Orden de Loewner

En matemáticas, el orden de Loewner es el orden parcial definido por el cono convexo de matrices semidefinidas positivas . Este orden se emplea habitualmente para generalizar las definiciones de funciones escalares monótonas y cóncavas/convexas a funciones con valores hermíticos monótonas y cóncavas/convexas . Estas funciones surgen de forma natural en la teoría de matrices y operadores y tienen aplicaciones en muchas áreas de la física y la ingeniería.

Sean A y B dos matrices hermíticas de orden n . Decimos que A ≥ B si A  −  B es semidefinida positiva . De manera similar, decimos que A > B si A  −  B es definida positiva .

Cuando A y B son escalares reales (es decir, n = 1), el orden de Loewner se reduce al ordenamiento habitual de R. Aunque algunas propiedades conocidas del orden habitual de R también son válidas cuando n ≥ 2, varias propiedades ya no son válidas. Por ejemplo, la comparabilidad de dos matrices puede ya no ser válida. De hecho, si y entonces ni A ≥ B ni B ≥ A son verdaderas.${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\ }$${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\ }$

Además, dado que A y B son matrices hermíticas, sus valores propios son todos números reales. Si λ ₁ ( B ) es el valor propio máximo de B y λ _n ( A ) el valor propio mínimo de A , un criterio suficiente para que A ≥ B es que λ _n ( A ) ≥ λ ₁ ( B ). Si A o B es un múltiplo de la matriz identidad , entonces este criterio también es necesario.

El orden de Loewner no tiene la propiedad de límite superior mínimo y, por lo tanto, no forma una red .

• Trazar desigualdades

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