La espiral de Cotes

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En física y en las matemáticas de curvas planas , una espiral de Cotes (también escrita espiral de Cotes y espiral de Cotes ) es una de una familia de espirales clasificadas por Roger Cotes .

Cotes introduce su análisis de estas curvas de la siguiente manera: “Se propone enumerar los diferentes tipos de trayectorias que pueden seguir los cuerpos cuando actúan sobre ellos fuerzas centrípetas en razón inversa a los cubos de sus distancias, partiendo de un lugar determinado, con una velocidad y dirección dadas”. (N. b. no las describe como espirales). ^[1]

La forma de las espirales de la familia depende de los parámetros. Las curvas en coordenadas polares ( r , θ ), r > 0 se definen mediante una de las siguientes cinco ecuaciones:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\begin{cases}A\cosh(k\theta +\varepsilon )\\A\exp(k\theta +\varepsilon )\\A\sinh(k\theta +\varepsilon )\\A(k\theta +\varepsilon )\\A\cos(k\theta +\varepsilon )\\\end{cases}}}$

A > 0, k > 0 y ε son constantes reales arbitrarias . A determina el tamaño, k determina la forma y ε determina la posición angular de la espiral.

Cotes se refirió a las diferentes formas como "casos". Las ecuaciones de las curvas anteriores corresponden respectivamente a sus cinco casos. ^[2]

El diagrama muestra ejemplos representativos de las diferentes curvas. El centro está marcado con una "O" y el radio desde O hasta la curva se muestra cuando θ es cero. El valor de ε es cero a menos que se indique lo contrario.

La primera y tercera formas son espirales de Poinsot ; la segunda es la espiral equiangular ; la cuarta es la espiral hiperbólica ; la quinta es la epiespiral .

Para obtener más información sobre sus propiedades, consulte las curvas individuales.

Las espirales de Cotes aparecen en la mecánica clásica como la familia de soluciones para el movimiento de una partícula que se mueve bajo una fuerza central de cubo inverso . Consideremos una fuerza central

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}{\hat {\boldsymbol {r}}},}$

donde μ es la fuerza de atracción. Consideremos una partícula que se mueve bajo la influencia de la fuerza central y sea h su momento angular específico , entonces la partícula se mueve a lo largo de una espiral de Cotes, con la constante k de la espiral dada por

${\displaystyle k={\sqrt {1-{\frac {\mu}{h^{2}}}}}}$

cuando μ < h ² ( forma coseno de la espiral), o

${\displaystyle k={\sqrt {{\frac {\mu}{h^{2}}}-1}}}$

Cuando μ > h ² , forma de Poinsot de la espiral. Cuando μ = h ² , la partícula sigue una espiral hiperbólica. La derivación se puede encontrar en las referencias. ^{[3] [4]}

En la Harmonia Mensurarum (1722), Roger Cotes analizó una serie de espirales y otras curvas, como la de Lituus . Describió las posibles trayectorias de una partícula en un campo de fuerza central de cubo inverso, que son las espirales de Cotes. El análisis se basa en el método del Libro 1 de Principia , Proposición 42, donde la trayectoria de un cuerpo se determina bajo una fuerza central, una velocidad inicial y una dirección arbitrarias.

Dependiendo de la velocidad inicial y la dirección, determina que hay 5 "casos" diferentes (excluyendo los triviales, el círculo y la línea recta que pasa por el centro).

Señala que de los 5, "el primero y el último son descritos por Newton , por medio de la cuadratura (es decir, la integración) de la hipérbola y la elipse".

El caso 2 es la espiral equiangular, que es la espiral por excelencia . Esto tiene una gran importancia histórica, ya que en la Proposición 9 del Libro 1 de los Principia, Newton demuestra que si un cuerpo se mueve a lo largo de una espiral equiangular, bajo la acción de una fuerza central, esa fuerza debe ser como la inversa del cubo del radio (incluso antes de su prueba, en la Proposición 11, de que el movimiento en una elipse dirigida a un foco requiere una fuerza inversa del cuadrado).

Hay que admitir que no todas las curvas se ajustan a la definición habitual de espiral. Por ejemplo, cuando la fuerza inversa del cubo es centrífuga (dirigida hacia afuera), de modo que μ < 0, la curva no gira ni una sola vez alrededor del centro. Esto se representa en el caso 5, la primera de las ecuaciones polares mostradas anteriormente, con k > 1 en este caso.

Samuel Earnshaw, en un libro publicado en 1826, utilizó el término “espirales de Cotes”, por lo que la terminología se utilizaba en ese momento. ^[5] Earnshaw describe claramente los 5 casos de Cotes y agrega innecesariamente un sexto, que es cuando la fuerza es centrífuga (repulsiva). Como se señaló anteriormente, Cotes incluyó esto con el caso 5.

Siguiendo a ET Whittaker , cuyo Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos (publicado por primera vez en 1904) sólo enumeraba tres de las espirales de Cotes, ^[6] algunos autores posteriores han seguido su ejemplo. ^[7]

• Whittaker, ET (1927). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (3.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 80–83.
• Roger Cotes (1722) Harmonia Mensuarum , págs.31, 98.
• Isaac Newton (1687) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , Libro I, §2, Proposición 9, y §8, Proposición 42, Corolario 3, y §9, Proposición 43, Corolario 6
• Danby JM (1988). "El caso ƒ( r ) = μ / r  ³ — Espiral de Cotes (§4.7)". Fundamentos de mecánica celeste (2.ª ed., ed. rev.). Richmond, VA: Willmann-Bell. págs. 69–71. ISBN 978-0-943396-20-0.
• Symon KR (1971). Mecánica (3.ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. pág. 154. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Samuel Earnshaw (1832). Dinámica, o un tratado elemental sobre el movimiento y un breve tratado sobre las atracciones (1.ª ed.). J. y JJ Deighton; y Whittaker, Treacher y Arnot. pág. 47.
• Kelley, J. Daniel; Leventhal, Jacob J. (noviembre de 2016). "Fuerzas centrales y órbitas". Problemas en mecánica clásica y cuántica . Springer International Publishing. págs. 67–94. doi :10.1007/978-3-319-46664-4_3. ISBN 9783319466644.

• Weisstein, Eric W. "La espiral de Cotes". MathWorld .