Curva tautocrona

Una curva tautocrona o curva isócrona (del griego antiguo ταὐτό (tauto-)  'mismo' ἴσος (isos-)  'igual' y χρόνος (chronos)  'tiempo') es la curva para la cual el tiempo que tarda un objeto en deslizarse sin fricción en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida en la curva. La curva es una cicloide , y el tiempo es igual a π por la raíz cuadrada del radio (del círculo que genera la cicloide) sobre la aceleración de la gravedad . La curva tautocrona está relacionada con la curva braquistócrona , que también es una cicloide.

El problema de la tautocrona, el intento de identificar esta curva, fue resuelto por Christiaan Huygens en 1659. Demostró geométricamente en su Horologium Oscillatorium , publicado originalmente en 1673, que la curva es una cicloide .

En una cicloide cuyo eje se erige sobre la perpendicular y cuyo vértice está situado en la parte inferior, los tiempos de descenso, en los que un cuerpo llega al punto más bajo del vértice después de haber partido de un punto cualquiera de la cicloide, son iguales entre sí... ^[1]

La cicloide está dada por un punto en un círculo de radio que traza una curva a medida que el círculo rueda a lo largo del eje, como:${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización x}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta -\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta ),\end{aligned}}}$$

Huygens también demostró que el tiempo de descenso es igual al tiempo que tarda un cuerpo en caer verticalmente la misma distancia que el diámetro del círculo que genera la cicloide, multiplicado por . En términos modernos, esto significa que el tiempo de descenso es , donde es el radio del círculo que genera la cicloide, y es la gravedad de la Tierra , o más exactamente, la aceleración gravitatoria de la Tierra.${\estilo de visualización \pi /2}$${\textstyle \pi {\sqrt {r/g}}}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización g}$

Esta solución se utilizó posteriormente para resolver el problema de la curva braquistócrona . Johann Bernoulli resolvió el problema en un artículo ( Acta Eruditorum , 1697).

Huygens estudió más de cerca el problema de la tautocrona cuando se dio cuenta de que un péndulo, que sigue una trayectoria circular, no era isócrono y, por lo tanto, su reloj de péndulo marcaría un tiempo diferente según la distancia que oscilara el péndulo. Después de determinar la trayectoria correcta, Christiaan Huygens intentó crear relojes de péndulo que usaran una cuerda para suspender el peso y las mejillas de la curva cerca de la parte superior de la cuerda para cambiar la trayectoria hacia la curva de la tautocrona. Estos intentos resultaron inútiles por varias razones. En primer lugar, la curvatura de la cuerda provoca fricción, lo que cambia el tiempo. En segundo lugar, había fuentes mucho más significativas de errores de sincronización que superaban cualquier mejora teórica que ayudara a moverse sobre la curva de la tautocrona. Finalmente, el "error circular" de un péndulo disminuye a medida que disminuye la longitud de la oscilación, por lo que mejores escapes de reloj podrían reducir en gran medida esta fuente de inexactitud.

Más tarde, los matemáticos Joseph Louis Lagrange y Leonhard Euler proporcionaron una solución analítica al problema.

Para un oscilador armónico simple liberado desde el reposo, independientemente de su desplazamiento inicial, el tiempo que tarda en alcanzar el punto de energía potencial más bajo es siempre un cuarto de su período, que es independiente de su amplitud. Por lo tanto, el lagrangiano de un oscilador armónico simple es isócrono .

En el problema de la tautocrona, si la posición de la partícula está parametrizada por la longitud de arco s ( t ) desde el punto más bajo, la energía cinética es proporcional a , y la energía potencial es proporcional a la altura h ( s ) . Una forma en que la curva en el problema de la tautocrona puede ser una isócrona es si el lagrangiano es matemáticamente equivalente a un oscilador armónico simple; es decir, la altura de la curva debe ser proporcional a la longitud de arco al cuadrado:${\displaystyle {\punto {s}}^{2}}$

${\displaystyle h(s)=s^{2}/(8r),}$

donde la constante de proporcionalidad es . Comparada con la lagrangiana del oscilador armónico simple , la constante de resorte equivalente es , y el tiempo de descenso es Sin embargo, el significado físico de la constante no está claro hasta que determinamos la ecuación analítica exacta de la curva.${\displaystyle 1/(8r)}$${\displaystyle k=mg/(4r)}$${\displaystyle T/4={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {m}{k}}}=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$${\displaystyle r}$

Para resolver la ecuación analítica de la curva, tenga en cuenta que la forma diferencial de la relación anterior es

${\displaystyle {\begin{aligned}dh&=s\,ds/(4r),\\dh^{2}&=s^{2}\,ds^{2}/(16r^{2})=h\left(dx^{2}+dh^{2}\right)/(2r),\\\left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}&={\frac {2r}{h}}-1\end{aligned}}}$

que elimina s y deja una ecuación diferencial para dx y dh . Esta es la ecuación diferencial para una cicloide cuando la coordenada vertical h se cuenta desde su vértice (el punto con una tangente horizontal) en lugar de la cúspide .

Para encontrar la solución, integre para x en términos de h :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dh}}&=-{\frac {\sqrt {2r-h}}{\sqrt {h}}},\\x&=-4r\int {\sqrt {1-u^{2}}}\,du,\end{aligned}}}$

donde , y la altura disminuye a medida que la partícula avanza . Esta integral es el área bajo un círculo, que se puede calcular con otra sustitución y obtener:${\displaystyle u={\sqrt {h/(2r)}}}$${\displaystyle dx/dh<0}$${\displaystyle u=\cos(t/2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t),\\h&=r(1+\cos t).\end{aligned}}}$

Esta es la parametrización estándar de una cicloide con . Es interesante observar que la longitud del arco al cuadrado es igual a la diferencia de altura multiplicada por la longitud total del arco .${\displaystyle h=2r-y}$${\displaystyle 8r}$

La solución más simple al problema de la tautocrona es notar una relación directa entre el ángulo de una pendiente y la gravedad que siente una partícula en la pendiente. Una partícula en una pendiente vertical de 90° experimenta una aceleración gravitacional completa , mientras que una partícula en un plano horizontal experimenta una aceleración gravitacional cero. En ángulos intermedios, la aceleración debida a la "gravedad virtual" por la partícula es . Nótese que se mide entre la tangente a la curva y la horizontal, y los ángulos por encima de la horizontal se tratan como ángulos positivos. Por lo tanto, varía de a .${\displaystyle g}$${\displaystyle g\sin \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle -\pi /2}$${\displaystyle \pi /2}$

La posición de una masa medida a lo largo de una curva tautocrona, , debe obedecer la siguiente ecuación diferencial:${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}=-\omega ^{2}s}$

que, junto con las condiciones iniciales y , tiene solución:${\displaystyle s(0)=s_{0}}$${\displaystyle s'(0)=0}$

${\displaystyle s(t)=s_{0}\cos \omega t}$

Se puede verificar fácilmente que esta solución resuelve la ecuación diferencial y que una partícula alcanzará un tiempo desde cualquier posición inicial . El problema ahora es construir una curva que haga que la masa obedezca el movimiento anterior. La segunda ley de Newton muestra que la fuerza de gravedad y la aceleración de la masa están relacionadas por:${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \pi /2\omega }$${\displaystyle s_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-g\sin \theta &={\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}\\&=-\omega ^{2}s\,\end{aligned}}}$

La aparición explícita de la distancia, , es problemática, pero podemos diferenciarla para obtener una forma más manejable:${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g\cos \theta \,d\theta &=\omega ^{2}\,ds\\\Longrightarrow ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \end{aligned}}}$

Esta ecuación relaciona el cambio en el ángulo de la curva con el cambio en la distancia a lo largo de la curva. Ahora usamos trigonometría para relacionar el ángulo con las longitudes diferenciales y :${\displaystyle \theta }$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle ds}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds={\frac {dx}{\cos \theta }}\\ds={\frac {dy}{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

Reemplazar con en la ecuación anterior nos permite resolver en términos de :${\displaystyle ds}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dx}{\cos \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dx&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\left(\cos 2\theta +1\right)d\theta \\x&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\left(\sin 2\theta +2\theta \right)+C_{x}\end{aligned}}}$

Asimismo, también podemos expresar en términos de y resolver en términos de :${\displaystyle ds}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dy}{\sin \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dy&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\sin \theta \cos \theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\sin 2\theta \,d\theta \\y&=-{\frac {g}{4\omega ^{2}}}\cos 2\theta +C_{y}\end{aligned}}}$

Sustituyendo y , vemos que estas ecuaciones paramétricas para y son las de un punto en un círculo de radio que rueda a lo largo de una línea horizontal (una cicloide ), con el centro del círculo en las coordenadas :${\displaystyle \phi =2\theta }$${\textstyle r={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (C_{x}+r\phi ,C_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\sin \phi +\phi \right)+C_{x}\\y&=-r\cos \phi +C_{y}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que el rango va desde . Es habitual establecer y de forma que el punto más bajo de la curva coincida con el origen. Por lo tanto:${\displaystyle \phi }$${\displaystyle -\pi \leq \phi \leq \pi }$${\displaystyle C_{x}=0}$${\displaystyle C_{y}=r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\phi +\sin \phi \right)\\y&=r\left(1-\cos \phi \right)\\\end{aligned}}}$

Resolviendo y recordando que es el tiempo necesario para el descenso, siendo un cuarto de un ciclo completo, encontramos el tiempo de descenso en términos del radio :${\displaystyle \omega }$${\displaystyle T={\frac {\pi }{2\omega }}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\\\omega &={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{r}}}\\T&=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}\\\end{aligned}}}$

(Basado libremente en Proctor , págs. 135-139)

Niels Henrik Abel abordó una versión generalizada del problema de la tautocrona ( problema mecánico de Abel ), es decir, dada una función que especifica el tiempo total de descenso para una altura de partida dada, encuentre una ecuación de la curva que arroje este resultado. El problema de la tautocrona es un caso especial del problema mecánico de Abel cuando es una constante.${\displaystyle T(y)}$${\displaystyle T(y)}$

La solución de Abel comienza con el principio de conservación de la energía : dado que la partícula no tiene fricción y, por lo tanto, no pierde energía en forma de calor , su energía cinética en cualquier punto es exactamente igual a la diferencia en la energía potencial gravitatoria desde su punto de partida. La energía cinética es , y dado que la partícula está obligada a moverse a lo largo de una curva, su velocidad es simplemente , donde es la distancia medida a lo largo de la curva. Del mismo modo, la energía potencial gravitatoria ganada al caer desde una altura inicial a una altura es , por lo tanto:${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$${\displaystyle {d\ell }/{dt}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle mg(y_{0}-y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}m\left({\frac {d\ell }{dt}}\right)^{2}&=mg(y_{0}-y)\\{\frac {d\ell }{dt}}&=\pm {\sqrt {2g(y_{0}-y)}}\\dt&=\pm {\frac {d\ell }{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\\dt&=-{\frac {1}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy\end{aligned}}}$

En la última ecuación, hemos anticipado escribir la distancia restante a lo largo de la curva como una función de la altura ( , reconocido que la distancia restante debe disminuir a medida que aumenta el tiempo (de ahí el signo menos) y utilizado la regla de la cadena en la forma .${\displaystyle \ell (y))}$${\textstyle d\ell ={\frac {d\ell }{dy}}dy}$

Ahora integramos de a para obtener el tiempo total requerido para que la partícula caiga:${\displaystyle y=y_{0}}$${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle T(y_{0})=\int _{y=y_{0}}^{y=0}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {y_{0}-y}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy}$

Esta ecuación se denomina ecuación integral de Abel y nos permite calcular el tiempo total que necesita una partícula para caer a lo largo de una curva dada (cuyo cálculo sería fácil). Pero el problema mecánico de Abel requiere la inversa: dado , deseamos encontrar , de la que se deduciría una ecuación para la curva de manera sencilla. Para continuar, observamos que la integral de la derecha es la convolución de con y, por lo tanto, tomamos la transformada de Laplace de ambos lados con respecto a la variable :${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$${\displaystyle T(y_{0})\,}$${\displaystyle f(y)={d\ell }/{dy}}$${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$${\displaystyle {1}/{\sqrt {y}}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={\frac {1}{\sqrt {2g}}}{\mathcal {L}}\left[{\frac {1}{\sqrt {y}}}\right]F(s)}$

donde . Dado que , ahora tenemos una expresión para la transformada de Laplace de en términos de la transformada de Laplace de :${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}{\left[{d\ell }/{dy}\right]}}$${\textstyle {\mathcal {L}}{\left[{1}/{\sqrt {y}}\right]}={\sqrt {{\pi }/{s}}}}$${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$${\displaystyle T(y_{0})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T(y_{0})]}$

Esto es lo más lejos que podemos llegar sin especificar . Una vez que se conoce , podemos calcular su transformada de Laplace, calcular la transformada de Laplace de y luego tomar la transformada inversa (o intentar) para encontrar .${\displaystyle T(y_{0})}$${\displaystyle T(y_{0})}$${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$

Para el problema de la tautocrona, es constante. Como la transformada de Laplace de 1 es , es decir, , encontramos la función de forma :${\displaystyle T(y_{0})=T_{0}\,}$${\displaystyle {1}/{s}}$${\textstyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={T_{0}}/{s}}$${\textstyle f(y)={d\ell }/{dy}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)={\mathcal {L}}{\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]}&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T_{0}]\\&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}T_{0}s^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

Utilizando nuevamente la transformada de Laplace anterior, invertimos la transformada y concluimos:

${\displaystyle {\frac {d\ell }{dy}}=T_{0}{\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {y}}}}$

Se puede demostrar que la cicloide obedece a esta ecuación. Se necesita un paso más para realizar la integral con respecto a para obtener la expresión de la forma de la trayectoria.${\displaystyle y}$

( Simmons , Sección 54).

• Identidad de Beltrami
• Curva braquistócrona
• Cálculo de variaciones
• De cadena
• Cicloide
• Movimiento uniformemente acelerado

• Simmons, George (1972). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas . McGraw-Hill. ISBN 0-07-057540-1.
• Proctor, Richard Anthony (1878). Tratado sobre la cicloide y todas las formas de curvas cicloidales, y sobre el uso de dichas curvas para estudiar los movimientos de los planetas, cometas, etc., y de la materia proyectada desde el Sol.

• Mundo matemático