Serie Dyson

En la teoría de dispersión , una parte de la física matemática , la serie de Dyson , formulada por Freeman Dyson , es una expansión perturbativa del operador de evolución temporal en la imagen de interacción . Cada término puede representarse mediante una suma de diagramas de Feynman .

Esta serie diverge asintóticamente , pero en la electrodinámica cuántica (EDQ) en el segundo orden la diferencia con los datos experimentales es del orden de 10 ⁻¹⁰ . Esta estrecha concordancia se cumple porque la constante de acoplamiento (también conocida como constante de estructura fina ) de la EQQ es mucho menor que 1. ^{[ aclaración necesaria ]}

En la imagen de interacción , un hamiltoniano H se puede dividir en una parte libre H ₀ y una parte interactuante V _S ( t ) como H = H ₀ + V _S ( t ) .

El potencial en la imagen interactuante es

${\displaystyle V_{\mathrm {I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar }V_{\mathrm {S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar },}$

donde es independiente del tiempo y es la parte interactuante posiblemente dependiente del tiempo de la imagen de Schrödinger . Para evitar subíndices, representa en lo que sigue.$Estilo de visualización H_{0}$${\displaystyle V_{\mathrm {S}}(t)}$${\estilo de visualización V(t)}$${\displaystyle V_{\mathrm {I}}(t)}$

En la imagen de interacción, el operador de evolución U está definido por la ecuación:

${\displaystyle \Psi(t)=U(t,t_{0})\Psi(t_{0})}$

A esto a veces se le llama operador Dyson .

El operador de evolución forma un grupo unitario respecto del parámetro tiempo. Tiene las propiedades de grupo:

• Identidad y normalización: ^[1]${\displaystyle U(t,t)=1,}$
• Composición: ^[2]${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}$
• Inversión del tiempo: ^{[ aclaración necesaria ]}${\displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}$
• Unitaridad: ^[3]${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbb {1} }$

y de estos es posible derivar la ecuación de evolución temporal del propagador: ^[4]

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).}$

En la imagen de interacción , el hamiltoniano es el mismo que el potencial de interacción y, por lo tanto, la ecuación también se puede escribir en la imagen de interacción como${\displaystyle H_{\rm {int}}=V(t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi(t)=H_{\rm {int}}\Psi(t)}$

Precaución : esta ecuación de evolución temporal no debe confundirse con la ecuación de Tomonaga-Schwinger .

La solución formal es

${\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})},}$

que en última instancia es un tipo de integral de Volterra .

Una solución iterativa de la ecuación de Volterra anterior conduce a la siguiente serie de Neumann :

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V(t_{1})+(-i\hbar ^{-1})^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}}$

Aquí, , y por lo tanto los campos están ordenados en el tiempo . Es útil introducir un operador , llamado operador de ordenación en el tiempo , y definir${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Los límites de la integración se pueden simplificar. En general, dada una función simétrica, se pueden definir las integrales${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}),}$

${\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

y

${\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

La región de integración de la segunda integral se puede dividir en subregiones, definidas por . Debido a la simetría de , la integral en cada una de estas subregiones es la misma e igual a por definición. De ello se deduce que${\displaystyle n!}$${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}$

Aplicado a la identidad anterior, esto da

${\displaystyle U_{n}={\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Sumando todos los términos se obtiene la serie de Dyson, que es una versión simplificada de la serie de Neumann anterior y que incluye los productos ordenados en el tiempo; es la exponencial ordenada por trayectorias : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})\\&={\mathcal {T}}\exp {-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}\end{aligned}}}$

Este resultado también se llama fórmula de Dyson. ^[6] Las leyes de grupo se pueden derivar de esta fórmula.

El vector de estado en el tiempo se puede expresar en términos del vector de estado en el tiempo , para${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t>t_{0},}$

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}t_{k}/\hbar }V(t_{k})e^{-iH_{0}t_{k}/\hbar }\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}$

El producto interno de un estado inicial en con un estado final en en la imagen de Schrödinger , para es:${\displaystyle t_{i}=t_{0}}$${\displaystyle t_{f}=t}$${\displaystyle t_{f}>t_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Psi (t_{\rm {i}})&\mid \Psi (t_{\rm {f}})\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\times \\&\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{-iH_{0}(t_{\rm {f}}-t_{1})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})/\hbar }\cdots V_{\rm {S}}(t_{n})e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{\rm {i}})/\hbar }\mid \Psi (t_{i})\rangle \end{aligned}}}$

La matriz S se puede obtener escribiendo esto en la imagen de Heisenberg , tomando los estados de entrada y salida como infinitos: ^[7]

${\displaystyle \langle \Psi _{\rm {out}}\mid S\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle =\langle \Psi _{\rm {out}}\mid \sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int d^{4}x_{1}\cdots d^{4}x_{n}} _{t_{\rm {out}}\,\geq \,t_{n}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{1}\,\geq \,t_{\rm {in}}}\,{\mathcal {T}}\left\{H_{\rm {int}}(x_{1})H_{\rm {int}}(x_{2})\cdots H_{\rm {int}}(x_{n})\right\}\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle .}$

Tenga en cuenta que el orden del tiempo se invirtió en el producto escalar.

• Ecuación de Schwinger-Dyson
• Serie Magnus
• Serie Peano-Baker
• Iteración de Picard

• Charles J. Joachain , Teoría de colisiones cuánticas , North-Holland Publishing, 1975, ISBN 0-444-86773-2 (Elsevier)