Longitud de onda térmica de Broglie

En física , la longitud de onda térmica de De Broglie ( , a veces también denotada por ) es aproximadamente la longitud de onda media de De Broglie de las partículas en un gas ideal a la temperatura especificada. Podemos tomar el espaciamiento medio entre partículas en el gas como aproximadamente ( V / N ) ^1/3 donde V es el volumen y N es el número de partículas. Cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es mucho menor que la distancia entre partículas, el gas puede considerarse un gas clásico o de Maxwell-Boltzmann . Por otro lado, cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es del orden de o mayor que la distancia entre partículas, dominarán los efectos cuánticos y el gas debe tratarse como un gas de Fermi o un gas de Bose , dependiendo de la naturaleza de las partículas del gas. La temperatura crítica es el punto de transición entre estos dos regímenes, y a esta temperatura crítica, la longitud de onda térmica será aproximadamente igual a la distancia entre partículas. Es decir, la naturaleza cuántica del gas será evidente para${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }}$${\estilo de visualización \Lambda}$$${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\leq 1\ ,{\rm {o}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\mathrm {th} }}$$

es decir, cuando la distancia entre partículas es menor que la longitud de onda térmica de De Broglie; en este caso el gas obedecerá la estadística de Bose-Einstein o la estadística de Fermi-Dirac , según corresponda. Este es, por ejemplo, el caso de los electrones en un metal típico a T = 300 K , donde el gas de electrones obedece la estadística de Fermi-Dirac , o en un condensado de Bose-Einstein . Por otro lado, para$${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\gg 1\ ,{\rm {o}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\mathrm {th} }}$$

es decir, cuando la distancia entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda térmica de De Broglie, el gas obedecerá las estadísticas de Maxwell-Boltzmann . ^[1] Tal es el caso de los gases moleculares o atómicos a temperatura ambiente y de los neutrones térmicos producidos por una fuente de neutrones .

Para partículas masivas que no interactúan, la longitud de onda térmica de De Broglie se puede derivar del cálculo de la función de partición . Suponiendo una caja unidimensional de longitud L , la función de partición (usando los estados de energía de la partícula unidimensional en una caja ) es$${\displaystyle Z=\sum _{n}e^{-E_{n}/k_{\mathrm {B} }T}=\sum _{n}e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}.}$$

Dado que los niveles de energía están extremadamente próximos entre sí, podemos aproximar esta suma como una integral: ^[2]$${\displaystyle Z=\int _{0}^{\infty }e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}dn={\sqrt {\frac {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{\rm {th}}}}.}$$

Por lo tanto, donde es la constante de Planck , m es la masa de una partícula de gas, es la constante de Boltzmann y T es la temperatura del gas. ^[1] Esto también se puede expresar utilizando la constante de Planck reducida como$${\displaystyle \lambda _{\rm {th}}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}}},}$$${\estilo de visualización h}$${\displaystyle k_{\mathrm {B}}}$${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{\mathrm {B} }T}}}.}$$

Para partículas sin masa (o altamente relativistas ), la longitud de onda térmica se define como$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\frac {hc}{2\pi ^{1/3}k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {\pi ^{2/3}\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}},}$$

donde c es la velocidad de la luz. Al igual que con la longitud de onda térmica para partículas masivas, esta es del orden de la longitud de onda promedio de las partículas en el gas y define un punto crítico en el que los efectos cuánticos comienzan a dominar. Por ejemplo, al observar el espectro de longitud de onda larga de la radiación del cuerpo negro , se puede aplicar la ley clásica de Rayleigh-Jeans , pero cuando las longitudes de onda observadas se acercan a la longitud de onda térmica de los fotones en el radiador del cuerpo negro, se debe utilizar la ley cuántica de Planck .

Se puede introducir una definición general de la longitud de onda térmica para un gas ideal de partículas que tienen una relación de ley de potencia arbitraria entre energía y momento (relación de dispersión), en cualquier número de dimensiones. ^[3] Si n es el número de dimensiones, y la relación entre energía ( E ) y momento ( p ) está dada por (con a y s siendo constantes), entonces la longitud de onda térmica se define como donde Γ es la función Gamma . En particular, para un gas 3-D ( n = 3 ) de partículas masivas o sin masa tenemos E = p ² /2 m ( a = 1/2 m , s = 2) y E = pc ( a = c , s = 1) , respectivamente, produciendo las expresiones enumeradas en las secciones anteriores. Nótese que para partículas masivas no relativistas ( s = 2 ), la expresión no depende de n . Esto explica por qué la derivación 1-D anterior concuerda con el caso 3-D.$${\displaystyle E=ap^{s}}$$$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {a}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{1/s}\left[{\frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n},}$$

A continuación se dan algunos ejemplos de la longitud de onda térmica de De Broglie a 298 K.

Especies	Masa (kg)	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }}$(metro)
Electrón	9,1094 × 10 −31	4,3179 × 10 −9
Fotón	0	1,6483 × 10 −5
H2​	3,3474 × 10 −27	7,1228 × 10 −11
O2​	5,3135 × 10 −26	1,7878 × 10 −11

• Vu-Quoc, L., Integral de configuración (mecánica estadística), 2008. Este sitio wiki no está disponible; consulte este artículo en el archivo web el 28 de abril de 2012.