Ley de potencia

En estadística , una ley de potencia es una relación funcional entre dos cantidades, donde un cambio relativo en una cantidad da como resultado un cambio relativo en la otra cantidad proporcional al cambio elevado a un exponente constante : una cantidad varía como una potencia de otra. El cambio es independiente del tamaño inicial de esas cantidades.

Por ejemplo, el área de un cuadrado tiene una relación de ley de potencia con la longitud de su lado, ya que si la longitud se duplica, el área se multiplica por 2 ² , mientras que si la longitud se triplica, el área se multiplica por 3 ² , y así sucesivamente. ^[1]

Las distribuciones de una amplia variedad de fenómenos físicos, biológicos y provocados por el hombre siguen aproximadamente una ley de potencia en un amplio rango de magnitudes: estas incluyen los tamaños de los cráteres en la luna y de las erupciones solares , ^[2] el tamaño de las nubes, ^[3] el patrón de alimentación de varias especies, ^[4] los tamaños de los patrones de actividad de las poblaciones neuronales, ^[5] las frecuencias de las palabras en la mayoría de los idiomas, las frecuencias de los apellidos , la riqueza de especies en clados de organismos, ^[6] los tamaños de los cortes de energía , las erupciones volcánicas, ^[7] los juicios humanos de la intensidad del estímulo ^{[8] [9]} y muchas otras cantidades. ^[10] Las distribuciones empíricas solo pueden ajustarse a una ley de potencia para un rango limitado de valores, porque una ley de potencia pura permitiría valores arbitrariamente grandes o pequeños. La atenuación acústica sigue leyes de potencia de frecuencia dentro de amplias bandas de frecuencia para muchos medios complejos. Las leyes de escala alométricas para las relaciones entre variables biológicas se encuentran entre las funciones de ley de potencia más conocidas en la naturaleza.

El modelo de ley de potencia no obedece al preciado paradigma de completitud estadística. En particular, los límites de probabilidad, la causa sospechada de los fenómenos típicos de flexión y/o aplanamiento en los segmentos gráficos de alta y baja frecuencia, están paramétricamente ausentes en el modelo estándar. ^[11]

Un atributo de las leyes de potencia es su invariancia de escala . Dada una relación , escalar el argumento por un factor constante causa solo un escalamiento proporcional de la función misma. Es decir,${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización c}$

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

donde denota proporcionalidad directa . Es decir, escalar por una constante simplemente multiplica la relación de ley de potencia original por la constante . Por lo tanto, se deduce que todas las leyes de potencia con un exponente de escala particular son equivalentes hasta factores constantes, ya que cada una es simplemente una versión escalada de las otras. Este comportamiento es lo que produce la relación lineal cuando se toman los logaritmos de ambos y , y la línea recta en el gráfico logarítmico a menudo se llama la firma de una ley de potencia. Con datos reales, dicha rectitud es una condición necesaria, pero no suficiente, para que los datos sigan una relación de ley de potencia. De hecho, hay muchas formas de generar cantidades finitas de datos que imitan este comportamiento de firma, pero, en su límite asintótico, no son verdaderas leyes de potencia. ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, ajustar y validar con precisión los modelos de ley de potencia es un área activa de investigación en estadística; vea a continuación.${\estilo de visualización \propto}$${\estilo de visualización c}$$estilo de visualización c^{-k}}$${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización x}$

Una ley de potencia tiene una media bien definida sobre solo si , y tiene una varianza finita solo si ; la mayoría de las leyes de potencia identificadas en la naturaleza tienen exponentes tales que la media está bien definida pero la varianza no, lo que implica que son capaces de un comportamiento de cisne negro . ^[2] Esto se puede ver en el siguiente experimento mental: ^[12] imagina una habitación con tus amigos y estima el ingreso mensual promedio en la habitación. Ahora imagina a la persona más rica del mundo entrando en la habitación, con un ingreso mensual de aproximadamente 1 mil millones de dólares estadounidenses. ¿Qué sucede con el ingreso promedio en la habitación? El ingreso se distribuye de acuerdo con una ley de potencia conocida como la distribución de Pareto (por ejemplo, el patrimonio neto de los estadounidenses se distribuye de acuerdo con una ley de potencia con un exponente de 2).${\displaystyle x^{-k}}$${\displaystyle x\in [1,\infty )}$${\displaystyle k>2}$${\displaystyle k>3}$

Por un lado, esto hace que sea incorrecto aplicar estadísticas tradicionales que se basan en la varianza y la desviación estándar (como el análisis de regresión ). ^[13] Por otro lado, esto también permite intervenciones rentables. ^[12] Por ejemplo, dado que el escape de los automóviles se distribuye de acuerdo con una ley de potencia entre los automóviles (muy pocos automóviles contribuyen a la mayor parte de la contaminación), sería suficiente eliminar esos pocos automóviles de la carretera para reducir sustancialmente el escape total. ^[14]

Sin embargo, la mediana existe: para una ley de potencia x ^{– k} , con exponente ⁠ ⁠${\displaystyle k>1}$ , toma el valor 2 ^{1/( k – 1)} x _min , donde x _min es el valor mínimo para el cual se cumple la ley de potencia. ^[2]

La equivalencia de leyes de potencia con un exponente de escala particular puede tener un origen más profundo en los procesos dinámicos que generan la relación de ley de potencia. En física, por ejemplo, las transiciones de fase en sistemas termodinámicos están asociadas con la aparición de distribuciones de ley de potencia de ciertas cantidades, cuyos exponentes se denominan exponentes críticos del sistema. Se puede demostrar, mediante la teoría de grupos de renormalización , que diversos sistemas con los mismos exponentes críticos (es decir, que muestran un comportamiento de escala idéntico a medida que se acercan a la criticidad ) comparten la misma dinámica fundamental. Por ejemplo, el comportamiento del agua y el CO ₂ en sus puntos de ebullición cae en la misma clase de universalidad porque tienen exponentes críticos idénticos. ^{[ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]} De hecho, casi todas las transiciones de fase de los materiales se describen mediante un pequeño conjunto de clases de universalidad. Se han realizado observaciones similares, aunque no de manera tan exhaustiva, para varios sistemas críticos autoorganizados , donde el punto crítico del sistema es un atractor . Formalmente, este intercambio de dinámica se denomina universalidad , y se dice que los sistemas con exactamente los mismos exponentes críticos pertenecen a la misma clase de universalidad .

El interés científico en las relaciones de ley de potencia se deriva en parte de la facilidad con la que ciertas clases generales de mecanismos las generan. ^[15] La demostración de una relación de ley de potencia en algunos datos puede señalar tipos específicos de mecanismos que podrían subyacer al fenómeno natural en cuestión, y puede indicar una conexión profunda con otros sistemas aparentemente no relacionados; ^[16] véase también universalidad arriba. La ubicuidad de las relaciones de ley de potencia en física se debe en parte a restricciones dimensionales , mientras que en sistemas complejos , a menudo se piensa que las leyes de potencia son firmas de jerarquía o de procesos estocásticos específicos . Algunos ejemplos notables de leyes de potencia son la ley de Pareto de distribución del ingreso, la autosimilitud estructural de los fractales y las leyes de escala en sistemas biológicos . La investigación sobre los orígenes de las relaciones de ley de potencia, y los esfuerzos por observarlas y validarlas en el mundo real, es un tema activo de investigación en muchos campos de la ciencia, incluidos la física , la informática , la lingüística , la geofísica , la neurociencia , la sistemática , la sociología , la economía y más.

Sin embargo, gran parte del interés reciente en las leyes de potencia proviene del estudio de las distribuciones de probabilidad : las distribuciones de una amplia variedad de cantidades parecen seguir la forma de ley de potencia, al menos en su cola superior (grandes eventos). El comportamiento de estos grandes eventos conecta estas cantidades con el estudio de la teoría de grandes desviaciones (también llamada teoría del valor extremo ), que considera la frecuencia de eventos extremadamente raros como las caídas de la bolsa y los grandes desastres naturales . Es principalmente en el estudio de las distribuciones estadísticas donde se utiliza el nombre de "ley de potencia".

En contextos empíricos, una aproximación a una ley de potencia a menudo incluye un término de desviación , que puede representar incertidumbre en los valores observados (quizás errores de medición o muestreo) o proporcionar una forma sencilla para que las observaciones se desvíen de la función de la ley de potencia (quizás por razones estocásticas):${\displaystyle o(x^{k})}$${\estilo de visualización \varepsilon}$

${\displaystyle y=ax^{k}+\varepsilon .\!}$

Matemáticamente, una ley de potencia estricta no puede ser una distribución de probabilidad, pero es posible una distribución que sea una función de potencia truncada: para donde el exponente (letra griega alfa , que no debe confundirse con el factor de escala utilizado anteriormente) es mayor que 1 (de lo contrario, la cola tiene un área infinita), se necesita el valor mínimo; de lo contrario, la distribución tiene un área infinita cuando x se acerca a 0, y la constante C es un factor de escala para garantizar que el área total sea 1, como lo requiere una distribución de probabilidad. Más a menudo se utiliza una ley de potencia asintótica, una que solo es verdadera en el límite; consulte las distribuciones de probabilidad de ley de potencia a continuación para obtener más detalles. Normalmente, el exponente cae en el rango , aunque no siempre. ^[10]${\displaystyle p(x)=Cx^{-\alpha }}$${\displaystyle x>x_{\text{mín}}}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle x_{\text{mín}}}$${\estilo de visualización 2<\alfa <3}$

Se han identificado más de cien distribuciones de ley de potencia en física (por ejemplo, avalanchas de arena), biología (por ejemplo, extinción de especies y masa corporal) y ciencias sociales (por ejemplo, tamaño de las ciudades e ingresos). ^[17] Entre ellas se encuentran:

• Ley de escalamiento neuronal

• Tercera ley de Kepler
• La función de masa inicial de las estrellas
• El espectro de energía diferencial de los núcleos de rayos cósmicos
• La relación M–sigma
• Erupciones solares

• Ley de Kleiber que relaciona el metabolismo animal con el tamaño y leyes alométricas en general
• La ley de potencia de dos tercios, que relaciona la velocidad con la curvatura en el sistema motor humano . ^[18]
• La ley de Taylor que relaciona el tamaño medio de la población y la varianza del tamaño de las poblaciones en ecología
• Avalanchas neuronales ^[5]
• La riqueza de especies (número de especies) en clados de peces de agua dulce ^[19]
• El efecto Harlow Knapp, donde un subconjunto de las quinasas que se encuentran en el cuerpo humano componen la mayoría de las investigaciones publicadas ^[20]
• El tamaño de las áreas forestales a nivel mundial sigue una ley de potencia ^[21]
• Relación especie -área que relaciona el número de especies encontradas en un área en función del tamaño del área.

• Ley de tarifas

• Tamaños de las áreas y perímetros de las nubes, vistos desde el espacio ^[3]
• El tamaño de las celdas de lluvia-lluvia ^[22]
• Disipación de energía en ciclones ^[23]
• Diámetros de los remolinos de polvo en la Tierra y Marte ^[24]

• Tolerancia altamente optimizada
• Forma propuesta de los efectos de la curva de experiencia
• Ruido rosa
• La ley de los números de corrientes y la ley de las longitudes de corrientes ( las leyes de Horton que describen los sistemas fluviales) ^[25]
• Poblaciones de ciudades ( Ley de Gibrat ) ^[26]
• Bibliogramas y frecuencias de palabras en un texto ( Ley de Zipf ) ^[27]
• Principio 90-9-1 en las wikis (también conocido como la regla del 1% ) ^{[28] [29]}
• Ley de Richardson para la gravedad de los conflictos violentos (guerras y terrorismo) ^{[30] [31]}
• La relación entre el tamaño de la memoria caché de una CPU y la cantidad de errores de caché sigue la ley de potencia de los errores de caché .
• La densidad espectral de las matrices de pesos de redes neuronales profundas ^[32]
• Asociado al crecimiento exponencial :
  • Colas en distribuciones estadísticas para procesos de crecimiento exponencial con observación aleatoria (o matanza) ^[33]
  • Progreso a través del crecimiento exponencial y la difusión exponencial de innovaciones ^[34]

• Tamaños de población de las ciudades de una región o red urbana , ley de Zipf .
• Distribución de los artistas según el precio medio de sus obras. ^[35]
• Distribución del ingreso en una economía de mercado.
• Distribución de titulaciones en las redes bancarias. ^[36]
• Distribuciones según el tamaño de las empresas. ^[37]

• Rentabilidad de las inversiones de capital de riesgo de alto riesgo ^[38]
• El cambio absoluto medio de los precios medios logarítmicos ^[39]
• Grandes cambios de precios, volatilidad y volumen de transacciones en las bolsas de valores ^[40]
• Tiempo medio de espera de un cambio de dirección ^[41]
• Tiempo medio de espera de un sobreimpulso

• Fractales
• Distribución de Pareto y principio de Pareto también llamado “regla 80-20”
• Ley de Zipf en análisis de corpus y distribuciones de población, entre otros, donde la frecuencia de un elemento o evento es inversamente proporcional a su rango de frecuencia (es decir, el segundo elemento/evento más frecuente ocurre con la mitad de frecuencia que el elemento más frecuente, el tercer elemento/evento más frecuente ocurre con un tercio de frecuencia que el elemento más frecuente, y así sucesivamente).
• Distribución zeta (discreta)
• Distribución de Yule-Simon (discreta)
• Distribución t de Student (continua), de la cual la distribución de Cauchy es un caso especial
• Ley de Lotka
• El modelo de red sin escala

• El exponente Angstrom en la óptica de aerosoles
• La dependencia de la frecuencia de la atenuación acústica en medios complejos
• La ley de Stefan-Boltzmann
• Las curvas de voltaje de entrada-corriente de salida de los transistores de efecto de campo y los tubos de vacío se aproximan a una relación de ley cuadrada , un factor en el " sonido del tubo ".
• Ley del cuadrado-cubo (relación entre el área de la superficie y el volumen)
• Se puede encontrar una ley de potencia 3/2 en las curvas características de las placas de los triodos .
• Las leyes del cuadrado inverso de la gravedad y la electrostática newtonianas , como lo evidencian el potencial gravitacional y el potencial electrostático , respectivamente.
• Criticidad autoorganizada con un punto crítico como atractor
• Modelo de la fuerza de van der Waals
• Fuerza y ​​potencial en el movimiento armónico simple
• Corrección gamma que relaciona la intensidad de la luz con el voltaje
• Comportamiento cerca de transiciones de fase de segundo orden que involucran exponentes críticos
• El área de operación segura relacionada con la corriente y voltaje máximos simultáneos en semiconductores de potencia.
• Estado supercrítico de la materia y fluidos supercríticos , como los exponentes supercríticos de la capacidad calorífica y la viscosidad . ^[42]
• La ley de Curie-von Schweidler en respuestas dieléctricas a una entrada de voltaje de CC escalonada.
• Relación entre la fuerza de amortiguamiento y la velocidad en el cálculo de amortiguadores antisísmicos
• Áreas de superficie expuestas al solvente plegadas de aminoácidos centrados en segmentos de estructura de proteína ^[43]

• Ley de la raíz cúbica de los tamaños de conjuntos

• Ley de potencia de la psicofísica de Stevens ( cuestionada con demostraciones de que puede ser logarítmica ^{[44] [45]} )
• La ley de potencia del olvido ^[46]

Una ley de potencia rota es una función por partes , que consta de dos o más leyes de potencia, combinadas con un umbral. Por ejemplo, con dos leyes de potencia: ^[47]

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha _ {1}}}$para${\displaystyle x<x_{\text{th}},}$

${\displaystyle f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ para }}x>x_{\text{th}}}$.

Las piezas de una ley de potencia rota se pueden unir suavemente para construir una ley de potencia suavemente rota.

Existen diferentes formas posibles de unir leyes de potencia. Un ejemplo es el siguiente: ^[48] donde .$${\displaystyle \ln({\frac {y}{y_{0}}}+a\right)=c_{0}\ln({\frac {x}{x_{0}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}-c_{i-1}}{f_{i}}}\ln(1+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{f_{i}}\right)}$$${\displaystyle 0<x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}}$

Cuando la función se representa como un gráfico logarítmico con eje horizontal y eje vertical , el gráfico se compone de segmentos lineales con pendientes , separados en , empalmados suavemente entre sí. El tamaño de determina la nitidez del empalme entre segmentos .${\displaystyle \ln x}$${\displaystyle \ln(y/y_{0}+a)}$${\estilo de visualización n+1}$${\displaystyle c_{0},c_{1},...,c_{n}}$${\displaystyle x=x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle i-1,i}$

Una ley de potencia con un corte exponencial es simplemente una ley de potencia multiplicada por una función exponencial: ^[10]

${\displaystyle f(x)\propto x^{-\alpha }e^{-\beta x}.}$

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}}$^[49]

En un sentido más amplio, una distribución de probabilidad de ley de potencia es una distribución cuya función de densidad (o función de masa en el caso discreto) tiene la forma, para valores grandes de , ^[50]${\displaystyle x}$

${\displaystyle P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha -1)}}$

donde , y es una función que varía lentamente , que es cualquier función que satisface para cualquier factor positivo . Esta propiedad de se deriva directamente del requisito de que sea asintóticamente invariante en escala; por lo tanto, la forma de solo controla la forma y la extensión finita de la cola inferior. Por ejemplo, si es la función constante, entonces tenemos una ley de potencia que se cumple para todos los valores de . En muchos casos, es conveniente suponer un límite inferior a partir del cual se cumple la ley. Combinando estos dos casos, y donde es una variable continua, la ley de potencia tiene la forma de la distribución de Pareto.${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\mathrm {min} }}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },}$

donde el factor previo to es la constante normalizadora . Ahora podemos considerar varias propiedades de esta distribución. Por ejemplo, sus momentos están dados por${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$

${\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{m}\right)=\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}}$

que solo está bien definida para . Es decir, todos los momentos divergen: cuando , el promedio y todos los momentos de orden superior son infinitos; cuando , la media existe, pero la varianza y los momentos de orden superior son infinitos, etc. Para muestras de tamaño finito extraídas de dicha distribución, este comportamiento implica que los estimadores del momento central (como la media y la varianza) para los momentos divergentes nunca convergerán; a medida que se acumulan más datos, continúan creciendo. Estas distribuciones de probabilidad de ley de potencia también se denominan distribuciones de tipo Pareto, distribuciones con colas de Pareto o distribuciones con colas que varían regularmente.${\displaystyle m<\alpha -1}$${\displaystyle m\geq \alpha -1}$${\displaystyle \alpha \leq 2}$${\displaystyle 2<\alpha <3}$

Una modificación, que no satisface la forma general anterior, con un corte exponencial, ^[10] es

${\displaystyle p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.}$

En esta distribución, el término de decaimiento exponencial finalmente abruma el comportamiento de la ley de potencia en valores muy grandes de . Esta distribución no escala ^{[ se necesita más explicación ]} y, por lo tanto, no es asintóticamente como una ley de potencia; sin embargo, sí escala aproximadamente sobre una región finita antes del corte. La forma pura anterior es un subconjunto de esta familia, con . Esta distribución es una alternativa común a la distribución de ley de potencia asintótica porque captura naturalmente los efectos de tamaño finito.${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda =0}$

Las distribuciones Tweedie son una familia de modelos estadísticos caracterizados por su clausura bajo convolución aditiva y reproductiva, así como bajo transformación de escala. En consecuencia, todos estos modelos expresan una relación de ley de potencia entre la varianza y la media. Estos modelos tienen un papel fundamental como focos de convergencia matemática similar al papel que tiene la distribución normal como foco en el teorema del límite central . Este efecto de convergencia explica por qué la ley de potencia de varianza a media se manifiesta tan ampliamente en los procesos naturales, como con la ley de Taylor en ecología y con el escalamiento de fluctuaciones ^[51] en física. También se puede demostrar que esta ley de potencia de varianza a media, cuando se demuestra mediante el método de expansión de bins , implica la presencia de ruido 1/ f y que el ruido 1/ f puede surgir como consecuencia de este efecto de convergencia Tweedie. ^[52]

Aunque se han propuesto métodos más sofisticados y robustos, los métodos gráficos más frecuentemente utilizados para identificar distribuciones de probabilidad de ley de potencia utilizando muestras aleatorias son los gráficos cuantil-cuantil de Pareto (o gráficos Q–Q de Pareto ), ^{[ cita requerida ]} gráficos de vida residual media ^{[53] [54]} y gráficos log–log . Otro método gráfico más robusto utiliza paquetes de funciones cuantiles residuales. ^[55] (Tenga en cuenta que las distribuciones de ley de potencia también se denominan distribuciones de tipo Pareto). Aquí se supone que se obtiene una muestra aleatoria de una distribución de probabilidad y que queremos saber si la cola de la distribución sigue una ley de potencia (en otras palabras, queremos saber si la distribución tiene una "cola de Pareto"). Aquí, la muestra aleatoria se llama "los datos".

Los gráficos de Pareto Q-Q comparan los cuantiles de los datos transformados logarítmicamente con los cuantiles correspondientes de una distribución exponencial con media 1 (o con los cuantiles de una distribución de Pareto estándar) al representar gráficamente los primeros frente a los segundos. Si el gráfico de dispersión resultante sugiere que los puntos representados convergen asintóticamente a una línea recta, entonces se debe sospechar que se trata de una distribución de ley de potencia. Una limitación de los gráficos de Pareto Q-Q es que se comportan mal cuando el índice de cola (también llamado índice de Pareto) está cerca de 0, porque los gráficos de Pareto Q-Q no están diseñados para identificar distribuciones con colas que varían lentamente. ^[55]${\displaystyle \alpha }$

Por otra parte, en su versión para identificar distribuciones de probabilidad de ley de potencia, el gráfico de vida residual media consiste en transformar logarítmicamente los datos y luego graficar el promedio de esos datos transformados logarítmicamente que son mayores que la estadística de orden i -ésimo contra la estadística de orden i -ésimo, para i  = 1, ...,  n , donde n es el tamaño de la muestra aleatoria. Si el gráfico de dispersión resultante sugiere que los puntos graficados tienden a estabilizarse alrededor de una línea recta horizontal, entonces se debe sospechar una distribución de ley de potencia. Dado que el gráfico de vida residual media es muy sensible a los valores atípicos (no es robusto), generalmente produce gráficos que son difíciles de interpretar; por esta razón, dichos gráficos generalmente se denominan gráficos de terror de Hill. ^[56]

Los gráficos logarítmicos son una forma alternativa de examinar gráficamente la cola de una distribución utilizando una muestra aleatoria. Al tomar el logaritmo de una ley de potencia de la forma se obtiene: ^[57]${\displaystyle f(x)=ax^{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log(f(x))&=\log(ax^{k})\\&=\log(a)+\log(x^{k})\\&=\log(a)+k\cdot \log(x),\end{aligned}}}$

que forma una línea recta con pendiente en una escala logarítmica. Sin embargo, se debe tener cuidado ya que un gráfico logarítmico-logarítmico es necesario pero no es evidencia suficiente de una relación de ley de potencia, ya que muchas distribuciones que no son de ley de potencia aparecerán como líneas rectas en un gráfico logarítmico-logarítmico. ^{[10] [58]} Este método consiste en trazar el logaritmo de un estimador de la probabilidad de que ocurra un número particular de la distribución frente al logaritmo de ese número particular. Por lo general, este estimador es la proporción de veces que el número aparece en el conjunto de datos. Si los puntos del gráfico tienden a converger en una línea recta para números grandes en el eje x, entonces el investigador concluye que la distribución tiene una cola de ley de potencia. Se han publicado ejemplos de la aplicación de este tipo de gráficos. ^[59] Una desventaja de estos gráficos es que, para que proporcionen resultados confiables, requieren enormes cantidades de datos. Además, solo son apropiados para datos discretos (o agrupados).${\displaystyle k}$

Se ha propuesto otro método gráfico para la identificación de distribuciones de probabilidad de ley de potencia utilizando muestras aleatorias. ^[55] Esta metodología consiste en trazar un paquete para la muestra transformada en logaritmo . Originalmente propuesta como una herramienta para explorar la existencia de momentos y la función de generación de momentos utilizando muestras aleatorias, la metodología de paquete se basa en funciones cuantiles residuales (RQF), también llamadas funciones percentiles residuales, ^{[60] [61] [62] [63] [64] [65] [66]} que proporcionan una caracterización completa del comportamiento de la cola de muchas distribuciones de probabilidad bien conocidas, incluidas las distribuciones de ley de potencia, distribuciones con otros tipos de colas pesadas e incluso distribuciones sin cola pesada. Los gráficos de paquete no tienen las desventajas de los gráficos Q-Q de Pareto, los gráficos de vida residual media y los gráficos log-log mencionados anteriormente (son robustos a los valores atípicos, permiten identificar visualmente leyes de potencia con valores pequeños de , y no exigen la recopilación de muchos datos). ^{[ cita requerida ]} Además, se pueden identificar otros tipos de comportamiento de la cola utilizando gráficos de paquetes.${\displaystyle \alpha }$

En general, las distribuciones de ley de potencia se representan en ejes doblemente logarítmicos , lo que enfatiza la región de la cola superior. La forma más conveniente de hacerlo es mediante la distribución acumulativa (complementaria) (ccdf), es decir, la función de supervivencia ,${\displaystyle P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)}$

${\displaystyle P(x)=\Pr(X>x)=C\int _{x}^{\infty }p(X)\,\mathrm {d} X={\frac {\alpha -1}{x_{\min }^{-\alpha +1}}}\int _{x}^{\infty }X^{-\alpha }\,\mathrm {d} X=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-(\alpha -1)}.}$

La función de distribución de probabilidad (cdf) también es una función de ley de potencia, pero con un exponente de escala más pequeño. En el caso de los datos, una forma equivalente de la función de distribución de probabilidad es el método de rango-frecuencia, en el que primero ordenamos los valores observados en orden ascendente y los graficamos en relación con el vector .${\displaystyle n}$${\displaystyle \left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]}$

Aunque puede ser conveniente agrupar en logaritmos los datos o suavizar directamente la función de densidad de probabilidad (masa), estos métodos introducen un sesgo implícito en la representación de los datos y, por lo tanto, se deben evitar. ^{[10] [67]} La ​​función de supervivencia, por otro lado, es más robusta a (pero no sin) tales sesgos en los datos y conserva la firma lineal en ejes doblemente logarítmicos. Aunque se prefiere una representación de función de supervivencia sobre la de la función de densidad de probabilidad al ajustar una ley de potencia a los datos con el método de mínimos cuadrados lineal, no está exenta de inexactitudes matemáticas. Por lo tanto, al estimar exponentes de una distribución de ley de potencia, se recomienda el estimador de máxima verosimilitud.

Existen muchas maneras de estimar el valor del exponente de escala para una cola de ley de potencia, sin embargo, no todas ellas producen respuestas imparciales y consistentes . Algunas de las técnicas más confiables se basan a menudo en el método de máxima verosimilitud . Los métodos alternativos se basan a menudo en hacer una regresión lineal sobre la probabilidad logarítmica, la función de distribución acumulativa logarítmica o sobre datos logarítmicos, pero estos enfoques deben evitarse ya que todos pueden conducir a estimaciones altamente sesgadas del exponente de escala. ^[10]

Para datos de valor real, independientes y distribuidos de forma idéntica , ajustamos una distribución de ley de potencia de la forma

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

a los datos , donde se incluye el coeficiente para garantizar que la distribución esté normalizada . Dada una opción para , la función de verosimilitud logarítmica se convierte en:${\displaystyle x\geq x_{\min }}$${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$${\displaystyle x_{\min }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\alpha )=\log \prod _{i=1}^{n}{\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

El máximo de esta probabilidad se obtiene diferenciando con respecto al parámetro , igualando el resultado a cero. Al reordenar, se obtiene la ecuación del estimador:${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=1+n\left[\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right]^{-1}}$

donde son los puntos de datos . ^{[2] [68]} Este estimador exhibe un pequeño sesgo de tamaño de muestra finito de orden , que es pequeño cuando n  > 100. Además, el error estándar de la estimación es . Este estimador es equivalente al popular ^{[ cita requerida ]} estimador de Hill de las finanzas cuantitativas y la teoría del valor extremo . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$${\displaystyle O(n^{-1})}$${\displaystyle \sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})}$

Para un conjunto de n puntos de datos con valores enteros , nuevamente donde cada , el exponente de máxima verosimilitud es la solución de la ecuación trascendental${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$

${\displaystyle {\frac {\zeta '({\hat {\alpha }},x_{\min })}{\zeta ({\hat {\alpha }},x_{\min })}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}}$

donde es la función zeta incompleta . La incertidumbre en esta estimación sigue la misma fórmula que para la ecuación continua. Sin embargo, las dos ecuaciones para no son equivalentes y la versión continua no debe aplicarse a datos discretos, ni viceversa.${\displaystyle \zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

Además, ambos estimadores requieren la elección de . Para funciones con una función no trivial , elegir un valor demasiado pequeño produce un sesgo significativo en , mientras que elegirlo demasiado grande aumenta la incertidumbre en , y reduce la potencia estadística de nuestro modelo. En general, la mejor elección de depende en gran medida de la forma particular de la cola inferior, representada por arriba.${\displaystyle x_{\min }}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle x_{\min }}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle x_{\min }}$${\displaystyle L(x)}$

Se puede encontrar más información sobre estos métodos y las condiciones en las que se pueden utilizar en ^[10] . Además, este artículo de revisión integral proporciona código utilizable (Matlab, Python, R y C++) para rutinas de estimación y prueba para distribuciones de ley de potencia.

Otro método para la estimación del exponente de la ley de potencia, que no supone datos independientes e idénticamente distribuidos (iid), utiliza la minimización del estadístico de Kolmogorov-Smirnov , , entre las funciones de distribución acumulativa de los datos y la ley de potencia:${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\underset {\alpha }{\operatorname {arg\,min} }}\,D_{\alpha }}$

con

${\displaystyle D_{\alpha }=\max _{x}|P_{\mathrm {emp} }(x)-P_{\alpha }(x)|}$

donde y denotan las funciones de distribución acumulada de los datos y la ley de potencia con exponente , respectivamente. Como este método no supone datos iid, proporciona una forma alternativa de determinar el exponente de la ley de potencia para conjuntos de datos en los que no se puede ignorar la correlación temporal. ^[5]${\displaystyle P_{\mathrm {emp} }(x)}$${\displaystyle P_{\alpha }(x)}$${\displaystyle \alpha }$

Este criterio ^[69] se puede aplicar para la estimación del exponente de la ley de potencia en el caso de distribuciones libres de escala y proporciona una estimación más convergente que el método de máxima verosimilitud. Se ha aplicado para estudiar distribuciones de probabilidad de aperturas de fracturas. En algunos contextos, la distribución de probabilidad se describe, no por la función de distribución acumulativa , sino por la frecuencia acumulativa de una propiedad X , definida como el número de elementos por metro (o unidad de área, segundo, etc.) para el que se aplica X  >  x , donde x es un número real variable. Como ejemplo, ^{[ cita requerida ]} la distribución acumulativa de la apertura de fractura, X , para una muestra de N elementos se define como 'el número de fracturas por metro que tienen una apertura mayor que x' . El uso de la frecuencia acumulativa tiene algunas ventajas, por ejemplo, permite poner en el mismo diagrama datos recopilados de líneas de muestra de diferentes longitudes a diferentes escalas (por ejemplo, de afloramiento y de microscopio).

Aunque las relaciones de ley de potencia son atractivas por muchas razones teóricas, demostrar que los datos efectivamente siguen una relación de ley de potencia requiere más que simplemente ajustar un modelo particular a los datos. ^[34] Esto es importante para comprender el mecanismo que da lugar a la distribución: distribuciones superficialmente similares pueden surgir por razones significativamente diferentes, y diferentes modelos producen diferentes predicciones, como la extrapolación.

Por ejemplo, las distribuciones log-normales a menudo se confunden con distribuciones de ley de potencia: ^[70] un conjunto de datos extraído de una distribución log-normal será aproximadamente lineal para valores grandes (lo que corresponde a que la cola superior de la log-normal esté cerca de una ley de potencia) ^{[ aclaración necesaria ]} , pero para valores pequeños la log-normal caerá significativamente (se inclinará hacia abajo), lo que corresponde a que la cola inferior de la log-normal sea pequeña (hay muy pocos valores pequeños, en lugar de muchos valores pequeños en una ley de potencia). ^{[ cita necesaria ]}

Por ejemplo, la ley de Gibrat sobre los procesos de crecimiento proporcional produce distribuciones que son log-normales, aunque sus gráficos log-log parecen lineales en un rango limitado. Una explicación de esto es que, aunque el logaritmo de la función de densidad log-normal es cuadrático en log( x ) , lo que produce una forma "arqueada" en un gráfico log-log, si el término cuadrático es pequeño en relación con el término lineal, entonces el resultado puede parecer casi lineal, y el comportamiento log-normal solo es visible cuando el término cuadrático domina, lo que puede requerir significativamente más datos. Por lo tanto, un gráfico log-log que está ligeramente "arqueado" hacia abajo puede reflejar una distribución log-normal, no una ley de potencia.

En general, muchas formas funcionales alternativas pueden parecer seguir una forma de ley de potencia en cierta medida. ^[71] Stumpf y Porter (2012) propusieron trazar la función de distribución acumulativa empírica en el dominio log-log y afirmaron que una ley de potencia candidata debería cubrir al menos dos órdenes de magnitud. ^[72] Además, los investigadores suelen tener que enfrentarse al problema de decidir si una distribución de probabilidad del mundo real sigue o no una ley de potencia. Como solución a este problema, Díaz ^[55] propuso una metodología gráfica basada en muestras aleatorias que permiten discernir visualmente entre diferentes tipos de comportamiento de cola. Esta metodología utiliza conjuntos de funciones cuantiles residuales, también llamadas funciones de vida residual percentil, que caracterizan muchos tipos diferentes de colas de distribución, incluidas tanto las colas pesadas como las no pesadas. Sin embargo, Stumpf y Porter (2012) afirmaron la necesidad de un trasfondo tanto estadístico como teórico para sustentar una ley de potencia en el mecanismo subyacente que impulsa el proceso de generación de datos. ^[72]

Un método para validar una relación de ley de potencias consiste en poner a prueba muchas predicciones ortogonales de un mecanismo generativo particular frente a datos. El simple ajuste de una relación de ley de potencias a un tipo particular de datos no se considera un enfoque racional. Por ello, la validación de afirmaciones de ley de potencias sigue siendo un campo de investigación muy activo en muchas áreas de la ciencia moderna. ^[10]

Notas

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• Benoit Mandelbrot y Richard Hudson: El mal comportamiento de los mercados (2004)
• Philip Ball: Masa crítica: cómo una cosa lleva a otra (2005)
• La tiranía de la ley de potencia del blog de econofísica
• Entonces, ¿crees que tienes una ley de potencia? ¿No es eso especial? de Three-Toed Sloth, el blog de Cosma Shalizi , profesora de Estadística en la Universidad Carnegie-Mellon.
• Script MATLAB simple que agrupa los datos para ilustrar distribuciones de ley de potencia (si las hay) en los datos.
• El servidor webgraph de Erdős Archivado el 1 de marzo de 2021 en Wayback Machine visualiza la distribución de los grados del webgraph en la página de descarga.