Teoría clásica de campos covariantes

En física matemática , la teoría clásica de campos covariantes representa los campos clásicos mediante secciones de haces de fibras , y su dinámica se expresa en el contexto de un espacio de campos de dimensión finita . Hoy en día, es bien sabido que ^{[ cita requerida ]} los haces de chorro y el bicomplejo variacional son el dominio correcto para tal descripción. La variante hamiltoniana de la teoría clásica de campos covariantes es la teoría de campos hamiltonianos covariantes donde los momentos corresponden a las derivadas de las variables de campo con respecto a todas las coordenadas del mundo. La mecánica no autónoma se formula como teoría clásica de campos covariantes sobre haces de fibras sobre el eje del tiempo . ${\displaystyle \mathbb {R}}$

A continuación se ofrecen muchos ejemplos importantes de teorías clásicas de campos que son de interés para la teoría cuántica de campos. En particular, se trata de las teorías que conforman el modelo estándar de física de partículas. Estos ejemplos se utilizarán en el análisis de la formulación matemática general de la teoría clásica de campos.

• Teoría de campos escalares
  • Teoría de Klein-Gordon
• Teorías del espinor
  • Teoría de Dirac
  • Teoría de Weyl
  • Teoría de Majorana
• Teorías de calibre
  • Teoría de Maxwell
  • Teoría de Yang-Mills . Esta es la única teoría de la lista de teorías desacopladas que contiene interacciones: la teoría de Yang-Mills contiene autointeracciones.

• Acoplamiento de Yukawa : acoplamiento de campos escalares y espinoriales.
• Electrodinámica escalar / cromodinámica : acoplamiento de campos escalares y de calibre.
• Electrodinámica cuántica / cromodinámica : acoplamiento de los campos de espinor y de calibración. A pesar de que se las denomina teorías cuánticas, las lagrangianas pueden considerarse como las de una teoría clásica de campos.

Para formular una teoría de campo clásica, se necesitan las siguientes estructuras:

Un colector suave .${\estilo de visualización M}$

Esto se conoce como la variedad mundial (para enfatizar la variedad sin estructuras adicionales como una métrica), espacio-tiempo (cuando está equipado con una métrica lorentziana) o la variedad base para un punto de vista más geométrico.

El espacio-tiempo suele venir acompañado de una estructura adicional. Algunos ejemplos son:

• Métrica: una métrica (pseudo) riemanniana en .${\displaystyle \mathbf {g}}$${\estilo de visualización M}$
• Métrica hasta equivalencia conforme

así como la estructura requerida de una orientación, necesaria para una noción de integración sobre toda la variedad .${\estilo de visualización M}$

El espacio-tiempo puede admitir simetrías. Por ejemplo, si está dotado de una métrica , éstas son las isometrías de , generadas por los campos vectoriales de Killing . Las simetrías forman un grupo , los automorfismos del espacio-tiempo. En este caso los campos de la teoría deberían transformarse en una representación de .${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \mathbf {g}}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle {\text{Aut}}(M)}$${\displaystyle {\text{Aut}}(M)}$

Por ejemplo, para el espacio de Minkowski, las simetrías son el grupo de Poincaré .${\displaystyle {\text{Iso}}(1,3)}$

Un grupo de Lie que describe las simetrías (continuas) de los grados de libertad internos. El álgebra de Lie correspondiente a través de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie se denota como . Esto se conoce como el grupo de calibración .${\estilo de visualización G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un haz principal , también conocido como un -torsor. Esto a veces se escribe como ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización G}$

${\displaystyle P\xrightarrow {\pi } M}$

¿Dónde está el mapa de proyección canónica en y es la variedad base?${\estilo de visualización \pi}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización M}$

Aquí consideramos la conexión como una conexión principal . En la teoría de campos, esta conexión también se considera como una derivada covariante cuya acción sobre varios campos se define más adelante.${\displaystyle \nabla}$

Se denota una conexión principal como una forma 1-valorada en P que satisface las condiciones técnicas de 'proyección' y 'equivariancia derecha': los detalles se encuentran en el artículo sobre conexión principal.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Bajo una trivialización, esto se puede escribir como un campo de calibración local , una forma 1 con valor − en un parche de trivialización . Es esta forma local de la conexión la que se identifica con los campos de calibración en física. Cuando la variedad base es plana, hay simplificaciones que eliminan esta sutileza.${\displaystyle A_{\mu}(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U\subconjunto M}$${\estilo de visualización M}$

Un fibrado vectorial asociado al fibrado principal a través de una representación${\displaystyle E\xrightarrow {\pi } M}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización \rho .}$

Para completar, dada una representación , la fibra de es .${\displaystyle (V,G,\rho )}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización V}$

Un campo o campo de materia es una sección de un fibrado vectorial asociado. El conjunto de estos, junto con los campos de calibración, constituye el contenido de materia de la teoría.

Un lagrangiano : dado un haz de fibras , el lagrangiano es una función .${\estilo de visualización L}$${\displaystyle E'\xrightarrow {\pi } M}$${\displaystyle L:E'\rightarrow \mathbb {R}}$

Supongamos que el contenido de materia viene dado por secciones de con fibra desde arriba. Entonces, por ejemplo, más concretamente podemos considerar que es un fibrado donde la fibra en es . Esto permite entonces ser visto como un funcional de un campo.${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización E'}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle V\o veces T_{p}^{*}M}$${\estilo de visualización L}$

Esto completa los prerrequisitos matemáticos para un gran número de teorías interesantes, incluidas aquellas dadas en la sección de ejemplos anterior.

Cuando la variedad base es plana, es decir, el espacio ( pseudo ) euclidiano , hay muchas simplificaciones útiles que hacen que las teorías sean conceptualmente menos difíciles de abordar.${\estilo de visualización M}$

Las simplificaciones provienen de la observación de que el espacio-tiempo plano es contráctil: es entonces un teorema en topología algebraica que cualquier haz de fibras sobre plano es trivial.${\estilo de visualización M}$

En particular, esto nos permite elegir una trivialización global de y, por lo tanto, identificar la conexión globalmente como un campo de calibre.${\estilo de visualización P}$${\displaystyle A_{\mu }.}$

Además, existe una conexión trivial que nos permite identificar fibrados vectoriales asociados como , y entonces no necesitamos ver los campos como secciones sino simplemente como funciones . En otras palabras, los fibrados vectoriales en diferentes puntos son comparables. Además, para el espacio-tiempo plano la conexión de Levi-Civita es la conexión trivial en el fibrado de marco .${\displaystyle A_{0,\mu}}$${\displaystyle E=M\veces V}$${\displaystyle M\flecha derecha V}$

Entonces, la derivada covariante del espacio-tiempo en campos tensoriales o de espín-tensor es simplemente la derivada parcial en coordenadas planas. Sin embargo, la derivada covariante de calibración puede requerir una conexión no trivial que se considera el campo de calibración de la teoría.${\displaystyle A_{\mu}}$

En una curvatura gravitacional débil, el espacio-tiempo plano suele servir como una buena aproximación al espacio-tiempo débilmente curvado. Para la experimentación, esta aproximación es buena. El Modelo Estándar se define en un espacio-tiempo plano y ha producido las pruebas de precisión más precisas de la física hasta la fecha.

• Teoría clásica de campos
• Álgebra exterior
• Sistema lagrangiano
• Bicomplejo variacional
• Teoría cuántica de campos
• Mecánica no autónoma
• Campo de Higgs (clásico)

• Saunders, DJ, "La geometría de los haces de chorro", Cambridge University Press, 1989, ISBN  0-521-36948-7
• Bocharov, AV [et al.] "Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X 
• De Leon, M., Rodrigues, PR, "Mecánica clásica generalizada y teoría de campos", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3 
• Griffiths, PA, "Sistemas diferenciales exteriores y cálculo de variaciones", Boston: Birkhäuser, 1983, ISBN 3-7643-3103-8 
• Gotay, MJ, Isenberg, J., Marsden, JE, Montgomery R., Mapas de momento y campos clásicos Parte I: Teoría de campos covariantes , noviembre de 2003 arXiv :physics/9801019
• Echeverría-Enríquez, A., Munoz-Lecanda, MC, Roman-Roy, M., Geometría de las teorías de campos clásicos de primer orden de Lagrange , mayo de 1995 arXiv :dg-ga/9505004
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , "Teoría de campos clásica avanzada", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 ( arXiv :0811.0331)