto con los métodos numéricos ampliamente utilizados para estimar y calcular la dimensión de Lyapunov , existe un enfoque analítico eficaz, que se basa en el método directo de Lyapunov con funciones especiales similares a Lyapunov. ^[8] Los exponentes de Lyapunov de la trayectoria acotada y la dimensión de Lyapunov del atractor son invariantes bajo el difeomorfismo del espacio de fases. ^[9]${\displaystyle D_{KY}}$$${\displaystyle D_{KY}=k+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i}}{|\lambda _{k+1}|}}}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle D_{KY}}$

El inverso multiplicativo del mayor exponente de Lyapunov se denomina a veces en la literatura tiempo de Lyapunov y define el tiempo característico de plegamiento de e . Para órbitas caóticas, el tiempo de Lyapunov será finito, mientras que para órbitas regulares será infinito.

Generalmente el cálculo de los exponentes de Lyapunov, tal como se definió anteriormente, no puede llevarse a cabo analíticamente, y en la mayoría de los casos se debe recurrir a técnicas numéricas. Un ejemplo temprano, que también constituyó la primera demostración de la divergencia exponencial de trayectorias caóticas, fue realizado por RH Miller en 1964. ^[10] Actualmente, el procedimiento numérico más comúnmente utilizado estima la matriz basándose en el promedio de varias aproximaciones de tiempo finito del límite que define .${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

Una de las técnicas numéricas más utilizadas y efectivas para calcular el espectro de Lyapunov para un sistema dinámico suave se basa en la ortonormalización periódica de Gram-Schmidt de los vectores de Lyapunov para evitar una desalineación de todos los vectores a lo largo de la dirección de expansión máxima. ^{[11] [12] [13] [14]} Se describe el espectro de Lyapunov de varios modelos. ^[15] Se introducen los códigos fuente para sistemas no lineales como el mapa de Hénon, las ecuaciones de Lorenz, una ecuación diferencial de retardo, etc. ^{[16] [17] [18]}

Para el cálculo de los exponentes de Lyapunov a partir de datos experimentales limitados, se han propuesto varios métodos. Sin embargo, existen muchas dificultades para aplicar estos métodos y estos problemas deben abordarse con cuidado. La principal dificultad es que los datos no exploran completamente el espacio de fases, sino que están confinados al atractor, que tiene una extensión muy limitada (si es que tiene alguna) a lo largo de ciertas direcciones. Estas direcciones más delgadas o más singulares dentro del conjunto de datos son las asociadas con los exponentes más negativos. Se ha demostrado que el uso de mapeos no lineales para modelar la evolución de pequeños desplazamientos del atractor mejora drásticamente la capacidad de recuperar el espectro de Lyapunov, ^{[19] [20]} siempre que los datos tengan un nivel muy bajo de ruido. También se ha explorado la naturaleza singular de los datos y su conexión con los exponentes más negativos. ^[21]

Mientras que el exponente de Lyapunov (global) da una medida de la predictibilidad total de un sistema, a veces es interesante estimar la predictibilidad local alrededor de un punto x ₀ en el espacio de fases. Esto puede hacerse a través de los valores propios de la matriz jacobiana J ⁰ ( x ₀ ) . Estos valores propios también se denominan exponentes de Lyapunov locales. ^[22] Los exponentes locales no son invariantes bajo un cambio no lineal de coordenadas.

Este término se utiliza normalmente en relación con la sincronización del caos , en la que hay dos sistemas que están acoplados, normalmente de manera unidireccional, de modo que hay un sistema de accionamiento (o maestro) y un sistema de respuesta (o esclavo). Los exponentes condicionales son los del sistema de respuesta, tratándose el sistema de accionamiento simplemente como la fuente de una señal de accionamiento (caótica). La sincronización se produce cuando todos los exponentes condicionales son negativos. ^[23]

• Teoría del caos
• Mezcla caótica para una derivación alternativa
• La conjetura de Edén sobre la dimensión de Lyapunov
• Teoría de Floquet
• Teorema de Liouville (hamiltoniano)
• Dimensión de Lyapunov
• Hora de Lyapunov
• Análisis de cuantificación de recurrencia
• Teorema de Oseledets
• Efecto mariposa

• Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Estimaciones de la dimensión del atractor para sistemas dinámicos: teoría y computación. Cham: Springer.
• M.-F. Danca y NV Kuznetsov (2018). "Código Matlab para exponentes de Lyapunov de sistemas de orden fraccionario". Revista internacional de bifurcación y caos . 25 (5): 1850067–1851392. arXiv : 1804.01143 . Código Bibliográfico :2018IJBC...2850067D. doi :10.1142/S0218127418500670.
• Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. y Vattay G. Caos: clásico y cuántico. Instituto Niels Bohr, Copenhague 2005. Libro de texto sobre el caos disponible bajo la Licencia de Documentación Libre .
• Freddy Christiansen y Hans Henrik Rugh (1997). "Cálculo de espectros de Lyapunov con ortonormalización continua de Gram–Schmidt". No linealidad . 10 (5): 1063–1072. arXiv : chao-dyn/9611014 . Código Bibliográfico :1997Nonli..10.1063C. doi :10.1088/0951-7715/10/5/004. S2CID  122976405. Archivado desde el original el 25 de abril de 2006.
• Salman Habib y Robert D. Ryne (1995). "Cálculo simpléctico de exponentes de Lyapunov". Physical Review Letters . 74 (1): 70–73. arXiv : chao-dyn/9406010 . Código Bibliográfico :1995PhRvL..74...70H. doi :10.1103/PhysRevLett.74.70. PMID  10057701. S2CID  19203665.
• Govindan Rangarajan; Salman Habib y Robert D. Ryne (1998). "Exponentes de Lyapunov sin reescalado ni reortogonalización". Physical Review Letters . 80 (17): 3747–3750. arXiv : chao-dyn/9803017 . Código Bibliográfico :1998PhRvL..80.3747R. doi :10.1103/PhysRevLett.80.3747. S2CID  14483592.
• X. Zeng; R. Eykholt y RA Pielke (1991). "Estimación del espectro del exponente de Lyapunov a partir de series temporales cortas de baja precisión". Physical Review Letters . 66 (25): 3229–3232. Bibcode :1991PhRvL..66.3229Z. doi :10.1103/PhysRevLett.66.3229. PMID  10043734.
• E Aurell; G Boffetta; A Crisanti; G Paladín; Un Vulpiani (1997). "Previsibilidad a gran escala: una extensión del concepto de exponente de Lyapunov". J. Física. R: Matemáticas. Gen.​ 30 (1): 1–26. arXiv : chao-dyn/9606014 . Código Bib : 1997JPhA...30....1A. doi :10.1088/0305-4470/30/1/003. S2CID  54697488.
• F Ginelli; P Poggi; A Turchi; H Chaté; R Livi; A Politi (2007). "Caracterización de la dinámica con vectores de Lyapunov covariantes" (PDF) . Physical Review Letters . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Bibcode :2007PhRvL..99m0601G. doi :10.1103/PhysRevLett.99.130601. hdl :2158/253565. PMID  17930570. S2CID  21992110. Archivado desde el original (PDF) el 2008-10-31.

• [1] R. Hegger, H. Kantz y T. Schreiber, Análisis de series de tiempo no lineales, TISEAN 3.0.1 (marzo de 2007).
• [2] El producto ChaosKit de Scientio calcula los exponentes de Lyapunov, entre otras medidas caóticas. Se puede acceder a él en línea a través de un servicio web y una demostración de Silverlight.
• [3] Archivado el 28 de junio de 2022 en Wayback Machine. El laboratorio de software de recreaciones matemáticas del Dr. Ronald Joe Record incluye un cliente gráfico X11, lyap, para explorar gráficamente los exponentes de Lyapunov de un mapa logístico forzado y otros mapas del intervalo unitario. También están disponibles los contenidos y las páginas del manual del laboratorio de software mathrec.
• [4] El software de esta página fue desarrollado específicamente para el cálculo eficiente y preciso de todo el espectro de exponentes. Esto incluye LyapOde para casos en los que se conocen las ecuaciones de movimiento y también Lyap para casos que involucran datos de series de tiempo experimentales. LyapOde, que incluye código fuente escrito en "C", también puede calcular los exponentes condicionales de Lyapunov para sistemas idénticos acoplados. Su objetivo es permitir que el usuario proporcione su propio conjunto de ecuaciones modelo o utilice una de las incluidas. No hay limitaciones inherentes en el número de variables, parámetros, etc. Lyap, que incluye código fuente escrito en Fortran, también puede calcular los vectores de dirección de Lyapunov y puede caracterizar la singularidad del atractor, que es la razón principal de las dificultades para calcular los exponentes más negativos a partir de datos de series de tiempo. En ambos casos hay una amplia documentación y archivos de entrada de muestra. El software se puede compilar para ejecutarse en sistemas Windows, Mac o Linux/Unix. El software se ejecuta en una ventana de texto y no tiene capacidades gráficas, pero puede generar archivos de salida que se pueden representar gráficamente fácilmente con un programa como Excel.

• Efectos Perron de las inversiones de signos de los exponentes de Lyapunov