Vector de Lyapunov

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En matemáticas aplicadas y teoría de sistemas dinámicos , los vectores de Lyapunov , llamados así por Aleksandr Lyapunov , describen direcciones características de expansión y contracción de un sistema dinámico. Se han utilizado en análisis de predictibilidad y como perturbaciones iniciales para la predicción de conjuntos en la predicción numérica del tiempo . ^[1] En la práctica moderna, a menudo se los reemplaza por vectores de referencia para este propósito. ^[2]

Los vectores de Lyapunov se definen a lo largo de las trayectorias de un sistema dinámico. Si el sistema se puede describir mediante un vector de estado de dimensión d , los vectores de Lyapunov apuntan en las direcciones en las que una perturbación infinitesimal crecerá de manera asintótica y exponencial a una tasa promedio dada por los exponentes de Lyapunov . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle v^{(k)}(x)}$${\displaystyle (k=1\dots d)}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

• Cuando se expande en términos de vectores de Lyapunov, una perturbación se alinea asintóticamente con el vector de Lyapunov en esa expansión correspondiente al exponente de Lyapunov más grande, ya que esta dirección supera a todas las demás. Por lo tanto, casi todas las perturbaciones se alinean asintóticamente con el vector de Lyapunov correspondiente al exponente de Lyapunov más grande del sistema. ^[3]
• En algunos casos los vectores de Lyapunov pueden no existir. ^[4]
• Los vectores de Lyapunov no son necesariamente ortogonales.
• Los vectores de Lyapunov no son idénticos a las direcciones locales principales de expansión y contracción, es decir, los vectores propios del jacobiano . Mientras que estos últimos requieren solo conocimiento local del sistema, los vectores de Lyapunov están influenciados por todos los jacobianos a lo largo de una trayectoria.
• Los vectores de Lyapunov para una órbita periódica son los vectores de Floquet de esta órbita.

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Si el sistema dinámico es diferenciable y existen los vectores de Lyapunov, se pueden encontrar mediante iteraciones hacia adelante y hacia atrás del sistema linealizado a lo largo de una trayectoria. ^{[5] [6]} Mapeemos el sistema con el vector de estado en el tiempo al estado en el tiempo . La linealización de este mapa, es decir, la matriz jacobiana, describe el cambio de una perturbación infinitesimal . Es decir${\displaystyle x_{n+1}=M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle x_{n+1}}$${\displaystyle t_{n+1}}$${\displaystyle ~J_{n}}$${\displaystyle h_{n}}$

${\displaystyle M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n}+h_{n})\approx M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})+J_{n}h_{n}=x_{n+1}+h_{n+1}}$

A partir de una matriz identidad, las iteraciones${\displaystyle Q_{0}=\mathbb {I} ~}$

${\displaystyle Q_{n+1}R_{n+1}=J_{n}Q_{n}}$

donde se da por la descomposición QR de Gram-Schmidt de , convergerá asintóticamente a matrices que dependen solo de los puntos de una trayectoria pero no de la elección inicial de . Las filas de las matrices ortogonales definen un marco de referencia ortogonal local en cada punto y las primeras filas abarcan el mismo espacio que los vectores de Lyapunov correspondientes a los exponentes de Lyapunov más grandes. Las matrices triangulares superiores describen el cambio de una perturbación infinitesimal de un marco ortogonal local al siguiente. Las entradas diagonales de son factores de crecimiento locales en las direcciones de los vectores de Lyapunov. Los exponentes de Lyapunov están dados por las tasas de crecimiento promedio.${\displaystyle Q_{n+1}R_{n+1}}$${\displaystyle J_{n}Q_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle Q_{0}}$${\displaystyle Q_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle r_{kk}^{(n)}}$${\displaystyle R_{n}}$

${\displaystyle \lambda _{k}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{t_{n+m}-t_{n}}}\sum _{l=1}^{m}\log r_{kk}^{(n+l)}}$

y en virtud del estiramiento, la rotación y la ortogonalización de Gram-Schmidt, los exponentes de Lyapunov se ordenan como . Cuando se itera hacia adelante en el tiempo, un vector aleatorio contenido en el espacio abarcado por las primeras columnas de casi seguramente crecerá asintóticamente con el exponente de Lyapunov más grande y se alineará con el vector de Lyapunov correspondiente. En particular, la primera columna de apuntará en la dirección del vector de Lyapunov con el exponente de Lyapunov más grande si es lo suficientemente grande. Cuando se itera hacia atrás en el tiempo, un vector aleatorio contenido en el espacio abarcado por las primeras columnas de casi seguramente se alineará asintóticamente con el vector de Lyapunov correspondiente al exponente de Lyapunov n-ésimo más grande, si y son suficientemente grandes. Definiendo encontramos . Eligiendo las primeras entradas de aleatoriamente y las otras entradas cero, e iterando este vector hacia atrás en el tiempo, el vector se alinea casi seguramente con el vector de Lyapunov correspondiente al exponente de Lyapunov n-ésimo más grande si y son suficientemente grandes. Dado que las iteraciones aumentarán o reducirán exponencialmente un vector, este se puede volver a normalizar en cualquier punto de iteración sin cambiar la dirección.${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{d}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Q_{n}}$${\displaystyle Q_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Q_{n+m}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle c_{n}=Q_{n}^{T}h_{n}}$${\displaystyle c_{n-1}=R_{n}^{-1}c_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c_{n+m}}$${\displaystyle Q_{n}c_{n}}$${\displaystyle v^{(k)}(x_{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$