Ley de Hooke

Parte de una serie sobre
Mecánica de medios continuos
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Leyes de difusión de Fick
Leyes Conservaciones Masa Impulso Energía Desigualdades Clausius-Duhem (entropía)
Mecánica de sólidos Deformación Elasticidad lineal Plasticidad Ley de Hooke Estrés Cepa Deformación finita Deformación infinitesimal Compatibilidad Doblado Mecánica de contacto friccional Material failure theory Fracture mechanics
Fluid mechanics Fluids Statics · Dynamics Archimedes' principle · Bernoulli's principle Navier–Stokes equations Poiseuille equation · Pascal's law Viscosity (Newtonian · non-Newtonian) Buoyancy · Mixing · Pressure Liquids Adhesion Capillary action Chromatography Cohesion (chemistry) Surface tension Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Combined gas law Fick's law Gay-Lussac's law Graham's law Plasma
Rheology Viscoelasticity Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

En física , la ley de Hooke es una ley empírica que establece que la fuerza ( F ) necesaria para extender o comprimir un resorte una distancia ( x ) se escala linealmente con respecto a esa distancia, es decir, F _s = kx , donde k es un factor constante característico del resorte (es decir, su rigidez ), y x es pequeño en comparación con la deformación total posible del resorte. La ley recibe su nombre del físico británico del siglo XVII Robert Hooke . Enunció la ley por primera vez en 1676 como un anagrama latino . ^{[1] [2]} Publicó la solución de su anagrama en 1678 ^[3] como: ut tensio, sic vis ("como la extensión, así la fuerza" o "la extensión es proporcional a la fuerza"). Hooke afirma en el trabajo de 1678 que conocía la ley desde 1660.

La ecuación de Hooke se cumple (hasta cierto punto) en muchas otras situaciones en las que un cuerpo elástico se deforma , como el viento que sopla sobre un edificio alto o un músico que toca una cuerda de una guitarra. Un cuerpo o material elástico para el que se puede suponer esta ecuación se dice que es lineal-elástico o hookeano .

La ley de Hooke es sólo una aproximación lineal de primer orden a la respuesta real de los resortes y otros cuerpos elásticos a las fuerzas aplicadas. En algún momento debe fallar una vez que las fuerzas exceden un cierto límite, ya que ningún material puede comprimirse más allá de un cierto tamaño mínimo, o estirarse más allá de un tamaño máximo, sin alguna deformación permanente o cambio de estado. Muchos materiales se desviarán notablemente de la ley de Hooke mucho antes de que se alcancen esos límites elásticos .

Por otra parte, la ley de Hooke es una aproximación precisa para la mayoría de los cuerpos sólidos, siempre que las fuerzas y deformaciones sean lo suficientemente pequeñas. Por esta razón, la ley de Hooke se utiliza ampliamente en todas las ramas de la ciencia y la ingeniería, y es la base de muchas disciplinas como la sismología , la mecánica molecular y la acústica . También es el principio fundamental detrás de la balanza de resorte , el manómetro , el galvanómetro y el volante del reloj mecánico .

La teoría moderna de la elasticidad generaliza la ley de Hooke para decir que la deformación de un objeto o material elástico es proporcional a la tensión que se le aplica. Sin embargo, dado que las tensiones y deformaciones generales pueden tener múltiples componentes independientes, el "factor de proporcionalidad" ya no puede ser simplemente un único número real, sino más bien una función lineal (un tensor ) que puede representarse mediante una matriz de números reales.

En esta forma general, la ley de Hooke permite deducir la relación entre la deformación y la tensión para objetos complejos en función de las propiedades intrínsecas de los materiales de los que están hechos. Por ejemplo, se puede deducir que una varilla homogénea con sección transversal uniforme se comportará como un resorte simple cuando se estira, con una rigidez k directamente proporcional a su área de sección transversal e inversamente proporcional a su longitud.

Consideremos un resorte helicoidal simple que tiene un extremo unido a algún objeto fijo, mientras que el extremo libre está siendo tirado por una fuerza cuya magnitud es F _s . Supongamos que el resorte ha alcanzado un estado de equilibrio , donde su longitud ya no cambia. Sea x la cantidad en la que el extremo libre del resorte se desplazó de su posición "relajada" (cuando no se está estirando). La ley de Hooke establece que F s = k x {\displaystyle F_{s}=kx} o, equivalentemente, donde k es un número real positivo, característico del resorte. Un resorte con espacios entre las espiras se puede comprimir, y la misma fórmula se aplica a la compresión, con F _s y x ambas negativas en ese caso. ^[4]$${\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}}}$$

Según esta fórmula, la gráfica de la fuerza aplicada F _s en función del desplazamiento x será una línea recta que pasa por el origen , cuya pendiente es k .

La ley de Hooke para un resorte también se enuncia bajo la convención de que F _s es la fuerza de recuperación ejercida por el resorte sobre lo que tira de su extremo libre. En ese caso, la ecuación se convierte en ya que la dirección de la fuerza de recuperación es opuesta a la del desplazamiento.$${\displaystyle F_{s}=-kx}$$

El análogo torsional de la ley de Hooke se aplica a los resortes de torsión . Establece que el par (τ) necesario para rotar un objeto es directamente proporcional al desplazamiento angular (θ) desde la posición de equilibrio. Describe la relación entre el par aplicado a un objeto y la deformación angular resultante debido a la torsión. Matemáticamente, se puede expresar como:

${\displaystyle \tau =-k\theta }$

Dónde:

• τ es el par medido en Newton-metros o N·m.
• k es la constante de torsión (medida en N·m/radián), que caracteriza la rigidez del resorte de torsión o la resistencia al desplazamiento angular.
• θ es el desplazamiento angular (medido en radianes) desde la posición de equilibrio.

Al igual que en el caso lineal, esta ley muestra que el torque es proporcional al desplazamiento angular, y el signo negativo indica que el torque actúa en una dirección opuesta al desplazamiento angular, proporcionando una fuerza restauradora para llevar el sistema nuevamente al equilibrio.

La ley elástica de Hooke suele aplicarse a cualquier objeto elástico, de complejidad arbitraria, siempre que tanto la deformación como la tensión puedan expresarse mediante un único número que puede ser tanto positivo como negativo.

Por ejemplo, cuando un bloque de caucho unido a dos placas paralelas se deforma por corte , en lugar de estiramiento o compresión, la fuerza de corte F _s y el desplazamiento lateral de las placas x obedecen la ley de Hooke (para deformaciones suficientemente pequeñas).

La ley de Hooke también se aplica cuando una barra de acero recta o una viga de hormigón (como las que se utilizan en los edificios), apoyada por ambos extremos, se dobla mediante un peso F colocado en algún punto intermedio. El desplazamiento x en este caso es la desviación de la viga, medida en la dirección transversal, con respecto a su forma sin carga.

En el caso de un resorte helicoidal que se estira o comprime a lo largo de su eje , la fuerza aplicada (o restauradora) y la elongación o compresión resultante tienen la misma dirección (que es la dirección de dicho eje). Por lo tanto, si F _s y x se definen como vectores , la ecuación de Hooke sigue siendo válida y dice que el vector de fuerza es el vector de elongación multiplicado por un escalar fijo .

Algunos cuerpos elásticos se deformarán en una dirección cuando se les someta a una fuerza con una dirección diferente. Un ejemplo es una viga de madera horizontal con sección transversal rectangular no cuadrada que se dobla por una carga transversal que no es vertical ni horizontal. En tales casos, la magnitud del desplazamiento x será proporcional a la magnitud de la fuerza F _s , siempre que la dirección de esta última permanezca igual (y su valor no sea demasiado grande); por lo que se cumplirá la versión escalar de la ley de Hooke F _s = − kx . Sin embargo, los vectores fuerza y ​​desplazamiento no serán múltiplos escalares entre sí, ya que tienen direcciones diferentes. Además, la relación k entre sus magnitudes dependerá de la dirección del vector F _s .

Sin embargo, en tales casos suele haber una relación lineal fija entre los vectores de fuerza y ​​deformación, siempre que sean lo suficientemente pequeños. Es decir, existe una función κ de vectores a vectores, tal que F = κ ( X ) , y κ ( α X ₁ + β X ₂ ) = α κ ( X ₁ ) + β κ ( X ₂ ) para cualquier número real α , β y cualquier vector de desplazamiento X ₁ , X ₂ . Una función de este tipo se denomina tensor (de segundo orden) .

Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas arbitrario , los vectores de fuerza y ​​desplazamiento pueden representarse mediante matrices de 3 × 1 de números reales. Entonces, el tensor κ que los conecta puede representarse mediante una matriz κ de 3 × 3 de coeficientes reales, que, cuando se multiplica por el vector de desplazamiento, da el vector de fuerza: Es decir, para i = 1, 2, 3 . Por lo tanto, se puede decir que la ley de Hooke F = κ X también se cumple cuando X y F son vectores con direcciones variables, excepto que la rigidez del objeto es un tensor κ , en lugar de un solo número real k .$${\displaystyle \mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} }$$$${\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}}$$

Las tensiones y deformaciones del material dentro de un material elástico continuo (como un bloque de caucho, la pared de una caldera o una barra de acero) están conectadas por una relación lineal que es matemáticamente similar a la ley del resorte de Hooke, y a menudo se la conoce con ese nombre.

Sin embargo, el estado de deformación en un medio sólido alrededor de un punto no puede describirse mediante un único vector. La misma porción de material, por pequeña que sea, puede comprimirse, estirarse y cizallarse al mismo tiempo, en diferentes direcciones. Asimismo, las tensiones en esa porción pueden empujar, tirar y cizallar al mismo tiempo.

Para capturar esta complejidad, el estado relevante del medio alrededor de un punto debe representarse mediante dos tensores de segundo orden, el tensor de deformación ε (en lugar del desplazamiento X ) y el tensor de tensión σ (que reemplaza a la fuerza restauradora F ). El análogo de la ley del resorte de Hooke para medios continuos es entonces donde c es un tensor de cuarto orden (es decir, una función lineal entre tensores de segundo orden) usualmente llamado tensor de rigidez o tensor de elasticidad . También se puede escribir como donde el tensor s , llamado tensor de flexibilidad , representa la inversa de dicha función lineal.$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},}$$

En un sistema de coordenadas cartesianas, los tensores de tensión y deformación se pueden representar mediante matrices de 3 × 3 Al ser una aplicación lineal entre los nueve números σ _ij y los nueve números ε _kl , el tensor de rigidez c se representa mediante una matriz de 3 × 3 × 3 × 3 = 81 números reales c _ijkl . La ley de Hooke dice entonces que donde i , j = 1,2,3 .$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$$

Los tres tensores varían generalmente de un punto a otro dentro del medio, y también pueden variar con el tiempo. El tensor de deformación ε simplemente especifica el desplazamiento de las partículas del medio en la vecindad del punto, mientras que el tensor de tensión σ especifica las fuerzas que las partículas vecinas del medio ejercen entre sí. Por lo tanto, son independientes de la composición y el estado físico del material. El tensor de rigidez c , por otro lado, es una propiedad del material, y a menudo depende de variables del estado físico como la temperatura, la presión y la microestructura .

Debido a las simetrías inherentes de σ , ε y c , solo 21 coeficientes elásticos de este último son independientes. ^[6] Este número se puede reducir aún más por la simetría del material: 9 para un cristal ortorrómbico , 5 para una estructura hexagonal y 3 para una simetría cúbica . ^[7] Para medios isótropos (que tienen las mismas propiedades físicas en cualquier dirección), c se puede reducir a solo dos números independientes, el módulo volumétrico K y el módulo de corte G , que cuantifican la resistencia del material a los cambios de volumen y a las deformaciones por corte, respectivamente.

Dado que la ley de Hooke es una simple proporcionalidad entre dos cantidades, sus fórmulas y consecuencias son matemáticamente similares a las de muchas otras leyes físicas, como las que describen el movimiento de fluidos o la polarización de un dieléctrico por un campo eléctrico .

En particular, la ecuación tensorial σ = cε que relaciona las tensiones elásticas con las deformaciones es completamente similar a la ecuación τ = με̇ que relaciona el tensor de tensión viscosa τ y el tensor de velocidad de deformación ε̇ en flujos de fluidos viscosos ; aunque la primera se refiere a tensiones estáticas (relacionadas con la cantidad de deformación) mientras que la segunda se refiere a tensiones dinámicas (relacionadas con la velocidad de deformación).

En unidades del SI , los desplazamientos se miden en metros (m) y las fuerzas en newtons (N o kg·m/s ² ). Por lo tanto, la constante elástica k , y cada elemento del tensor κ , se mide en newtons por metro (N/m), o kilogramos por segundo al cuadrado (kg/s ² ).

Para medios continuos, cada elemento del tensor de tensión σ es una fuerza dividida por un área; por lo tanto, se mide en unidades de presión, es decir, pascales (Pa, o N/m ² , o kg/(m·s ² ). Los elementos del tensor de deformación ε son adimensionales (desplazamientos divididos por distancias). Por lo tanto, las entradas de c _ijkl también se expresan en unidades de presión.

Los objetos que recuperan rápidamente su forma original después de ser deformados por una fuerza, y las moléculas o átomos de su material vuelven al estado inicial de equilibrio estable, a menudo obedecen la ley de Hooke.

La ley de Hooke sólo se cumple para algunos materiales bajo ciertas condiciones de carga. El acero exhibe un comportamiento elástico lineal en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería; la ley de Hooke es válida para él en todo su rango elástico (es decir, para tensiones por debajo del límite elástico). Para algunos otros materiales, como el aluminio, la ley de Hooke sólo es válida para una parte del rango elástico. Para estos materiales se define una tensión límite proporcional , por debajo de la cual los errores asociados con la aproximación lineal son despreciables.

El caucho generalmente se considera un material "no hookeano" porque su elasticidad depende de la tensión y es sensible a la temperatura y a la velocidad de carga.

Los modelos de sólidos neo-Hookeanos y sólidos de Mooney-Rivlin proporcionan generalizaciones de la ley de Hooke para el caso de grandes deformaciones .

Una varilla de cualquier material elástico puede considerarse como un resorte lineal . La varilla tiene una longitud L y un área de sección transversal A. Su tensión de tracción σ es linealmente proporcional a su extensión o deformación fraccionaria ε por el módulo de elasticidad E :$${\displaystyle \sigma =E\varepsilon .}$$

El módulo de elasticidad puede considerarse a menudo constante. A su vez, (es decir, el cambio fraccionario en longitud), y dado que se deduce que:$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$$$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,,}$$$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.}$$

El cambio de longitud puede expresarse como$${\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.}$$

La energía potencial U _el ( x ) almacenada en un resorte está dada por que resulta de sumar la energía que se necesita para comprimir incrementalmente el resorte. Es decir, la integral de la fuerza sobre el desplazamiento. Dado que la fuerza externa tiene la misma dirección general que el desplazamiento, la energía potencial de un resorte siempre es no negativa. Sustituyendo se obtiene$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$$${\displaystyle x=F/k}$$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.}$$

Este potencial U _el se puede visualizar como una parábola en el plano Ux tal que U _el ( x ) = ⁠1/2⁠ kx ² . A medida que el resorte se estira en la dirección x positiva , la energía potencial aumenta parabólicamente (lo mismo sucede cuando el resorte se comprime). Dado que el cambio en la energía potencial cambia a una tasa constante: Nótese que el cambio en el cambio en U es constante incluso cuando el desplazamiento y la aceleración son cero.$${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.}$$

Las constantes de fuerza relajadas (la inversa de las constantes de compliancia generalizadas ) se definen de manera única para sistemas moleculares, en contraposición a las constantes de fuerza "rígidas" habituales, y por lo tanto su uso permite realizar correlaciones significativas entre los campos de fuerza calculados para reactivos , estados de transición y productos de una reacción química . Así como la energía potencial se puede escribir como una forma cuadrática en las coordenadas internas, también se puede escribir en términos de fuerzas generalizadas. Los coeficientes resultantes se denominan constantes de compliancia . Existe un método directo para calcular la constante de compliancia para cualquier coordenada interna de una molécula, sin la necesidad de realizar el análisis del modo normal. ^[8] La idoneidad de las constantes de fuerza relajadas (constantes de compliancia inversas) como descriptores de la fuerza de enlace covalente se demostró ya en 1980. Recientemente, también se demostró su idoneidad como descriptores de la fuerza de enlace no covalente. ^[9]

Una masa m unida al extremo de un resorte es un ejemplo clásico de oscilador armónico . Al tirar ligeramente de la masa y luego soltarla, el sistema se pondrá en movimiento oscilatorio sinusoidal alrededor de la posición de equilibrio. En la medida en que el resorte obedezca la ley de Hooke y se puedan despreciar la fricción y la masa del resorte, la amplitud de la oscilación permanecerá constante; y su frecuencia f será independiente de su amplitud, determinada solo por la masa y la rigidez del resorte: Este fenómeno hizo posible la construcción de relojes mecánicos precisos que podían llevarse en los barcos y en los bolsillos de las personas.$${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

Si la masa m estuviera unida a un resorte con constante de fuerza k y rotando en el espacio libre, la tensión del resorte ( F _t ) proporcionaría la fuerza centrípeta requerida ( F _c ): Como F _t = F _c y x = r , entonces: Dado que ω = 2π f , esto conduce a la misma ecuación de frecuencia que la anterior:$${\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r}$$$${\displaystyle k=m\omega ^{2}}$$$${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

Los materiales isótropos se caracterizan por propiedades que son independientes de la dirección en el espacio. Por lo tanto, las ecuaciones físicas que involucran materiales isótropos deben ser independientes del sistema de coordenadas elegido para representarlos. El tensor de deformación es un tensor simétrico. Dado que la traza de cualquier tensor es independiente de cualquier sistema de coordenadas, la descomposición libre de coordenadas más completa de un tensor simétrico es representarlo como la suma de un tensor constante y un tensor simétrico sin traza. ^[10] Por lo tanto, en notación de índice : donde δ _ij es el delta de Kronecker . En notación tensorial directa: donde I es el tensor identidad de segundo orden.$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

El primer término a la derecha es el tensor constante, también conocido como tensor de deformación volumétrica , y el segundo término es el tensor simétrico sin traza, también conocido como tensor de deformación desviador o tensor de corte.

La forma más general de la ley de Hooke para materiales isótropos ahora puede escribirse como una combinación lineal de estos dos tensores: donde K es el módulo volumétrico y G es el módulo de corte .$${\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

Usando las relaciones entre los módulos elásticos , estas ecuaciones también pueden expresarse de varias otras maneras. Una forma común de la ley de Hooke para materiales isótropos, expresada en notación tensorial directa, es ^[11] donde λ = K − ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}}$2/3⁠ G = c ₁₁₁₁ − 2 c ₁₂₁₂ y μ = G = c ₁₂₁₂ son las constantes de Lamé , I es el tensor identidad de segundo rango e I es la parte simétrica del tensor identidad de cuarto rango. En notación de índice: La relación inversa es ^[12] Por lo tanto, el tensor de flexibilidad en la relación ε = s  : σ es En términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson , la ley de Hooke para materiales isótropos se puede expresar como Esta es la forma en la que se expresa la deformación en términos del tensor de tensión en ingeniería. La expresión en forma expandida es donde E es el módulo de Young y ν es el coeficiente de Poisson . (Véase Elasticidad 3-D ).$${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$$${\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}$$

En forma matricial, la ley de Hooke para materiales isótropos se puede escribir como donde γ _ij = 2 ε _ij es la deformación cortante de ingeniería . La relación inversa se puede escribir como que se puede simplificar gracias a las constantes de Lamé: En notación vectorial esto se convierte en donde I es el tensor identidad.$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}$$

En condiciones de tensión plana , σ ₃₁ = σ ₁₃ = σ ₃₂ = σ ₂₃ = σ ₃₃ = 0. En ese caso, la ley de Hooke toma la forma$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

En notación vectorial esto se convierte en$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}$$

La relación inversa suele escribirse en forma reducida$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$

En condiciones de deformación plana , ε ₃₁ = ε ₁₃ = ε ₃₂ = ε ₂₃ = ε ₃₃ = 0. En este caso, la ley de Hooke toma la forma$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

La simetría del tensor de tensiones de Cauchy ( σ _ij = σ _ji ) y las leyes generalizadas de Hooke ( σ _ij = c _ijkl ε _kl ) implican que c _ijkl = c _jikl . De manera similar, la simetría del tensor de deformación infinitesimal implica que c _ijkl = c _ijlk . Estas simetrías se denominan simetrías menores del tensor de rigidez c . Esto reduce el número de constantes elásticas de 81 a 36.

Si además, dado que el gradiente de desplazamiento y la tensión de Cauchy son conjugados de trabajo, la relación tensión-deformación se puede derivar de una función de densidad de energía de deformación ( U ), entonces La arbitrariedad del orden de diferenciación implica que c _ijkl = c _klij . Estas se denominan simetrías mayores del tensor de rigidez. Esto reduce el número de constantes elásticas de 36 a 21. Las simetrías mayor y menor indican que el tensor de rigidez tiene solo 21 componentes independientes.$${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}$$

A menudo resulta útil expresar la forma anisotrópica de la ley de Hooke en notación matricial, también llamada notación de Voigt . Para ello, aprovechamos la simetría de los tensores de tensión y deformación y los expresamos como vectores de seis dimensiones en un sistema de coordenadas ortonormales ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) como Entonces, el tensor de rigidez ( c ) se puede expresar como y la ley de Hooke se escribe como De manera similar, el tensor de flexibilidad ( s ) se puede escribir como$${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.}$$$${\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}$$

Si un material elástico lineal se rota desde una configuración de referencia a otra, entonces el material es simétrico con respecto a la rotación si los componentes del tensor de rigidez en la configuración rotada están relacionados con los componentes en la configuración de referencia mediante la relación ^[13] donde l _ab son los componentes de una matriz de rotación ortogonal [ L ] . La misma relación también se aplica a las inversiones.$${\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}$$

En notación matricial, si la base transformada (rotada o invertida) está relacionada con la base de referencia por entonces Además, si el material es simétrico con respecto a la transformación [ L ] entonces$${\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}$$$${\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.}$$$${\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.}$$

Los materiales ortotrópicos tienen tres planos de simetría ortogonales . Si los vectores base ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) son normales a los planos de simetría, entonces las relaciones de transformación de coordenadas implican que La inversa de esta relación se escribe comúnmente como ^{[14] [ página necesaria ]} donde$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$$

• E _i es el módulo de Young a lo largo del eje i
• G _ij es el módulo de corte en la dirección j en el plano cuya normal está en la dirección i
• ν _ij es el coeficiente de Poisson que corresponde a una contracción en la dirección j cuando se aplica una extensión en la dirección i .

En condiciones de tensión plana , σ _zz = σ _zx = σ _yz = 0 , la ley de Hooke para un material ortotrópico toma la forma La relación inversa es La forma transpuesta de la matriz de rigidez anterior también se utiliza a menudo.$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}$$

Un material transversalmente isótropo es simétrico con respecto a una rotación alrededor de un eje de simetría . Para un material de este tipo, si e ₃ es el eje de simetría, la ley de Hooke se puede expresar como$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$

Con mayor frecuencia, el eje x ≡ e ₁ se toma como el eje de simetría y la ley inversa de Hooke se escribe como ^[15]$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$$

Para comprender el grado de anisotropía de cualquier clase, se formuló un índice de anisotropía elástica universal (AU) ^{[16] , que reemplaza al} coeficiente Zener , que es adecuado para cristales cúbicos .

Las deformaciones lineales de materiales elásticos pueden aproximarse como adiabáticas . Bajo estas condiciones y para procesos cuasiestáticos la primera ley de la termodinámica para un cuerpo deformado puede expresarse como donde δU es el aumento de energía interna y δW es el trabajo realizado por fuerzas externas. El trabajo puede dividirse en dos términos donde δW _s es el trabajo realizado por fuerzas superficiales mientras que δW _b es el trabajo realizado por fuerzas corporales . Si δ u es una variación del campo de desplazamiento u en el cuerpo, entonces los dos términos de trabajo externo pueden expresarse como donde t es el vector de tracción superficial , b es el vector de fuerza corporal, Ω representa el cuerpo y ∂ Ω representa su superficie. Usando la relación entre la tensión de Cauchy y la tracción superficial, t = n · σ (donde n es la unidad normal exterior a ∂ Ω ), tenemos Convertir la integral de superficie en una integral de volumen a través del teorema de divergencia da Usando la simetría de la tensión de Cauchy y la identidad tenemos lo siguiente De la definición de deformación y de las ecuaciones de equilibrio tenemos Por lo tanto podemos escribir y por lo tanto la variación en la densidad de energía interna está dada por Un material elástico se define como uno en el que la energía interna total es igual a la energía potencial de las fuerzas internas (también llamada energía de deformación elástica ). Por lo tanto, la densidad de energía interna es una función de las deformaciones, U ₀ = U ₀ ( ε ) y la variación de la energía interna puede expresarse como Dado que la variación de la deformación es arbitraria, la relación tensión-deformación de un material elástico está dada por Para un material elástico lineal, la cantidad ⁠$${\displaystyle \delta W=\delta U}$$$${\displaystyle \delta W=\delta W_{\mathrm {s} }+\delta W_{\mathrm {b} }}$$$${\displaystyle \delta W_{\mathrm {s} }=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV}$$$${\displaystyle \delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} \,dS+\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.}$$$${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\big (}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.}$$$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}:\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)}$$$${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }\left({\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,.}$$$${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.}$$$${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dV}$$$${\displaystyle \delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}$$$${\displaystyle \delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}\,.}$$∂ U ₀/∂ ε⁠ es una función lineal de ε , y por lo tanto se puede expresar como donde c es un tensor de cuarto rango de constantes del material, también llamado tensor de rigidez . Podemos ver por qué c debe ser un tensor de cuarto rango al notar que, para un material elástico lineal, En notación de índice La constante del lado derecho requiere cuatro índices y es una cantidad de cuarto rango. También podemos ver que esta cantidad debe ser un tensor porque es una transformación lineal que lleva el tensor de deformación al tensor de tensión. También podemos demostrar que la constante obedece las reglas de transformación de tensores para tensores de cuarto rango.$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})={\text{constant}}={\mathsf {c}}\,.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,.}$$

Part of a series on
Continuum mechanics
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Fick's laws of diffusion
Laws Conservations Mass Momentum Energy Inequalities Clausius–Duhem (entropy)
Solid mechanics Deformation Elasticity linear Plasticity Hooke's law Stress Strain Finite strain Infinitesimal strain Compatibility Bending Contact mechanics frictional Material failure theory Fracture mechanics
Fluid mechanics Fluids Statics · Dynamics Archimedes' principle · Bernoulli's principle Navier–Stokes equations Poiseuille equation · Pascal's law Viscosity (Newtonian · non-Newtonian) Buoyancy · Mixing · Pressure Liquids Adhesion Capillary action Chromatography Cohesion (chemistry) Surface tension Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Combined gas law Fick's law Gay-Lussac's law Graham's law Plasma
Rheology Viscoelasticity Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
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