Elemento inverso

En matemáticas , el concepto de elemento inverso generaliza los conceptos de opuesto ( − x ) y recíproco ( 1/ x ) de números.

Dada una operación denotada aquí ∗ , y un elemento identidad denotado e , si x ∗ y = e , se dice que x es una inversa izquierda de y , y que y es una inversa derecha de x . (Un elemento identidad es un elemento tal que x * e = x y e * y = y para todos los x e y para los cuales los lados izquierdos están definidos. ^[1] )

Cuando la operación ∗ es asociativa , si un elemento x tiene tanto una inversa izquierda como una inversa derecha, entonces estas dos inversas son iguales y únicas; se les llama elemento inverso o simplemente inverso . A menudo se agrega un adjetivo para especificar la operación, como en inversa aditiva , inversa multiplicativa e inversa funcional . En este caso (operación asociativa), un elemento invertible es un elemento que tiene una inversa. En un anillo , un elemento invertible , también llamado unidad , es un elemento que es invertible bajo la multiplicación (esto no es ambiguo, ya que cada elemento es invertible bajo la adición).

Las inversas se utilizan comúnmente en grupos (donde cada elemento es invertible) y anillos (donde los elementos invertibles también se denominan unidades) . También se utilizan comúnmente para operaciones que no están definidas para todos los operandos posibles, como matrices inversas y funciones inversas . Esto se ha generalizado a la teoría de categorías , donde, por definición, un isomorfismo es un morfismo invertible .

La palabra "inverso" se deriva del latín inversus que significa "dado vuelta", "invertido". Esto puede tener su origen en el caso de las fracciones , donde el inverso (multiplicativo) se obtiene intercambiando el numerador y el denominador (el inverso de es ).${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$

Los conceptos de elemento inverso y elemento invertible se definen comúnmente para operaciones binarias que están definidas en todas partes (es decir, la operación está definida para cualesquiera dos elementos de su dominio ). Sin embargo, estos conceptos también se usan comúnmente con operaciones parciales , es decir, operaciones que no están definidas en todas partes. Ejemplos comunes son la multiplicación de matrices , la composición de funciones y la composición de morfismos en una categoría . De ello se deduce que las definiciones comunes de asociatividad y elemento identidad deben extenderse a las operaciones parciales; este es el objeto de las primeras subsecciones.

En esta sección, X es un conjunto (posiblemente una clase propia ) sobre el que se define una operación parcial (posiblemente total), que se denota con${\estilo de visualización *.}$

Una operación parcial es asociativa si

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z}$

para cada x , y , z en X para el cual uno de los miembros de la igualdad está definido; la igualdad significa que el otro miembro de la igualdad también debe estar definido.

Ejemplos de operaciones asociativas no totales son la multiplicación de matrices de tamaño arbitrario y la composición de funciones .

Sea una operación asociativa posiblemente parcial sobre un conjunto X .${\estilo de visualización *}$

Un elemento de identidad , o simplemente una identidad, es un elemento e tal que

${\displaystyle x*e=x\quad {\text{y}}\quad e*y=y}$

para cada x e y para los cuales están definidos los lados izquierdos de las igualdades.

Si e y f son dos elementos identidad tales que está definido, entonces (Esto resulta inmediatamente de la definición, por )${\estilo de visualización e*f}$${\displaystyle e=f.}$${\displaystyle e=e*f=f.}$

De ello se deduce que una operación total tiene como máximo un elemento identidad, y si e y f son identidades diferentes, entonces no está definida. ${\estilo de visualización e*f}$

Por ejemplo, en el caso de la multiplicación de matrices , hay una matriz identidad n × n para cada entero positivo n , y dos matrices identidad de diferente tamaño no se pueden multiplicar entre sí.

De manera similar, las funciones identidad son elementos identidad para la composición de funciones , y la composición de las funciones identidad de dos conjuntos diferentes no está definida.

Si donde e es un elemento identidad, se dice que x es una inversa izquierda de y , e y es una inversa derecha de x .${\displaystyle x*y=e,}$

No siempre existen inversas izquierdas y derechas, incluso cuando la operación es total y asociativa. Por ejemplo, la suma es una operación asociativa total sobre números enteros no negativos , que tiene 0 como identidad aditiva , y 0 es el único elemento que tiene una inversa aditiva . Esta falta de inversas es la principal motivación para extender los números naturales a los enteros.

Un elemento puede tener varias inversas izquierdas y varias inversas derechas, incluso cuando la operación es total y asociativa. Por ejemplo, considere las funciones de los números enteros a los números enteros. La función de duplicación tiene infinitas inversas izquierdas bajo la composición de funciones , que son las funciones que dividen por dos los números pares y dan cualquier valor a los números impares. De manera similar, cada función que asigna n a o es una inversa derecha de la función la función base que asigna n a o dependiendo de si n es par o impar.${\displaystyle x\mapsto 2x}$${\estilo de visualización 2n}$${\estilo de visualización 2n+1}$${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$${\textstyle {\frac {n}{2}}}$${\estilo de texto {\frac {n-1}{2}},}$

De manera más general, una función tiene una inversa izquierda para la composición de funciones si y solo si es inyectiva , y tiene una inversa derecha si y solo si es sobreyectiva .

En la teoría de categorías , las inversas derechas también se denominan secciones , y las inversas izquierdas se denominan retracciones .

Un elemento es invertible bajo una operación si tiene una inversa izquierda y una inversa derecha.

En el caso común en que la operación es asociativa, la inversa izquierda y derecha de un elemento son iguales y únicas. De hecho, si l y r son respectivamente una inversa izquierda y una inversa derecha de x , entonces

${\displaystyle l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.}$

El inverso de un elemento invertible es su único inverso izquierdo o derecho.

Si la operación se denota como una adición, se denota la inversa, o inversa aditiva , de un elemento x De lo contrario, generalmente se denota la inversa de x o, en el caso de una multiplicación conmutativa Cuando puede haber una confusión entre varias operaciones, el símbolo de la operación se puede agregar antes del exponente, como en La notación no se usa comúnmente para la composición de funciones , ya que se puede usar para la inversa multiplicativa .${\estilo de visualización -x.}$${\displaystyle x^{-1},}$${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$${\displaystyle x^{*-1}.}$${\displaystyle f^{\circ -1}}$${\textstyle {\frac {1}{f}}}$

Si x e y son invertibles, y está definido, entonces es invertible, y su inversa es${\displaystyle x*y}$${\displaystyle x*y}$${\displaystyle y^{-1}x^{-1}.}$

Un homomorfismo invertible se denomina isomorfismo . En teoría de categorías , un morfismo invertible también se denomina isomorfismo .

Un grupo es un conjunto con una operación asociativa que tiene un elemento identidad y para el cual cada elemento tiene un inverso.

Así, la inversa es una función del grupo sobre sí mismo que puede considerarse también como una operación de aridad uno. También es una involución , ya que la inversa de la inversa de un elemento es el propio elemento.

Un grupo puede actuar sobre un conjunto como transformaciones de este conjunto. En este caso, la inversa de un elemento del grupo define una transformación que es la inversa de la transformación definida por es decir, la transformación que "deshace" la transformación definida por${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g,}$${\displaystyle g.}$

Por ejemplo, el grupo del cubo de Rubik representa las sucesiones finitas de movimientos elementales. La inversa de dicha sucesión se obtiene aplicando la inversa de cada movimiento en el orden inverso.

Un monoide es un conjunto con una operación asociativa que tiene un elemento identidad .

Los elementos invertibles en un monoide forman un grupo bajo la operación monoide.

Un anillo es un monoide para la multiplicación de anillos. En este caso, los elementos invertibles también se denominan unidades y forman el grupo de unidades del anillo.

Si un monoide no es conmutativo , pueden existir elementos no invertibles que tengan una inversa izquierda o una inversa derecha (no ambas, ya que, de lo contrario, el elemento sería invertible).

Por ejemplo, el conjunto de las funciones de un conjunto a sí mismo es un monoide bajo composición de funciones . En este monoide, los elementos invertibles son las funciones biyectivas ; los elementos que tienen inversas por la izquierda son las funciones inyectivas , y los que tienen inversas por la derecha son las funciones sobreyectivas .

Dado un monoide, se puede querer extenderlo añadiendo inversos a algunos elementos. Esto es generalmente imposible para monoides no conmutativos, pero, en un monoide conmutativo, es posible añadir inversos a los elementos que tienen la propiedad de cancelación (un elemento x tiene la propiedad de cancelación si implica e implica ). Esta extensión de un monoide está permitida por la construcción del grupo de Grothendieck . Este es el método que se utiliza comúnmente para construir números enteros a partir de números naturales , números racionales a partir de números enteros y, más generalmente, el cuerpo de fracciones de un dominio integral , y localizaciones de anillos conmutativos .${\displaystyle xy=xz}$${\displaystyle y=z,}$${\displaystyle yx=zx}$${\displaystyle y=z}$

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones, suma y multiplicación , que se denotan como las operaciones habituales sobre números.

En el caso de la adición, un anillo es un grupo abeliano , lo que significa que la adición es conmutativa y asociativa ; tiene una identidad, llamada identidad aditiva , y se denota 0 ; y cada elemento x tiene una inversa, llamada su inversa aditiva y se denota − x . Debido a la conmutatividad, los conceptos de inversas izquierdas y derechas carecen de sentido ya que no difieren de las inversas.

En la multiplicación, un anillo es un monoide ; esto significa que la multiplicación es asociativa y tiene una identidad llamada identidad multiplicativa y se denota 1. Un elemento invertible para la multiplicación se llama unidad . El inverso o inverso multiplicativo (para evitar confusiones con inversos aditivos) de una unidad se denota x o, cuando la multiplicación es conmutativa,${\displaystyle x^{-1},}$${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$

La identidad aditiva 0 nunca es una unidad, excepto cuando el anillo es el anillo cero , que tiene 0 como su único elemento.

Si 0 es el único número no-unidad, el anillo es un campo si la multiplicación es conmutativa, o un anillo de división en caso contrario.

En un anillo no conmutativo (es decir, un anillo cuya multiplicación no es conmutativa), un elemento no invertible puede tener uno o varios inversos izquierdos o derechos. Este es, por ejemplo, el caso de las funciones lineales de un espacio vectorial de dimensión infinita a sí mismo.

Un anillo conmutativo (es decir, un anillo cuya multiplicación es conmutativa) puede extenderse añadiendo inversos a elementos que no son divisores de cero (es decir, su producto con un elemento distinto de cero no puede ser 0 ). Este es el proceso de localización , que produce, en particular, el cuerpo de los números racionales a partir del anillo de los números enteros y, más generalmente, el cuerpo de las fracciones de un dominio integral . La localización también se utiliza con divisores de cero, pero, en este caso, el anillo original no es un subanillo de la localización; en cambio, se mapea de manera no inyectiva a la localización.

La multiplicación de matrices se define comúnmente para matrices sobre un cuerpo y se extiende directamente a matrices sobre anillos , anillos de números aleatorios y semianillos . Sin embargo, en esta sección, solo se consideran matrices sobre un anillo conmutativo , debido al uso del concepto de rango y determinante .

Si A es una matriz m × n (es decir, una matriz con m filas y n columnas), y B es una matriz p × q , el producto AB está definido si n = p , y solo en este caso. Una matriz identidad , es decir, un elemento identidad para la multiplicación de matrices es una matriz cuadrada (mismo número de filas y columnas) cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1 , y todos los demás elementos son 0 .

Una matriz invertible es un elemento invertible bajo la multiplicación de matrices. Una matriz sobre un anillo conmutativo R es invertible si y solo si su determinante es una unidad en R (es decir, es invertible en R . En este caso, su matriz inversa se puede calcular con la regla de Cramer .

Si R es un cuerpo, el determinante es invertible si y solo si no es cero. Como el caso de los cuerpos es más común, se ven a menudo matrices invertibles definidas como matrices con un determinante distinto de cero, pero esto es incorrecto en el caso de anillos.

En el caso de matrices enteras (es decir, matrices con entradas enteras), una matriz invertible es una matriz que tiene una inversa que también es una matriz entera. A este tipo de matriz se la denomina matriz unimodular para distinguirla de las matrices que son invertibles sobre los números reales . Una matriz entera cuadrada es unimodular si y solo si su determinante es 1 o −1 , ya que estos dos números son las únicas unidades en el anillo de los números enteros.

Una matriz tiene una inversa izquierda si y solo si su rango es igual a su número de columnas. Esta inversa izquierda no es única, excepto en el caso de matrices cuadradas, en las que la inversa izquierda es igual a la matriz inversa. De manera similar, existe una inversa derecha si y solo si el rango es igual al número de filas; no es única en el caso de una matriz rectangular, y es igual a la matriz inversa en el caso de una matriz cuadrada.

La composición es una operación parcial que generaliza homomorfismos de estructuras algebraicas y morfismos de categorías en operaciones que también se denominan composición y comparten muchas propiedades con la composición de funciones.

En todos los casos la composición es asociativa .

Si y la composición está definida si y solo si o, en los casos de función y homomorfismo, En los casos de función y homomorfismo, esto significa que el codominio de es igual a o está incluido en el dominio de g . En el caso de morfismo, esto significa que el codominio de es igual al dominio de g .${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y'\to Z,}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle Y'=Y}$${\displaystyle Y\subset Y'.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Existe una identidad para cada objeto X ( conjunto , estructura algebraica u objeto ), que también se denomina función identidad en el caso de función.${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X}$

Una función es invertible si y solo si es una biyección . Un homomorfismo o morfismo invertible se llama isomorfismo. Un homomorfismo de estructuras algebraicas es un isomorfismo si y solo si es una biyección. La inversa de una biyección se llama función inversa . En los demás casos, se habla de isomorfismos inversos .

Una función tiene una inversa por la izquierda o una inversa por la derecha si y solo es inyectiva o sobreyectiva , respectivamente. Un homomorfismo de estructuras algebraicas que tiene una inversa por la izquierda o una inversa por la derecha es respectivamente inyectiva o sobreyectiva, pero la recíproca no es cierta en algunas estructuras algebraicas. Por ejemplo, la recíproca es cierta para espacios vectoriales pero no para módulos sobre un anillo: un homomorfismo de módulos que tiene una inversa por la izquierda de una inversa por la derecha se denomina respectivamente epimorfismo partido o monomorfismo partido . Esta terminología también se utiliza para morfismos de cualquier categoría.

Sea un magma unital , es decir, un conjunto con una operación binaria y un elemento identidad . Si, para , tenemos , entonces se llama inverso por la izquierda de y se llama inverso por la derecha de . Si un elemento es tanto inverso por la izquierda como inverso por la derecha de , entonces se llama inverso de dos lados , o simplemente inverso , de . Un elemento con un inverso de dos lados en se llama invertible en . Un elemento con un elemento inverso solo en un lado es invertible por la izquierda o invertible por la derecha .${\displaystyle S}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle e\in S}$${\displaystyle a,b\in S}$${\displaystyle a*b=e}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Los elementos de un magma unitario pueden tener múltiples inversos izquierdos, derechos o bilaterales. Por ejemplo, en el magma dado por la tabla de Cayley${\displaystyle (S,*)}$

Los elementos 2 y 3 tienen cada uno dos inversos de dos lados.

Un magma unitario en el que todos los elementos son invertibles no tiene por qué ser necesariamente un bucle . Por ejemplo, en el magma dado por la tabla de Cayley${\displaystyle (S,*)}$

cada elemento tiene un inverso bilateral único (es decir, él mismo), pero no es un bucle porque la tabla de Cayley no es un cuadrado latino .${\displaystyle (S,*)}$

De manera similar, un bucle no necesita tener inversas de dos lados. Por ejemplo, en el bucle dado por la tabla de Cayley

El único elemento con una inversa de dos lados es el elemento identidad 1.

Si la operación es asociativa , entonces si un elemento tiene tanto una inversa izquierda como una inversa derecha, son iguales. En otras palabras, en un monoide (un magma unitario asociativo) cada elemento tiene como máximo una inversa (tal como se define en esta sección). En un monoide, el conjunto de elementos invertibles es un grupo , llamado grupo de unidades de , y denotado por o H ₁ .${\displaystyle *}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U(S)}$

La definición de la sección anterior generaliza la noción de inverso en un grupo en relación con la noción de identidad. También es posible, aunque menos obvio, generalizar la noción de inverso eliminando el elemento identidad pero manteniendo la asociatividad; es decir, en un semigrupo .

En un semigrupo S un elemento x se llama regular (von Neumann) si existe algún elemento z en S tal que xzx = x ; z a veces se llama pseudoinverso . Un elemento y se llama (simplemente) inverso de x si xyx = x e y = yxy . Cada elemento regular tiene al menos un inverso: si x = xzx entonces es fácil verificar que y = zxz es un inverso de x como se define en esta sección. Otro hecho fácil de probar: si y es un inverso de x entonces e = xy y f = yx son idempotentes , es decir ee = e y ff = f . Por lo tanto, cada par de elementos (mutuamente) inversos da lugar a dos idempotentes, y ex = xf = x , ye = fy = y , y e actúa como una identidad izquierda en x , mientras que f actúa como una identidad derecha, y los roles izquierda/derecha se invierten para y . Esta simple observación se puede generalizar utilizando las relaciones de Green : cada idempotente e en un semigrupo arbitrario es una identidad izquierda para R _e y una identidad derecha para L _e . ^[2] Una descripción intuitiva de este hecho es que cada par de elementos mutuamente inversos produce una identidad izquierda local y, respectivamente, una identidad derecha local.

En un monoide, la noción de inverso como se define en la sección anterior es estrictamente más restringida que la definición dada en esta sección. Solo los elementos en la clase Green H ₁ tienen un inverso desde la perspectiva del magma unital, mientras que para cualquier idempotente e , los elementos de H _e tienen un inverso como se define en esta sección. Bajo esta definición más general, los inversos no necesitan ser únicos (o existir) en un semigrupo o monoide arbitrario. Si todos los elementos son regulares, entonces el semigrupo (o monoide) se llama regular, y cada elemento tiene al menos un inverso. Si cada elemento tiene exactamente un inverso como se define en esta sección, entonces el semigrupo se llama semigrupo inverso . Finalmente, un semigrupo inverso con solo un idempotente es un grupo. Un semigrupo inverso puede tener un elemento absorbente 0 porque 000 = 0, mientras que un grupo puede no tenerlo.

Fuera de la teoría de semigrupos, una inversa única como la definida en esta sección a veces se denomina cuasi-inversa . Esto generalmente se justifica porque en la mayoría de las aplicaciones (por ejemplo, todos los ejemplos de este artículo) se cumple la asociatividad, lo que hace que esta noción sea una generalización de la inversa izquierda/derecha en relación con una identidad (ver Inversa generalizada ).

Una generalización natural del semigrupo inverso es definir una operación unaria (arbitraria) ° tal que ( a °)° = a para todo a en S ; esto dota a S de un álgebra de tipo ⟨2,1⟩. Un semigrupo dotado de tal operación se llama U -semigrupo . Aunque puede parecer que a ° será el inverso de a , este no es necesariamente el caso. Para obtener nociones interesantes, la operación unaria debe interactuar de alguna manera con la operación de semigrupo. Se han estudiado dos clases de U -semigrupos: ^[3]

• I -semigrupos , en los que el axioma de interacción es aa ° a = a
• *-semigrupos , en los que el axioma de interacción es ( ab )° = b ° a °. Una operación de este tipo se denomina involución y normalmente se denota por un *

Claramente, un grupo es tanto un I -semigrupo como un *-semigrupo. Una clase de semigrupos importantes en la teoría de semigrupos son los semigrupos completamente regulares ; estos son I -semigrupos en los que además se tiene aa ° = a ° a ; en otras palabras, cada elemento tiene una pseudoinversa conmutativa a °. Sin embargo, hay pocos ejemplos concretos de tales semigrupos; la mayoría son semigrupos completamente simples . En contraste, una subclase de *-semigrupos, los semigrupos *-regulares (en el sentido de Drazin), producen uno de los ejemplos más conocidos de una pseudoinversa (única), la inversa de Moore-Penrose . En este caso, sin embargo, la involución a * no es la pseudoinversa. Más bien, la pseudoinversa de x es el único elemento y tal que xyx = x , yxy = y , ( xy )* = xy , ( yx )* = yx . Dado que los semigrupos *-regulares generalizan semigrupos inversos, el único elemento definido de esta manera en un semigrupo *-regular se denomina inverso generalizado o inverso de Moore-Penrose .

Todos los ejemplos de esta sección involucran operadores asociativos.

Los adjuntos inferior y superior en una conexión de Galois (monótona) , L y G, son cuasi-inversos entre sí; es decir, LGL = L y GLG = G y uno determina de manera única al otro. Sin embargo, no son inversos izquierdo o derecho entre sí.

Una matriz cuadrada con entradas en un campo es invertible (en el conjunto de todas las matrices cuadradas del mismo tamaño, según la multiplicación de matrices ) si y solo si su determinante es distinto de cero. Si el determinante de es cero, es imposible que tenga una inversa unilateral; por lo tanto, una inversa izquierda o una inversa derecha implican la existencia de la otra. Para más información, consulte matriz invertible .${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$

De manera más general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible si y sólo si su determinante es invertible en .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Las matrices no cuadradas de rango completo tienen varias inversas unilaterales: ^[4]

• Porque nos quedan inversas; por ejemplo,${\displaystyle A:m\times n\mid m>n}$${\displaystyle \underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}}$
• Porque tenemos inversas rectas; por ejemplo,${\displaystyle A:m\times n\mid m<n}$${\displaystyle A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}}$

La inversa izquierda se puede utilizar para determinar la solución de norma mínima de , que también es la fórmula de mínimos cuadrados para regresión y se da por${\displaystyle Ax=b}$${\displaystyle x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.}$

Ninguna matriz deficiente en rango tiene una inversa (ni siquiera unilateral). Sin embargo, la inversa de Moore-Penrose existe para todas las matrices y coincide con la inversa izquierda o derecha (o verdadera) cuando existe.

Como ejemplo de matrices inversas, considere:

${\displaystyle A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}$

Entonces, como m < n , tenemos una inversa derecha. Por componentes se calcula como${\displaystyle A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}}$

La inversa izquierda no existe, porque

${\displaystyle A^{\text{T}}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}}$

que es una matriz singular y no se puede invertir.

• Anillo de división
• Propiedad de la plaza latina
• Bucle (álgebra)
• Unidad (teoría de anillos)

• M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a productos de corona y gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , pág. 15 (def. en magma unitario) y pág. 33 (def. en semigrupo) 
• Howie, John M. (1995). Fundamentos de la teoría de semigrupos . Clarendon Press . ISBN. 0-19-851194-9.contiene todo el material de semigrupos incluido aquí excepto los semigrupos *-regulares.
• Drazin, MP, Semigrupos regulares con involución , Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
• Miyuki Yamada, Sistemas P en semigrupos regulares , Semigroup Forum , 24(1), diciembre de 1982, págs. 173–187
• Nordahl, TE y HE Scheiblich, Semigrupos regulares *, Foro de semigrupos , 16 (1978), 369–377.