Función hipergeométrica

En matemáticas , la función hipergeométrica gaussiana u ordinaria ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) es una función especial representada por la serie hipergeométrica , que incluye muchas otras funciones especiales como casos específicos o límites . Es una solución de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal de segundo orden . Toda EDO lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares se puede transformar en esta ecuación.

Para consultar listas sistemáticas de algunas de las miles de identidades publicadas que involucran la función hipergeométrica, véanse las obras de referencia de Erdélyi et al. (1953) y Olde Daalhuis (2010). No se conoce ningún sistema para organizar todas las identidades; de hecho, no se conoce ningún algoritmo que pueda generar todas las identidades; se conocen varios algoritmos diferentes que generan distintas series de identidades. La teoría del descubrimiento algorítmico de identidades sigue siendo un tema de investigación activo.

El término "serie hipergeométrica" ​​fue utilizado por primera vez por John Wallis en su libro de 1655 Arithmetica Infinitorum .

Las series hipergeométricas fueron estudiadas por Leonhard Euler , pero el primer tratamiento sistemático completo lo dio Carl Friedrich Gauss  (1813).

Los estudios del siglo XIX incluyen los de Ernst Kummer  (1836) y la caracterización fundamental de Bernhard Riemann  (1857) de la función hipergeométrica mediante la ecuación diferencial que satisface.

Riemann demostró que la ecuación diferencial de segundo orden para ₂ F ₁ ( z ), examinada en el plano complejo, podía caracterizarse (en la esfera de Riemann ) por sus tres singularidades regulares .

Los casos donde las soluciones son funciones algebraicas fueron encontrados por Hermann Schwarz ( lista de Schwarz ).

La función hipergeométrica está definida para | z | < 1 por la serie de potencias

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}$$

No está definido (o es infinito) si c es igual a un entero no positivo . Aquí ( q ) _n es el símbolo de Pochhammer (ascendente) , ^{[nota 1]} que se define por:

$${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$$

La serie termina si a o b es un entero no positivo, en cuyo caso la función se reduce a un polinomio:

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$$

Para argumentos complejos z con | z | ≥ 1, se puede continuar analíticamente a lo largo de cualquier camino en el plano complejo que evite los puntos de ramificación 1 e infinito. En la práctica, la mayoría de las implementaciones informáticas de la función hipergeométrica adoptan un corte de ramificación a lo largo de la línea z  ≥ 1 .

Como c → − m , donde m es un entero no negativo, se tiene ₂ F ₁ ( z ) → ∞ . Dividiendo por el valor Γ( c ) de la función gamma , tenemos el límite:

$${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}$$

₂ F ₁ ( z ) es el tipo más común de serie hipergeométrica generalizada _p F _q , y a menudo se designa simplemente F ( z ) .

Utilizando la identidad , se demuestra que${\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$$

y de manera más general,

$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$$

Muchas de las funciones matemáticas comunes pueden expresarse en términos de la función hipergeométrica o como casos límite de la misma. Algunos ejemplos típicos son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ arbitrary}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}$$

Cuando a = 1 y b = c , la serie se reduce a una serie geométrica simple , es decir

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={}_{1}F_{0}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

De ahí el nombre de hipergeométrica . Esta función puede considerarse como una generalización de la serie geométrica .

La función hipergeométrica confluente (o función de Kummer) se puede dar como un límite de la función hipergeométrica

$${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$$

De modo que todas las funciones que son esencialmente casos especiales de la misma, como las funciones de Bessel , pueden expresarse como límites de funciones hipergeométricas. Entre ellas se incluyen la mayoría de las funciones de uso común en física matemática.

Las funciones de Legendre son soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden con 3 puntos singulares regulares, por lo que se pueden expresar en términos de la función hipergeométrica de muchas maneras, por ejemplo

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$$

Varios polinomios ortogonales, incluidos los polinomios de Jacobi P^(α,β)
_ny sus casos especiales , los polinomios de Legendre , los polinomios de Chebyshev , los polinomios de Gegenbauer y los polinomios de Zernike se pueden escribir en términos de funciones hipergeométricas utilizando

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$$

Otros polinomios que son casos especiales incluyen los polinomios de Krawtchouk , los polinomios de Meixner y los polinomios de Meixner-Pollaczek .

Dado , sea${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

$${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}$$

Entonces

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}$$

es la función lambda modular , donde

$${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}$$

La j-invariante , una función modular , es una función racional en .${\displaystyle \lambda (\tau )}$

Las funciones beta incompletas B _x ( p , q ) están relacionadas por

$${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}$$

Las integrales elípticas completas K y E están dadas por ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}$$

La función hipergeométrica es una solución de la ecuación diferencial hipergeométrica de Euler.

$${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$$

que tiene tres puntos singulares regulares : 0,1 e ∞. La generalización de esta ecuación a tres puntos singulares regulares arbitrarios se da mediante la ecuación diferencial de Riemann . Cualquier ecuación diferencial lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares se puede convertir en la ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variables.

Las soluciones de la ecuación diferencial hipergeométrica se construyen a partir de la serie hipergeométrica ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ). La ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes . En cada uno de los tres puntos singulares 0, 1, ∞, normalmente hay dos soluciones especiales de la forma x ^s por una función holomorfa de x , donde s es una de las dos raíces de la ecuación indicial y x es una variable local que se desvanece en un punto singular regular. Esto da 3 × 2 = 6 soluciones especiales, como sigue.

Alrededor del punto z  = 0, dos soluciones independientes son, si c no es un entero no positivo,

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$$

y, con la condición de que c no sea un entero,

$${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$$

Si c es un entero no positivo 1− m , entonces la primera de estas soluciones no existe y debe ser reemplazada por La segunda solución no existe cuando c es un entero mayor que 1, y es igual a la primera solución, o su reemplazo, cuando c es cualquier otro entero. Entonces, cuando c es un entero, se debe usar una expresión más complicada para una segunda solución, igual a la primera solución multiplicada por ln( z ), más otra serie en potencias de z , que involucra la función digamma . Ver Olde Daalhuis (2010) para detalles.${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$

Alrededor de z  = 1, si c  −  a  −  b no es un entero, uno tiene dos soluciones independientes

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$$

y

$${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$$

Alrededor de z  = ∞, si a  −  b no es un entero, uno tiene dos soluciones independientes

$${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$$

y

$${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$$

Nuevamente, cuando no se cumplen las condiciones de no integralidad, existen otras soluciones más complicadas.

Cualquiera de las 3 soluciones anteriores satisface una relación lineal ya que el espacio de soluciones es bidimensional, lo que da (⁶
₃) = 20 relaciones lineales entre ellas llamadas fórmulas de conexión .

Una ecuación fuchsiana de segundo orden con n puntos singulares tiene un grupo de simetrías que actúan (proyectivamente) sobre sus soluciones, isomorfo al grupo de Coxeter W( D _n ) de orden 2 ^{n −1} n !. La ecuación hipergeométrica es el caso n = 3, con grupo de orden 24 isomorfo al grupo simétrico en 4 puntos, como lo describió por primera vez Kummer . La aparición del grupo simétrico es accidental y no tiene análogo para más de 3 puntos singulares, y a veces es mejor pensar en el grupo como una extensión del grupo simétrico en 3 puntos (actuando como permutaciones de los 3 puntos singulares) por un 4-grupo de Klein (cuyos elementos cambian los signos de las diferencias de los exponentes en un número par de puntos singulares). El grupo de 24 transformaciones de Kummer se genera por las tres transformaciones que toman una solución F ( a , b ; c ; z ) a una de

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$

que corresponden a las transposiciones (12), (23) y (34) bajo un isomorfismo con el grupo simétrico en 4 puntos 1, 2, 3, 4. (La primera y la tercera de estas son en realidad iguales a F ( a , b ; c ; z ) mientras que la segunda es una solución independiente de la ecuación diferencial).

La aplicación de las transformaciones 24 = 6×4 de Kummer a la función hipergeométrica da las soluciones 6 = 2×3 anteriores correspondientes a cada uno de los 2 exponentes posibles en cada uno de los 3 puntos singulares, cada uno de los cuales aparece 4 veces debido a las identidades.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}$$

La ecuación diferencial hipergeométrica puede llevarse a la forma Q

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$$

haciendo la sustitución u = wv y eliminando el término de la primera derivada, se obtiene que

$${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$$

y v viene dada por la solución de

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$$

cual es

$${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$$

La forma Q es significativa en su relación con la derivada schwarziana (Hille 1976, pp. 307-401).

Los mapas de triángulos de Schwarz o funciones s de Schwarz son relaciones de pares de soluciones.

$${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$$

donde k es uno de los puntos 0, 1, ∞. La notación

$${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$$

También se utiliza a veces. Nótese que los coeficientes de conexión se convierten en transformaciones de Möbius en los mapas de triángulos.

Nótese que cada mapa de triángulo es regular en z ∈ {0, 1, ∞} respectivamente, con

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}$$y$${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$$

En el caso especial de λ, μ y ν reales, con 0 ≤ λ,μ,ν < 1, entonces las aplicaciones s son aplicaciones conformes del semiplano superior H a triángulos en la esfera de Riemann , delimitadas por arcos circulares. Esta aplicación es una generalización de la aplicación de Schwarz-Christoffel a triángulos con arcos circulares. Los puntos singulares 0,1 y ∞ se envían a los vértices del triángulo. Los ángulos del triángulo son πλ, πμ y πν respectivamente.

Además, en el caso de λ=1/ p , μ=1/ q y ν=1/ r para los números enteros p , q , r , entonces el triángulo recubre la esfera, el plano complejo o el semiplano superior según si λ + μ + ν – 1 es positivo, cero o negativo; y los s-mapas son funciones inversas de funciones automórficas para el grupo de triángulos〈p ,  q ,  r〉 = Δ( p ,  q ,  r ).

La monodromía de una ecuación hipergeométrica describe cómo cambian las soluciones fundamentales cuando se las continúa analíticamente alrededor de trayectorias en el plano z que regresan al mismo punto. Es decir, cuando la trayectoria gira alrededor de una singularidad de ₂ F ₁ , el valor de las soluciones en el punto final será diferente del punto inicial.

Dos soluciones fundamentales de la ecuación hipergeométrica están relacionadas entre sí mediante una transformación lineal; por lo tanto, la monodromía es una aplicación (homomorfismo de grupo):

$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$$

donde π ₁ es el grupo fundamental . En otras palabras, la monodromía es una representación lineal bidimensional del grupo fundamental. El grupo de monodromía de la ecuación es la imagen de este mapa, es decir, el grupo generado por las matrices de monodromía. La representación de monodromía del grupo fundamental se puede calcular explícitamente en términos de los exponentes en los puntos singulares. ^[2] Si (α, α'), (β, β') y (γ, γ') son los exponentes en 0, 1 e ∞, entonces, tomando z ₀ cerca de 0, los bucles alrededor de 0 y 1 tienen matrices de monodromía

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

dónde

$${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$$

Si 1− a , c − a − b , a − b son números racionales no enteros con denominadores k , l , m entonces el grupo de monodromía es finito si y solo si , véase la lista de Schwarz o el algoritmo de Kovacic .${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$

Si B es la función beta entonces

$${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$$

siempre que z no sea un número real tal que sea mayor o igual a 1. Esto se puede demostrar desarrollando (1 −  zx ) ^{− a} usando el teorema del binomio y luego integrando término por término para z con valor absoluto menor que 1, y por continuación analítica en el resto de los casos. Cuando z es un número real mayor o igual a 1, se debe usar la continuación analítica, porque (1 −  zx ) es cero en algún punto en el soporte de la integral, por lo que el valor de la integral puede estar mal definido. Esto fue dado por Euler en 1748 e implica las transformaciones hipergeométricas de Euler y Pfaff.

Otras representaciones, correspondientes a otras ramas , se dan tomando el mismo integrando, pero tomando como camino de integración un ciclo de Pochhammer cerrado que encierra las singularidades en varios órdenes. Tales caminos corresponden a la acción de monodromía .

Barnes utilizó la teoría de residuos para evaluar la integral de Barnes.

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$$

como

$${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$$

donde se dibuja el contorno para separar los polos 0, 1, 2... de los polos − a , − a  − 1, ..., − b , − b  − 1, ... . Esto es válido siempre que z no sea un número real no negativo.

La función hipergeométrica de Gauss se puede escribir como una transformada de John (Gelfand, Gindikin y Graev 2003, 2.1.2).

Las seis funciones

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$$

se llaman contiguas a ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) . Gauss demostró que ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) se puede escribir como una combinación lineal de cualquiera de sus dos funciones contiguas, con coeficientes racionales en términos de a , b , c y z . Esto da

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$$

relaciones, dadas al identificar dos líneas cualesquiera en el lado derecho de

$${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}$$

donde F = ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ), F ( a +) = ₂ F ₁ ( a + 1, b ; c ; z ) , y así sucesivamente. La aplicación repetida de estas relaciones da una relación lineal sobre C (z) entre tres funciones cualesquiera de la forma

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}$$

donde m , n y l son números enteros. ^[3]

Gauss utilizó las relaciones contiguas para dar varias formas de escribir un cociente de dos funciones hipergeométricas como una fracción continua, por ejemplo:

$${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$$

Las fórmulas de transformación relacionan dos funciones hipergeométricas en diferentes valores del argumento z .

La transformación de Euler es Se obtiene combinando las dos transformaciones de Pfaff que a su vez se derivan de la representación integral de Euler. Para la extensión de la primera y segunda transformaciones de Euler, véase Rathie y Paris (2007) y Rakha y Rathie (2011). También se puede escribir como combinación lineal$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$$

Si dos de los números 1 −  c , c  − 1, a  −  b , b  −  a , a  +  b  −  c , c  −  a  −  b son iguales o uno de ellos es 1/2 entonces existe una transformación cuadrática de la función hipergeométrica, relacionándola con un valor diferente de z relacionado por una ecuación cuadrática. Los primeros ejemplos fueron dados por Kummer (1836), y una lista completa fue dada por Goursat (1881). Un ejemplo típico es

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$$

Si 1− c , a − b , a + b − c difieren en signos o dos de ellos son 1/3 o −1/3 entonces existe una transformación cúbica de la función hipergeométrica, relacionándola con un valor diferente de z relacionado por una ecuación cúbica. Los primeros ejemplos fueron dados por Goursat (1881). Un ejemplo típico es

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$$

También existen algunas transformaciones de grado 4 y 6. Las transformaciones de otros grados solo existen si a , b y c son ciertos números racionales (Vidunas 2005). Por ejemplo,$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$$

Véase Slater (1966, Apéndice III) para obtener una lista de fórmulas de suma en puntos especiales, la mayoría de las cuales también aparecen en Bailey (1935). Gessel y Stanton (1982) ofrecen evaluaciones adicionales en más puntos. Koepf (1995) muestra cómo la mayoría de estas identidades pueden verificarse mediante algoritmos informáticos.

El teorema de suma de Gauss, llamado así por Carl Friedrich Gauss , es la identidad

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$$

que se deduce de la fórmula integral de Euler al poner z  = 1. Incluye la identidad de Vandermonde como un caso especial.

Para el caso especial donde , ${\displaystyle a=-m}$$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$$

La fórmula de Dougall generaliza esto a la serie hipergeométrica bilateral en z  = 1.

Existen muchos casos en los que las funciones hipergeométricas se pueden evaluar en z  = −1 utilizando una transformación cuadrática para cambiar z  = −1 a z  = 1 y luego utilizando el teorema de Gauss para evaluar el resultado. Un ejemplo típico es el teorema de Kummer, llamado así por Ernst Kummer :

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$$

que se desprende de las transformaciones cuadráticas de Kummer

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

y el teorema de Gauss, poniendo z  = −1 en la primera identidad. Para una generalización de la suma de Kummer, véase Lavoie, Grondin y Rathie (1996).

El segundo teorema de suma de Gauss es

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$$

El teorema de Bailey es

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$$

Para generalizaciones del segundo teorema de suma de Gauss y del teorema de suma de Bailey, véase Lavoie, Grondin y Rathie (1996).

Existen muchas otras fórmulas que dan la función hipergeométrica como un número algebraico en valores racionales especiales de los parámetros, algunas de las cuales se enumeran en Gessel y Stanton (1982) y Koepf (1995). Algunos ejemplos típicos se dan en

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$$

que puede reformularse como

$${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$$

siempre que −π < x < π y T es el polinomio de Chebyshev (generalizado) .

• Serie de Appell , una generalización de dos variables de la serie hipergeométrica
• Serie hipergeométrica básica donde la relación de términos es una función periódica del índice
• Las series hipergeométricas bilaterales _p H _p son similares a las series hipergeométricas generalizadas, pero se suman sobre todos los números enteros.
• Serie binomial ₁ F ₀
• Serie hipergeométrica confluente ₁ F ₁ ( a ; c ; z )
• Serie hipergeométrica elíptica donde la relación de términos es una función elíptica del índice
• Integral hipergeométrica de Euler , una representación integral de ₂ F ₁
• Función H de Fox , una extensión de la función G de Meijer
• Función de Fox-Wright , una generalización de la función hipergeométrica generalizada
• Solución de Frobenius a la ecuación hipergeométrica
• Función hipergeométrica general introducida por IM Gelfand .
• Serie hipergeométrica generalizada _p F _q donde la relación de términos es una función racional del índice
• Serie geométrica , donde la relación de términos es una constante
• Función de Heun , soluciones de EDO de segundo orden con cuatro puntos singulares regulares
• Función de Horn , 34 series hipergeométricas convergentes distintas en dos variables
• Serie de Humbert 7 funciones hipergeométricas de 2 variables
• Distribución hipergeométrica , una distribución de probabilidad discreta
• Función hipergeométrica de un argumento matricial , generalización multivariada de la serie hipergeométrica
• Función de Kampé de Fériet , serie hipergeométrica de dos variables
• Serie hipergeométrica de Lauricella , serie hipergeométrica de tres variables
• Función E de MacRobert , una extensión de la serie hipergeométrica generalizada _p F _q al caso p > q +1.
• Función G de Meijer , una extensión de la serie hipergeométrica generalizada _p F _q al caso p > q +1.
• Serie hipergeométrica modular , una forma terminal de la serie hipergeométrica elíptica
• Ecuación diferencial de Riemann , una generalización de la ecuación diferencial hipergeométrica.
• Serie hipergeométrica theta , un tipo especial de serie hipergeométrica elíptica.
• Bloques conformes de Virasoro , funciones especiales en la teoría de campos conformes bidimensionales que se reducen a funciones hipergeométricas en algunos casos.

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