Lógica de términos

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En lógica y semántica formal , el término lógica , también conocido como lógica tradicional , lógica silogística o lógica aristotélica , es un nombre vago para un enfoque de la lógica formal que comenzó con Aristóteles y fue desarrollado en la historia antigua principalmente por sus seguidores, los peripatéticos . Fue revivido después del siglo III d. C. por la Isagoge de Porfirio .

El término lógica revivió en la época medieval , primero en la lógica islámica por Alpharabius en el siglo X, y más tarde en la Europa cristiana en el siglo XII con el advenimiento de la nueva lógica , permaneciendo dominante hasta el advenimiento de la lógica de predicados a fines del siglo XIX.

Sin embargo, aunque eclipsada por los sistemas lógicos más nuevos, la lógica de términos sigue desempeñando un papel importante en el estudio de la lógica. En lugar de romper radicalmente con la lógica de términos, las lógicas modernas suelen ampliarla.

La obra lógica de Aristóteles se recoge en los seis textos que se conocen colectivamente como el Organon . Dos de estos textos en particular, a saber, los Analíticos prioritarios y De Interpretatione , contienen el núcleo del tratamiento de Aristóteles de los juicios y la inferencia formal , y es principalmente esta parte de las obras de Aristóteles la que trata de la lógica de los términos . El trabajo moderno sobre la lógica de Aristóteles se basa en la tradición iniciada en 1951 con el establecimiento por parte de Jan Lukasiewicz de un paradigma revolucionario. ^[1] El enfoque de Lukasiewicz fue revigorizado a principios de la década de 1970 por John Corcoran y Timothy Smiley , lo que informa las traducciones modernas de los Analíticos prioritarios de Robin Smith en 1989 y de Gisela Striker en 2009. ^[2]

Los Analíticos Primeros representan el primer estudio formal de la lógica, donde la lógica se entiende como el estudio de los argumentos. Un argumento es una serie de afirmaciones verdaderas o falsas que conducen a una conclusión verdadera o falsa. ^[3] En los Analíticos Primeros , Aristóteles identifica formas válidas e inválidas de argumentos llamados silogismos. Un silogismo es un argumento que consta de al menos tres oraciones: al menos dos premisas y una conclusión. Aunque Aristóteles no las llama " oraciones categóricas ", la tradición sí lo hace; las trata brevemente en los Analíticos y más extensamente en Sobre la interpretación . ^[4] Cada proposición (afirmación que es un pensamiento del tipo expresable por una oración declarativa) ^[5] de un silogismo es una oración categórica que tiene un sujeto y un predicado conectados por un verbo. La forma habitual de conectar el sujeto y el predicado de una oración categórica, como hace Aristóteles en Sobre la interpretación, es mediante un verbo de enlace, por ejemplo, P es S. Sin embargo, en los Analíticos previos, Aristóteles rechaza la forma habitual en favor de tres de sus invenciones:

• P pertenece a S
• P se predica de S
• P se dice de S

Aristóteles no explica por qué introduce estas expresiones innovadoras, pero los estudiosos conjeturan que la razón puede haber sido que facilita el uso de letras en lugar de términos evitando la ambigüedad que resulta en griego cuando se usan letras con el verbo de enlace. ^[6] En su formulación de proposiciones silogísticas, en lugar de la cópula ("Todos/algunos... son/no son..."), Aristóteles usa la expresión, "... pertenece a/no pertenece a todos/algunos..." o "... se dice/no se dice de todos/algunos..." ^[7] Hay cuatro tipos diferentes de oraciones categóricas: afirmativa universal (A), negativa universal (E), afirmativa particular (I) y negativa particular (O).

• A - A pertenece a cada B
• E - A no pertenece a ningún B
• I - A pertenece a algún B
• O - A no pertenece a algún B

Un método de simbolización que se originó y se utilizó en la Edad Media simplifica enormemente el estudio de los Analíticos. Siguiendo esta tradición, veamos:

a = pertenece a todos

e = no pertenece a nadie

i = pertenece a algún

o = no pertenece a alguna

Las oraciones categóricas pueden abreviarse de la siguiente manera:

AaB = A pertenece a cada B (Cada B es A)

AeB = A no pertenece a ningún B (Ningún B es A)

AiB = A pertenece a algún B (Algún B es A)

AoB = A no pertenece a algún B (Algún B no es A)

Desde el punto de vista de la lógica moderna, sólo unos pocos tipos de oraciones pueden representarse de esta manera. ^[8]

El supuesto fundamental detrás de la teoría es que el modelo formal de proposiciones se compone de dos símbolos lógicos llamados términos – de ahí el nombre de “teoría de dos términos” o “lógica de términos” – y que el proceso de razonamiento a su vez se construye a partir de proposiciones:

• El término es una parte del discurso que representa algo, pero que no es verdadero ni falso en sí mismo, como "hombre" o "mortal". Tal como se concibió originalmente, todos los términos se extraerían de una de las diez categorías enumeradas por Aristóteles en su Organon , clasificando todos los objetos y cualidades dentro del dominio del discurso lógico.
• El modelo formal de proposición consta de dos términos, uno de los cuales, el " predicado ", es "afirmado" o "negado" del otro, el " sujeto ", y que es capaz de verdad o falsedad .
• El silogismo es una inferencia en la que una proposición (la " conclusión ") se sigue necesariamente de otras dos proposiciones (las " premisas ").

Una proposición puede ser universal o particular, afirmativa o negativa. Tradicionalmente, los cuatro tipos de proposiciones son:

• Tipo A: Universal y afirmativo (“Todos los filósofos son mortales”)
• Tipo E: Universal y negativo (“No todos los filósofos son mortales”)
• Tipo I: Particular y afirmativo (“Algunos filósofos son mortales”)
• Tipo O: Particular y negativo (“Algunos filósofos no son mortales”)

Esto se denominó el esquema cuádruple de proposiciones (véase tipos de silogismo para una explicación de las letras A, I, E y O en el cuadrado tradicional). Sin embargo, el cuadrado de oposición original de Aristóteles no carece de importancia existencial .

El término (del griego ὅρος horos ) es el componente básico de la proposición. El significado original del horos (y también del latín terminus ) es "extremo" o "límite". Los dos términos se encuentran en el exterior de la proposición, unidos por el acto de afirmación o negación.

Para los lógicos modernos tempranos como Arnauld (cuya Lógica de Port-Royal fue el texto más conocido de su época), es una entidad psicológica como una "idea" o un " concepto ". Mill lo considera una palabra. Afirmar que "todos los griegos son hombres" no significa decir que el concepto de griegos sea el concepto de hombres, o que la palabra "griegos" sea la palabra "hombres". Una proposición no puede construirse a partir de cosas reales o ideas, pero tampoco son sólo palabras sin sentido.

En lógica, una "proposición" es simplemente una forma de lenguaje : un tipo particular de oración , en la que el sujeto y el predicado se combinan para afirmar algo verdadero o falso. No es un pensamiento ni una entidad abstracta . La palabra "propositio" proviene del latín y significa la primera premisa de un silogismo . Aristóteles usa la palabra premisa ( prótasis ) como una oración que afirma o niega una cosa u otra ( Posterior Analytics 1. 1 24a 16), por lo que una premisa también es una forma de palabras.

Sin embargo, como en la lógica filosófica moderna, significa aquello que se afirma mediante la oración. Los escritores anteriores a Frege y Russell , como Bradley , a veces hablaban del "juicio" como algo distinto de una oración, pero esto no es exactamente lo mismo. Como confusión adicional, la palabra "oración" deriva del latín, que significa una opinión o juicio , y por lo tanto es equivalente a " proposición ".

La cualidad lógica de una proposición es si es afirmativa (se afirma el predicado del sujeto) o negativa (se niega el predicado del sujeto). Así, todo filósofo es mortal es afirmativa, puesto que se afirma universalmente la mortalidad de los filósofos, mientras que ningún filósofo es mortal es negativa al negar dicha mortalidad en particular.

La cantidad de una proposición es si es universal (se afirma o se niega el predicado de todos los sujetos o del "todo") o particular (se afirma o se niega el predicado de algún sujeto o de una "parte" de él). En caso de que se suponga un significado existencial , la cuantificación implica la existencia de al menos un sujeto, a menos que se niegue.

Para Aristóteles, la distinción entre singular ^{[ cita requerida ]} y universal es una distinción metafísica fundamental , y no meramente gramatical . Un término singular para Aristóteles es sustancia primaria , que sólo puede predicarse de sí misma: (este) "Calias" o (este) "Sócrates" no son predicables de ninguna otra cosa, por lo que no se dice todo Sócrates, sino todo ser humano ( De Int. 7; Meta. D9, 1018a4). Puede figurar como predicado gramatical, como en la oración "la persona que viene por aquí es Calias". Pero sigue siendo un sujeto lógico .

Contrasta la sustancia secundaria universal ( katholou ) ^[9] , los géneros, con la sustancia primaria, los especímenes particulares ( kath' hekaston ) ^{[9] [10] . La naturaleza formal de} los universales , en la medida en que pueden generalizarse "siempre, o en su mayor parte", es objeto de estudio tanto científico como de lógica formal. ^[11]

La característica esencial del silogismo es que, de los cuatro términos de las dos premisas, uno debe aparecer dos veces.

Todos los griegos son hombres

Todos los hombres son mortales.

El sujeto de una premisa debe ser el predicado de la otra, y por eso es necesario eliminar de la lógica todos los términos que no puedan funcionar a la vez como sujeto y predicado, es decir, los términos singulares.

Sin embargo, en una versión popular del silogismo del siglo XVII, la Lógica de Port-Royal , los términos singulares se trataban como universales: ^[12]

Todos los hombres son mortales.

Todos los Sócrates son hombres

Todos los Sócrates son mortales.

Esto es claramente extraño, una debilidad explotada por Frege en su devastador ataque al sistema.

El famoso silogismo «Sócrates es un hombre...», se cita con frecuencia como si fuera de Aristóteles, ^[13] pero, de hecho, no aparece en ninguna parte del Organon . Sexto Empírico en su Hyp. Pyrrh (Esquemas del pirronismo) ii. 164 menciona por primera vez el silogismo relacionado «Sócrates es un ser humano, todo ser humano es un animal, por lo tanto, Sócrates es un animal».

Según la posición del término medio, Aristóteles divide el silogismo en tres tipos: silogismo en primera, segunda y tercera figura. ^[14] Si el Término Medio es sujeto de una premisa y predicado de la otra, las premisas están en la Primera Figura. Si el Término Medio es predicado de ambas premisas, las premisas están en la Segunda Figura. Si el Término Medio es sujeto de ambas premisas, las premisas están en la Tercera Figura. ^[15]

Simbólicamente, las Tres Figuras pueden representarse de la siguiente manera: ^[16]

En la silogística aristotélica ( Prior Analytics , Libro I, capítulos 4-7), los silogismos se dividen en tres figuras según la posición del término medio en las dos premisas. La cuarta figura, en la que el término medio es el predicado en la premisa mayor y el sujeto en la menor, fue añadida por el discípulo de Aristóteles, Teofrasto , y no aparece en la obra de Aristóteles, aunque hay pruebas de que Aristóteles conocía los silogismos de cuarta figura. ^[17]

En los Analíticos Priores traducidos por AJ Jenkins tal como aparecen en el volumen 8 de los Grandes Libros del Mundo Occidental, Aristóteles dice de la Primera Figura: "... Si A se predica de todo B, y B de todo C, A debe predicarse de todo C." ^[18] En los Analíticos Priores traducidos por Robin Smith, Aristóteles dice de la primera figura: "... Porque si A se predica de todo B y B de todo C, es necesario que A se predique de todo C." ^[19]

Tomando a = se predica de todos = se predica de cada , y utilizando el método simbólico utilizado en la Edad Media, entonces la primera figura se simplifica a: ^[20]

Si AaB

y BaC

luego AaC.

O lo que viene a ser lo mismo:

AaB, BaC; por lo tanto AaC

Cuando las cuatro proposiciones silogísticas, a, e, i, o se colocan en la primera figura, Aristóteles llega a las siguientes formas válidas de deducción para la primera figura:

AaB, BaC; por lo tanto, AaC

AeB, BaC; por lo tanto, AeC

AaB, BiC; por lo tanto, AiC

AeB, BiC; por lo tanto, AoC

En la Edad Media, por razones mnemotécnicas se les llamaba “Barbara”, “Celarent”, “Darii” y “Ferio” respectivamente. ^[21]

La diferencia entre la primera figura y las otras dos figuras es que el silogismo de la primera figura es completo mientras que el de la segunda y la tercera no lo es. Esto es importante en la teoría aristotélica del silogismo, ya que la primera figura es axiomática mientras que la segunda y la tercera requieren demostración. La demostración de la segunda y la tercera figuras siempre conduce de nuevo a la primera figura. ^[22]

Esto es lo que Robin Smith dice en inglés que Aristóteles dijo en griego antiguo: "... Si M pertenece a todo N pero no a ningún X, entonces tampoco N pertenecerá a ningún X. Porque si M no pertenece a ningún X, tampoco X pertenece a ningún M; pero M pertenecía a todo N; por lo tanto, X no pertenecerá a ningún N (porque la primera figura ha vuelto a aparecer)." ^[23]

La afirmación anterior se puede simplificar utilizando el método simbólico utilizado en la Edad Media:

Si Man

pero MeX

Luego NeX.

Por si MeX

entonces XeM

pero hombre

Por lo tanto XeN.

Cuando las cuatro proposiciones silogísticas, a, e, i, o se colocan en la segunda figura, Aristóteles llega a las siguientes formas válidas de deducción para la segunda figura:

MaN, MeX; por lo tanto NeX

MeN, MaX; por lo tanto NeX

MeN, MiX; por lo tanto NoX

MaN, MoX; por lo tanto NoX

En la Edad Media, por razones mnemotécnicas se les llamaba respectivamente “Camestres”, “Cesare”, “Festino” y “Baroco”. ^[24]

Aristóteles dice en los Analíticos: “Si un término pertenece a todos y otro a ninguno de la misma cosa, o si ambos pertenecen a todos o a ninguno de ellos, llamo a esa figura la tercera”. Refiriéndose a los términos universales, “… entonces, cuando tanto P como R pertenecen a todo S, resulta necesariamente que P pertenecerá a algún R”. ^[25]

Simplificando:

Si PaS

y RaS

Luego PiR.

Cuando las cuatro proposiciones silogísticas, a, e, i, o se colocan en la tercera figura, Aristóteles desarrolla seis formas más válidas de deducción:

PaS, RaS; por lo tanto PiR

PeS, RaS; por lo tanto PoR

PiS, RaS; por lo tanto PiR

PaS, RiS; por lo tanto PiR

PoS, RaS; por lo tanto PoR

PeS, RiS; por lo tanto PoR

En la Edad Media, por razones mnemotécnicas, estas seis formas se denominaban respectivamente: «Darapti», «Felapton», «Disamis», «Datisi», «Bocardo» y «Ferison». ^[26]

La lógica de términos comenzó a declinar en Europa durante el Renacimiento , cuando lógicos como Rodolphus Agricola Phrisius (1444-1485) y Ramus (1515-1572) comenzaron a promover la lógica de lugares. La tradición lógica llamada lógica de Port-Royal , o a veces "lógica tradicional", consideraba las proposiciones como combinaciones de ideas en lugar de términos, pero por lo demás seguía muchas de las convenciones de la lógica de términos. Siguió siendo influyente, especialmente en Inglaterra, hasta el siglo XIX. Leibniz creó un cálculo lógico distintivo , pero casi todo su trabajo sobre lógica permaneció inédito y sin comentarios hasta que Louis Couturat pasó por el Leibniz Nachlass alrededor de 1900, publicando sus estudios pioneros en lógica.

Los intentos del siglo XIX de algebraizar la lógica, como el trabajo de Boole (1815-1864) y Venn (1834-1923), generalmente produjeron sistemas muy influenciados por la tradición de la lógica de términos. La primera lógica de predicados fue la del emblemático Begriffsschrift (1879) de Frege , poco leído antes de 1950, en parte debido a su notación excéntrica. La lógica de predicados moderna tal como la conocemos comenzó en la década de 1880 con los escritos de Charles Sanders Peirce , quien influyó en Peano (1858-1932) y aún más, en Ernst Schröder (1841-1902). Alcanzó su plenitud en manos de Bertrand Russell y AN Whitehead , cuyos Principia Mathematica (1910-13) hicieron uso de una variante de la lógica de predicados de Peano.

El término lógica también sobrevivió en cierta medida en la educación católica romana tradicional , especialmente en los seminarios . La teología católica medieval , especialmente los escritos de Tomás de Aquino , tenían un fuerte matiz aristotélico , y así el término lógica se convirtió en parte del razonamiento teológico católico. Por ejemplo, los Principios de lógica de Joyce (1908; 3.ª edición 1949), escritos para su uso en seminarios católicos, no mencionaban a Frege ni a Bertrand Russell . ^{[28] [ página necesaria ] [ se necesita cita para verificar ]}

Algunos filósofos se han quejado de que la lógica de predicados:

• Es antinatural en cierto sentido, en el sentido de que su sintaxis no sigue la sintaxis de las oraciones que figuran en nuestro razonamiento cotidiano. Es, como reconoció Quine , " procustiana ", ya que emplea un lenguaje artificial de función y argumento , cuantificador y variable ligada .
• Sufre de problemas teóricos, siendo probablemente el más grave el de los nombres vacíos y las declaraciones de identidad.

Incluso filósofos académicos totalmente pertenecientes a la corriente dominante, como Gareth Evans , han escrito lo siguiente:

"Llego a las investigaciones semánticas con una preferencia por las teorías homofónicas ; teorías que intentan tomar en cuenta seriamente los dispositivos sintácticos y semánticos que existen realmente en el lenguaje... Preferiría [tal] teoría... a una teoría que sólo es capaz de tratar con [oraciones de la forma "todas las A son B"] "descubriendo" constantes lógicas ocultas ... La objeción no sería que tales condiciones de verdad [fregeanas] no sean correctas, sino que, en un sentido que a todos nos encantaría tener explicado con más exactitud, la forma sintáctica de la oración es tratada como una estructura superficial engañosa" (Evans 1977)

La aceptación inquebrantable de George Boole de la lógica de Aristóteles es enfatizada por el historiador de la lógica John Corcoran en una introducción accesible a Laws of Thought ^[29] . Corcoran también escribió una comparación punto por punto de Prior Analytics y Laws of Thought ^[30] . Según Corcoran, Boole aceptó y respaldó plenamente la lógica de Aristóteles. Los objetivos de Boole eran "ir por debajo, por encima y más allá" de la lógica de Aristóteles mediante:

1. dotándola de fundamentos matemáticos que impliquen ecuaciones;
2. ampliar la clase de problemas que podría tratar, desde la evaluación de la validez hasta la resolución de ecuaciones; y
3. ampliando el rango de aplicaciones que podría manejar, por ejemplo, desde proposiciones que tenían sólo dos términos a aquellas que tenían un número arbitrario de ellos.

Más específicamente, Boole estaba de acuerdo con lo que decía Aristóteles ; los «desacuerdos» de Boole, si se los puede llamar así, se refieren a lo que Aristóteles no dijo. En primer lugar, en el ámbito de los fundamentos, Boole redujo las cuatro formas proposicionales de la lógica de Aristóteles a fórmulas en forma de ecuaciones, lo que en sí mismo es una idea revolucionaria. En segundo lugar, en el ámbito de los problemas de la lógica, la adición de Boole de la resolución de ecuaciones a la lógica (otra idea revolucionaria) implicó la doctrina de Boole de que las reglas de inferencia de Aristóteles (los «silogismos perfectos») deben complementarse con reglas para la resolución de ecuaciones. En tercer lugar, en el ámbito de las aplicaciones, el sistema de Boole podía manejar proposiciones y argumentos de múltiples términos, mientras que Aristóteles sólo podía manejar proposiciones y argumentos de sujeto-predicado de dos términos. Por ejemplo, el sistema de Aristóteles no podía deducir “Ningún cuadrángulo que sea un cuadrado es un rectángulo que sea un rombo” de “Ningún cuadrado que sea un cuadrángulo es un rombo que sea un rectángulo” o de “Ningún rombo que sea un rectángulo es un cuadrado que sea un cuadrángulo”.

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• Lógica de términos en PhilPapers
• Smith, Robin. "La lógica de Aristóteles". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• "Lógica de términos". Enciclopedia de Filosofía en Internet .
• Lógica aristotélica en línea: este programa en línea proporciona una plataforma para la experimentación y la investigación sobre la lógica aristotélica.
• Bibliografías comentadas:

  El hombre más rico del mundo.

  George Englebretsen.

• PlanetMath : Lógica aristotélica.
• Máquina silogística interactiva para lógica terminológica Una máquina silogística basada en web para explorar falacias, figuras, términos y modos de silogismos.